張步英，呂金鳳，孔 亮，鄭俊玲

(河北科技師范學院數(shù)學與信息科技學院，河北 秦皇島，066004)

非線性Sobolev方程作為一類重要的數(shù)學物理方程，可用于描述多種物理現(xiàn)象，如流體在巖層中的流動、不同介質(zhì)中的熱傳導過程等[1,2]。關(guān)于帶有Dirichlet邊界條件的非線性Sobolev方程已有較多研究成果[3～5]。與Dirichlet邊界條件相比，非線性邊界條件的存在使得連續(xù)問題變分形式中增加了邊界項部分，從而，在半離散格式構(gòu)造時需要考慮邊界項逼近格式設(shè)計，這就使得其理論分析較Dirichlet邊界條件的情況更加困難。因此，關(guān)于帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程數(shù)值解法的研究成果很少。1992年，Lin等[6]基于真解的非經(jīng)典Ritz投影，得到了一類帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程半離散Galerkin格式下逼近解與真解L2模最優(yōu)誤差估計結(jié)果，但關(guān)于H1模意義下的逼近情況并未討論。2019年，李先枝[7]采用文獻[8]的方法，結(jié)合標準p次矩形元的性質(zhì)，對一類帶有非線性邊界條件的線性Sobolev方程低階混合元方法的超逼近與超收斂進行了研究。

非常規(guī)Hermite元由于其特殊構(gòu)造及性質(zhì)[9]，受到國內(nèi)外學者的青睞。該單元已經(jīng)被應用于多種類型偏微分方程數(shù)值解法的研究，如反應-擴散方程[10]、半線性粘彈性方程[11]、非線性拋物積分微分方程[12]等。然而，關(guān)于帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規(guī)Hermite元方法的研究至今未見報道。 筆者對一類帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規(guī)Hermite元方法進行研究。其中，第1部分給出了模型問題及其半離散格式；第2部分結(jié)合單元構(gòu)造，對非常規(guī)Hermite元的性質(zhì)進行分析，得到了精細的插值逼近性質(zhì)；第3部分研究了半離散格式下逼近解與真解的超逼近性質(zhì)；第4部分利用插值后處理技術(shù)得到了逼近解與真解在H1模意義下的整體超收斂結(jié)果。

1 模型問題及半離散格式

考慮下述帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程[6]

(1)

其中，Ω是一個平面有界開區(qū)域，?Ω為其光滑邊界。a(u),b(u),c(u),f(u),g(u)及u0(x)均為已知函數(shù)，且滿足下述假設(shè)條件A*:

(i) 0

(ii)a(u),b(u),c(u)具有有界導函數(shù)，并設(shè)其具有相同界值，記為K*；

(iii)g(u),f(u)滿足Lipschitz連續(xù)，并設(shè)其具有相同的Lipschitz常數(shù)，記為K*。

(1)式的Galerkin變分形式為：求u(·,t)∶(0,T)→H1(Ω), 使得?v∈H1(Ω)，有

(2)

其中，(·,·)和〈·,·〉分別表示定義在Ω和?Ω上的函數(shù)內(nèi)積運算符號。

關(guān)于非常規(guī)Hermite單元的構(gòu)造參見文獻[9]，在此，記相應的有限元空間為

將(2)式的Galerkin逼近格式定義為：求U(·,t)∶(0,T)→Vh，使得對于?v∈Vh，有

(3)

其中,I∶H2(Ω)→Vh表示相應的有限元插值算子。

由文獻[6]可知，半離散逼近問題(3)存在唯一解。

2 相關(guān)引理

本節(jié)結(jié)合單元構(gòu)造特點，得到了一個關(guān)于Hermite元的精細插值逼近性質(zhì)，并由此得到了在超逼近分析中需要的重要引理。

在本節(jié)及后續(xù)分析中，將定義在Ω和?Ω上的范數(shù)分別記作‖·‖s=‖·‖Hs(Ω)，‖·‖0=‖·‖L2(Ω)，|·|0=|·|L2(?Ω)；論證過程中出現(xiàn)的常數(shù)C均表示與h無關(guān)的正常數(shù)，不同的地方表達的值可能有所不同。

采用與文獻[9]類似的方法，可得下述引理2.1成立。

引理2.1設(shè)u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω)，Iu及Iut分別表示u(·,t)及ut(·,t)在Vh空間中的插值函數(shù),那么，?v∈Vh有

(4)

(5)

引理2.2設(shè)u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω),a(u),b(u)∈W1,∞(Ω)×(0,T),，則?v∈Vh有

(6)

(7)

證明：下面對(6)式進行證明。

類似地，可以證明(7)式的成立性。引理2.2證畢。

由文獻[6]可得如下2個重要結(jié)果成立。

(8)

同時，如果v(·,t)∈H1(Ω)且v(·,0)=0，那么

(9)

3 超逼近性分析

定理3.1設(shè)u和U分別為(2)和(3)的解，u(·,t),ut(·,t)∈L∞((0,T);H4(Ω))，那么

‖U-Iu‖L∞(H1)+‖Ut-Iu‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

證明：?v∈Vh，由格林公式可得

(10)

記θ=U-Iu,w=u-Iu，由(3)式與(10)式作差可得誤差方程為

(11)

在(11)式中令v=θ，并對其兩邊關(guān)于t積分，由θ(·,0)=0可得

(12)

下面，對Nt，1≤i≤12進行估計。

由假設(shè)A*，插值定理及Cauchy不等式可得

(13)

由引理2.2及Young不等式可得

(14)

由插值定理可得

‖Iut‖L∞(L2)≤‖ut-Iut‖L∞(L2)+‖ut‖L∞(L2)≤C‖ut‖L∞(H1)

(15)

結(jié)合假設(shè)A*及(15)可得

(16)

類似的

(17)

利用(8)式，得

(18)

同理，

(19)

設(shè)h充分小，做如下歸納假設(shè)

‖θt‖L∞(L∞)≤1

(20)

那么，由假設(shè)A*及(20)式，可得

(21)

類似的

(22)

利用假設(shè)A*及(13)～(22)式，可得

利用Gronwall不等式，有

即

‖θ‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(23)

進一步地，令(11)式中v=θt，采用類似的方法可得

‖θt‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(24)

下面，證明歸納假設(shè)的成立性。由逆不等式，可得

‖θt‖L∞(L∞)≤C‖θt‖L∞(H1)h-2≤Ch

(25)

也就是說，(25)式左側(cè)是h→0時的無窮小量，從而歸納假設(shè)是合理可行的。

定理3.1證畢。

4 超收斂性分析

(26)

(27)

(28)

定理4.1在定理3.1的條件下，有

‖U-u‖L∞(H1)+‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

證明:由三角不等式、定理3.1及(26)～(28)式，可得

≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

類似地，

‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

定理4.1證畢。

5 結(jié) 論

通過對帶有非線性邊界條件的非線性Sobolev方程非常規(guī)Hermite元方法進行探討，得到了半離散格式下逼近解與真解H1模整體超收斂結(jié)果。

對于非線性邊界條件，直接在半離散逼近格式中增加了邊界項部分，將其轉(zhuǎn)化成?Ω上常規(guī)非線性項誤差估計進行處理；同時，將半離散問題的初值設(shè)計為原問題初值的插值，避免了非經(jīng)典橢圓投影帶來的計算復雜度。該思路對于帶有非線性邊界條件的發(fā)展方程研究具有借鑒價值。關(guān)于非常規(guī)Hermite元，得到了2個精細的插值逼近性質(zhì)。結(jié)合論證過程可見，這2個性質(zhì)對于超逼近結(jié)果是至關(guān)重要的。從而，進一步拓展了非常規(guī)Hermite單元的應用范圍。