楊 瑞，孫霞陽，楊勝兵，馬超善，陳月娟，岳一軒

(1.蘭州理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；2.風(fēng)能太陽能利用技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

0 引言

對于振動(dòng)控制有主動(dòng)控制、半主動(dòng)控制和被動(dòng)控制，科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展使主動(dòng)控制成為機(jī)械行業(yè)的中流砥柱。壓電材料因其良好的頻響特性、高分辨率特性、較強(qiáng)的抗干擾能力及力的輸出能力而成為振動(dòng)主動(dòng)控制研究的新趨勢。Korayem M H等[1]在微梁壓電層上施加諧波電壓，研究了阻尼比對振動(dòng)響應(yīng)的影響。Silvanavarro G等[2]介紹了懸臂梁自激減振器，以壓電陶瓷片為作動(dòng)器控制梁振動(dòng)。Guoliang M等[3]將振動(dòng)方程與模糊算法相結(jié)合進(jìn)行仿真，證明了鋯鈦酸鉛壓電陶瓷(PZT)執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有較好的減振效果。方遠(yuǎn)等[4]提出了逆遲滯補(bǔ)償控制算法，驗(yàn)證了經(jīng)過比例、積分、微分(PID)逆遲滯補(bǔ)償后的主動(dòng)控制效果比傳統(tǒng)比例、積分、微分(PID)提高了10.083%。陳希等[5]搭建了基于Labview的測試系統(tǒng)，利用壓電片實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)主動(dòng)控制。胡曉琳等[6]基于極點(diǎn)配置理論,運(yùn)用SIMULINK驗(yàn)證了壓電雙晶片的驅(qū)動(dòng)傳感特性能有效控制自由振動(dòng)。

目前的研究多集中于等厚度梁，而現(xiàn)實(shí)中大多梁結(jié)構(gòu)因不同需要并非為單一等厚度。本文以等、變厚度壓電懸臂梁為研究對象，其上粘貼壓電陶瓷片作為制動(dòng)器，采用數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，研究壓電陶瓷對等、變厚度梁模態(tài)、自由端最大位移及應(yīng)變的影響。

1 壓電懸臂梁動(dòng)力學(xué)建模

等厚度懸臂梁的振動(dòng)基本方程[7]為

(1)

彎矩為

(2)

剪力為

(3)

式中：E為楊氏模量;I為懸臂梁截面二次矩;D=EI為抗彎剛度;ρ為材料密度;A為截面積;t為時(shí)間;g為重力加速度;y為懸臂梁撓度。令

y(x,t)=X(x)T(t)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：T(t)為時(shí)間的周期函數(shù);l為懸臂梁總長；l0為各截面與懸臂梁固定端的距離；p為周期函數(shù)圓頻率。

將式(4)～(12)代入式(1)～(3)得到無量綱式的振動(dòng)基本方程為

(13)

(14)

(15)

任一變厚度懸臂梁示意圖如圖1所示。

圖1 懸臂梁示意圖

對變厚度懸臂梁進(jìn)行離散有：

D0=D(0) (0≤x<β1)

(16)

ρ0=ρ(0) (0≤x<β1)

(17)

A0=A(0) (0≤x<β1)

(18)

k0=k(0) (0≤x<β1)

(19)

D1=D(β1) (β1≤x<β2)

(20)

ρ1=ρ(β1) (β1≤x<β2)

(21)

A1=A(β1) (β1≤x<β2)

(22)

k1=k(β1) (β1≤x<β2)

(23)

?

Di=D(βi) (βi≤x<βi+1)

(24)

ρi=ρ(βi) (βi≤x<βi+1)

(25)

Ai=A(βi) (βi≤x<βi+1)

(26)

ki=k(βi) (βi≤x<βi+1)

(27)

?

Dn=D(βn) (βn≤x<1)

(28)

ρn=ρ(βn) (βn≤x<1)

(29)

An=A(βn) (βn≤x<1)

(30)

kn=k(βn) (βn≤x<1)

(31)

因此,變厚度梁任一元素基本方程為

(32)

其中

(33)

(34)

(35)

在x=βi處保證幾何連續(xù)有：

(36)

在x=βi處保證物理連續(xù)有：

(37)

(38)

邊界條件為：

1) 端點(diǎn)固定：X=X′=0(x=0或1)。

2) 端點(diǎn)簡支：X=M=0(x=0或1)。

3) 端點(diǎn)懸空：M=Q=0(x=0或1)。

于是，任意變厚度懸臂梁問題轉(zhuǎn)換為邊界問題，其包括了式(1)、(11)、(12)及邊界條件2)。

當(dāng)懸臂梁受外載荷時(shí)，動(dòng)力學(xué)模型為

(39)

設(shè)壓電陶瓷片長為L，寬為b，厚為ht，彈性模量為Ep，懸臂梁厚度為hx，對壓電陶瓷片施加電壓U，其產(chǎn)生的彎矩[8]為

M=KU[ω(x-x2)-ω(x-x1)]

(40)

其中

(41)

式中ω(x-x2)、ω(x-x1)為Dirac函數(shù)。

壓電陶瓷片作動(dòng)方程為

ω(x-x1)]

(42)

2 智能懸臂梁數(shù)值模擬

2.1 模型材料及鋪層設(shè)計(jì)

因鋯鈦酸鉛陶瓷PbZrxTi1-xO3(x=0.48，即鋯鈦質(zhì)量比為52/48(PZT-5H))位于準(zhǔn)同型相界(MPB)附近，具有最大介電、壓電性能及最小機(jī)械品質(zhì)因數(shù)，對利用壓電材料逆壓電效應(yīng)的研究極其有利。因此，本文選取壓電材料為PZT-5H，其性能參數(shù)為：橫向機(jī)電耦合系數(shù)K31=0.38，縱向機(jī)電耦合系數(shù)K33=0.76，厚度伸縮機(jī)電耦合系數(shù)Kt=0.52，介電常數(shù)ε=3 200,非極化方向壓電常數(shù)d31=275，極化方向壓電常數(shù)d33=620，泊松比μ=0.36，介電損耗tanδ=2%，ρ=7.5 kg/m3。懸臂梁基體材料選用單軸向玻璃纖維，其性能參數(shù)為：x向彈性模量Ex=33.19 GPa，y向彈性模量Ey=11.12 GPa，z向彈性模量Ez=10.12 GPa,xy面剪切模量Gxy=3.69 GPa，yz面剪切模量Gyz=3 GPa，xz面剪切模量Gxz=3 GPa，xy面泊松比μxy=0.23，yz面泊松比μyz=0.11，xz面泊松比μxz=0.11，ρ=1 930 kg/m3。所有樣板均采用[03/±45/90/±45/03]s(其中下角3為玻璃纖維層數(shù)，s為對稱鋪層)鋪層，等厚度懸臂梁厚為8 mm，變厚度懸臂梁采用線性遞減鋪層，固定端為8 mm，自由端為4 mm，壓電陶瓷片尺寸為15 mm×5 mm×1 mm。

2.2 懸臂梁有限元模型

為探究壓電陶瓷片對懸臂梁模態(tài)頻率及應(yīng)變分布的具體影響，首先采用ANSYS軟件建立正確的有限元模型。本文共模擬22個(gè)懸臂梁樣板，分別是原型等、變厚度懸臂梁，其他20個(gè)樣板是在原樣板基礎(chǔ)上依次增加壓電陶瓷片個(gè)數(shù)(1～10片)。擬定懸臂梁載荷施加點(diǎn)分別距固定端10%、30%、50%、80%、100%處，所施加載荷分別為2.5 N、5 N、7.5 N、10 N、12.5 N，應(yīng)變片粘貼于載荷施加點(diǎn)附近，懸臂梁有限元模型如圖2所示。

圖2 懸臂梁有限元模型示意圖

2.3 兩種方案懸臂梁模態(tài)分析

模態(tài)作為判斷結(jié)構(gòu)在外界激勵(lì)下是否發(fā)生共振的憑據(jù)，是所有模型結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)也是關(guān)鍵。實(shí)際工程中以前兩階模態(tài)頻率最重要，因此，本文首先利用ANSYS軟件對22個(gè)樣板模型進(jìn)行模態(tài)分析，提取的前兩階模態(tài)(1st,2st)頻率如表1所示。為分析變厚度對懸臂梁應(yīng)變產(chǎn)生的影響，提取第一階模態(tài)所對應(yīng)的應(yīng)變，等厚度懸臂梁應(yīng)變值從固定端至自由端呈遞減分布，變厚度懸臂梁應(yīng)變值從固定端至自由端呈先增后減趨勢，在距固定端約30%處達(dá)到最大。

表1 等、變厚度懸臂梁各方案模態(tài)頻率對比

懸臂梁的模態(tài)頻率與其厚度成正比、長度的平方成反比,與寬度無關(guān)。由表1可看出，等厚度懸臂梁整體模態(tài)頻率大于變厚度懸臂梁，這是因后者厚度線性遞減所致。但無論是等厚度懸臂梁還是變厚度懸臂梁，鋪設(shè)壓電陶瓷片PZT-5H后的頻率與原模型相比模態(tài)頻率均略有增大。由此可見，鋪設(shè)PZT-5H能在一定程度上提升模型剛度，增大懸臂梁固有頻率，進(jìn)而保障結(jié)構(gòu)的安全性。

由圖3可知，等厚度懸臂梁最大應(yīng)變集中于固定端，而變厚度懸臂梁最大應(yīng)變位于距固定端30%附近，亦可看出變厚度懸臂梁整體應(yīng)變值大于等厚度懸臂梁。

圖3 等、變厚度懸臂梁自由端位移圖

2.4 兩種方案懸臂梁靜力分析

本文對22個(gè)等、變厚度懸臂梁樣板的5個(gè)載荷施加點(diǎn)處分別施加2.5 N、5 N、7.5 N、10 N、12.5 N的力，在多種工況下進(jìn)行靜力分析，以自由端處位移值作為表征量。為方便分析,以載荷施加點(diǎn)5處施加10 N的力為例討論等、變厚度懸臂梁位移及應(yīng)變變化情況?？紤]到實(shí)驗(yàn)所用可變直流電源電壓范圍及壓電陶瓷片最大承載能力限制，數(shù)值模擬分別研究了壓電陶瓷片依次增加且所施加電壓為0、8 V、16 V、24 V、32 V時(shí)，壓電陶瓷片對懸臂梁自由端位移的抑制情況及梁各處應(yīng)變的變化情況，計(jì)算結(jié)果如圖3、4所示。需要指出的是,未鋪設(shè)壓電陶瓷的原型等厚度懸臂梁在額定工況下自由端最大位移為79.952 mm，原型變厚度懸臂梁自由端最大位移為145.974 mm。

圖4 等、變厚度懸臂梁自由端應(yīng)變圖

對比圖3(a)、(b)，與原型等、變厚度懸臂梁相比,在智能懸臂梁逐漸增加壓電陶瓷片，但未施加電壓的情況下，對剛度有明顯提升作用，而施加電載荷后又可進(jìn)一步增加模型剛度，減小自由端最大位移。在0～32 V電載荷區(qū)間內(nèi)，等厚度懸臂梁自由端位移分別為78.71 mm、77.934 mm、77.702 mm、77.54 mm、77.16 mm，變厚度懸臂梁自由端位移分別為143.211 mm、143.17 mm、143.05 mm、142.85 mm、142.53 mm，與原模型相比有大幅降低。由圖3還可知，原型等厚度懸臂梁在壓電陶瓷片增加至5后，自由端位移減小趨于平緩；變厚度懸臂梁在壓電陶瓷片增加至8后，自由端位移減小程度降低。結(jié)合圖4(a)、(b)可知，壓電陶瓷片鋪設(shè)于應(yīng)變較大位置對懸臂梁剛度提升及位移減小效果最佳。

對比圖4(a)、(b)可知，僅在增加壓電陶瓷數(shù)目時(shí)，等、變厚度懸臂梁應(yīng)力分布未發(fā)生變化。施加電載荷后，應(yīng)變明顯減小，且隨著電載荷的增大呈線性變化。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

為驗(yàn)證上述研究的有效性，本文在數(shù)值模擬基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了等、變厚度懸臂梁的特性測試實(shí)驗(yàn)，整體實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)如圖5所示。實(shí)驗(yàn)采用DH3816靜態(tài)應(yīng)變測試系統(tǒng)、WY-50位移傳感器、SG1732可變直流電源(模擬輸入電壓為0～32 V)、砝碼及應(yīng)變采集軟件。實(shí)驗(yàn)所用原材料為 TC-191DC不飽和聚酯樹脂、EWR200/02無堿玻璃纖維、V388固化劑、CN/3800600促進(jìn)劑及脫模蠟。4個(gè)實(shí)驗(yàn)樣板按手糊工藝法進(jìn)行制作，分原型等厚度樣板，原型變厚度樣板、智能等、變厚度樣板(壓電陶瓷片數(shù)從1～10依次增加)，力與電壓的加載方式同模擬保持一致。

圖5 實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

實(shí)驗(yàn)過程中為盡量減小誤差，在相同外界條件下對每個(gè)測量點(diǎn)重復(fù)測量3次，取平均值作為最終測試結(jié)果。鑒于模擬值與實(shí)驗(yàn)值數(shù)據(jù)較多，以0、16 V、32 V時(shí)的模擬值和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比展示，說明壓電陶瓷片的實(shí)際效果，如圖6、7所示。

圖6 等、變厚度懸臂梁自由端位移對比圖

圖7 等、變厚度懸臂梁自由端應(yīng)變對比圖

對壓電陶瓷片施加電壓使其產(chǎn)生變形，即對懸臂梁施加反力抑制梁的變形。從圖6、7可看出，實(shí)驗(yàn)值與模擬值比較，其值整體小于模擬值，這是因?yàn)閴弘娞沾傻淖冃尾皇窃谒查g完成，相較于電壓的增大有滯后性。整體來看，實(shí)驗(yàn)值與仿真值結(jié)果吻合較好，偏差小于10%，說明數(shù)值模擬的正確性及實(shí)驗(yàn)的有效性，為后續(xù)懸臂梁的瞬態(tài)研究提供了參考依據(jù)。

4 結(jié)束語

在主動(dòng)控制下，以單軸向玻璃纖維為基體材料結(jié)合壓電陶瓷片設(shè)計(jì)出智能懸臂梁模型。通過數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法探討了壓電陶瓷片對等、變厚度懸臂梁自由端位移及應(yīng)變的影響。結(jié)果表明，智能懸臂梁能有效提升模型剛度，增大固有頻率；靜力分析無電壓作用時(shí)，增加壓電陶瓷片數(shù)可減小自由端最大位移，但對應(yīng)變分布無顯著影響；有電壓作用時(shí)，懸臂梁自由端位移進(jìn)一步減小，且各監(jiān)測點(diǎn)應(yīng)變值相應(yīng)減小。這證實(shí)了主動(dòng)控制的可行性，為后續(xù)懸臂梁動(dòng)態(tài)研究打下了基礎(chǔ)。