鄭延豐，楊 超，劉 磊，羅堯治

(1.浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江，杭州 310058；2.浙江省空間結(jié)構(gòu)重點實驗室，浙江，杭州 310058；3.浙江綠城元和房地產(chǎn)開發(fā)有限公司，浙江，杭州 310058)

在常規(guī)的平面機(jī)構(gòu)動力分析中，一般認(rèn)為平面鉸節(jié)點處于沒有間隙的理想狀態(tài)。但由于制造和安裝誤差，鉸節(jié)點中不可避免地存在間隙。間隙的存在使得鉸節(jié)點的軸承和軸頸易發(fā)生碰撞，從而使帶間隙機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)與理想機(jī)構(gòu)不同。近年來，學(xué)者們對間隙的力學(xué)模型和含間隙鉸平面機(jī)構(gòu)的動力行為開展了研究。彈簧-阻尼模型是經(jīng)典的線性間隙接觸力模型，但在接觸瞬間和分離瞬間的接觸力是不連續(xù)的[1]。Hertz[2]基于純彈性理論提出了非線性的接觸力模型，但沒有考慮接觸碰撞過程中的能量損失。Lankarani和 Nikravesh[3]提出了考慮彈性剛度項和阻尼項的接觸法向力模型，可以考慮接觸過程中的能量損失。Bai和Zhao[4]基于已有的間隙接觸力模型提出了一種用于平面帶間隙機(jī)構(gòu)的混合接觸力模型。Zhang等[5]研究了間隙鉸節(jié)點對平面3-RRR機(jī)構(gòu)動力行為的影響。在含間隙機(jī)構(gòu)的動力問題中，若機(jī)構(gòu)中含有多個間隙鉸，則不同間隙鉸之間的相互作用將使動力響應(yīng)變得復(fù)雜[6]。若機(jī)構(gòu)構(gòu)件是柔性的，則在驅(qū)動力作用下構(gòu)件將發(fā)生彎曲變形，從而改變間隙鉸的動力行為[7]。

機(jī)構(gòu)屬于可變結(jié)構(gòu)體系，其運(yùn)動過程的模擬與常規(guī)結(jié)構(gòu)存在較大差異。采用隱式求解的線性有限元方法在處理可變體系上存在困難，因為其集成的整體剛度矩陣是奇異的。非線性有限元法可用于機(jī)構(gòu)問題求解，其中，幾何精確方法(geometrically exact beam theory)[8]以轉(zhuǎn)動參數(shù)為廣義坐標(biāo)，通過精確的幾何非線性關(guān)系描述機(jī)構(gòu)的變形，計算效率和計算精度高，但轉(zhuǎn)動參數(shù)的更新和奇異性是該方法的難題。絕對節(jié)點坐標(biāo)法(absolute nodal coordinate formulation, ANCF)[9]采用位移場的斜率矢量避免復(fù)雜的轉(zhuǎn)角問題，建模直觀，但自由度多，計算效率低下，同時收斂性也存在問題。多體系統(tǒng)動力學(xué)可用于模擬帶間隙機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)[10－12]，但隨著間隙節(jié)點數(shù)量的增加，約束多體系統(tǒng)逐漸變?yōu)闊o約束或節(jié)點-力系統(tǒng)[13]；并且由于間隙節(jié)點之間的相互作用，其動力行為變得更加復(fù)雜。

有限質(zhì)點法(finite particle method, FPM)是基于向量式有限元發(fā)展的、面向結(jié)構(gòu)行為的分析方法，已應(yīng)用于動力、幾何非線性、材料非線性、屈曲/褶皺失效、機(jī)構(gòu)運(yùn)動、接觸碰撞、斷裂等結(jié)構(gòu)復(fù)雜行為分析[14]。在有限質(zhì)點法中，采用顯式求解方案，不需集成整體剛度矩陣，因此可避免剛度矩陣奇異，用于機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析時不會存在困難[15]。有限質(zhì)點法將結(jié)構(gòu)離散為質(zhì)點，以質(zhì)點代表結(jié)構(gòu)的運(yùn)動，間隙碰撞產(chǎn)生的接觸力可直接作用于質(zhì)點，不需要對剛度矩陣進(jìn)行修正。因此基于有限質(zhì)點法引入含間隙鉸的分析方法在原理上是可行的，在處理上也十分方便，可為更精細(xì)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動模擬提供手段。

本文基于有限質(zhì)點法，對含間隙鉸的平面機(jī)構(gòu)開展動力分析。首先給出有限質(zhì)點法平面機(jī)構(gòu)分析的原理，包括質(zhì)點運(yùn)動控制方程和平面梁單元的內(nèi)力計算公式。然后引入Lankarani-Nikravesh模型和修正庫侖摩擦模型，來計算間隙鉸中軸承和軸頸碰撞過程中的接觸力和摩擦力。最后以幾個典型的平面機(jī)構(gòu)為例開展動力分析，研究間隙鉸對機(jī)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。本文的創(chuàng)新點包括以下兩個方面：1)將有限質(zhì)點法用于求解含間隙機(jī)構(gòu)動力問題，拓展了有限質(zhì)點法的應(yīng)用領(lǐng)域，也為這類問題的求解提供一種有效手段；2) 該方法建模直觀，編程簡單方便，不僅可求解單間隙鉸、剛性機(jī)構(gòu)的動力問題，還可用于多間隙鉸、柔性機(jī)構(gòu)問題的動力分析。

1 有限質(zhì)點法平面機(jī)構(gòu)分析原理

在有限質(zhì)點法中，平面機(jī)構(gòu)被離散成質(zhì)點，代表機(jī)構(gòu)的位置、質(zhì)量、受力、變形和邊界條件，即點值描述。機(jī)構(gòu)桿件被離散為平面梁單元，但單元的概念和作用被弱化，僅用于表示質(zhì)點之間的相互作用關(guān)系。在時間域上，質(zhì)點受力后的運(yùn)動軌跡被劃分成許多離散的微段，并通過一組時間點上的值來描述各個質(zhì)點的位移，即途徑單元描述。

1.1 質(zhì)點運(yùn)動控制方程

離散模型中所有質(zhì)點的運(yùn)動都遵循牛頓第二定律。對于平面梁單元連接的質(zhì)點，其運(yùn)動變量可分解為沿平面坐標(biāo)軸方向的2個線位移和1個角位移，分別對應(yīng)坐標(biāo)軸方向的2個力和1個彎矩，如圖1所示。

圖1 平面機(jī)構(gòu)的質(zhì)點受力Fig.1 Particle force of planar mechanisms

平面機(jī)構(gòu)的質(zhì)點運(yùn)動方程可具體表達(dá)為：

式中：m為質(zhì)點的質(zhì)量；d=[dx,dy]T為質(zhì)點線位移向量；Fext=[Fx,Fy]T為質(zhì)點外力向量；Fint=為梁單元傳遞至質(zhì)點的內(nèi)力向量；I為質(zhì)點的質(zhì)量慣性矩；θ為質(zhì)點角位移；為質(zhì)點外力矩；為各個梁單元傳遞至質(zhì)點的內(nèi)力矩。質(zhì)點的質(zhì)量m和質(zhì)量慣性矩I可通過下式集成：

式中：mα和Iα分別為質(zhì)點α的集中質(zhì)量和集中質(zhì)量慣性矩；ne為與質(zhì)點相連的梁單元數(shù)量，對第i個梁單元；iρ為其線密度；li為長度；ri為截面回轉(zhuǎn)半徑。

有限質(zhì)點法采用顯式積分方案，可由中心差分法估算質(zhì)點的加速度和角加速度：

式中，Δt為時間積分步長。將式(3)代入式(1)，可由n-1和n時刻位移得到n+1時刻位移，同理可得n+1時刻角位移，如式(4)所示。迭代求解，可得結(jié)構(gòu)在外荷載下的位移反應(yīng)。

為使計算收斂，計算步長需要小于臨界時間步長。本文采用的平面梁單元臨界時間步長Δtmin可按下式估算[16]：

式中：L為梁單元長度；為波速；E為彈性模量；L、A和I分別為梁單元的長度、截面積和截面慣性矩。由于間隙處存在接觸非線性行為，因此本文建議將Δtmin乘以小于1的系數(shù)tα(建議取0.5左右)，以保證計算收斂。

1.2 平面梁單元內(nèi)力

喻瑩[17]推導(dǎo)了有限質(zhì)點法三維梁單元的內(nèi)力計算公式。退化到二維，可得到平面梁單元的內(nèi)力計算公式[15]。設(shè)梁單元AB在ta和tb( =ta+ Δt)時刻的平面位置分別為節(jié)點轉(zhuǎn)角分別為則單元從ta到tb時刻的位移和轉(zhuǎn)角分別為：

ta和tb時刻單元主軸方向向量分別為：

則兩軸之間的轉(zhuǎn)動角度為：

單元位置從ta時刻的AB運(yùn)動到tb時刻的A′′B′。為計算單元純變形，將單元進(jìn)行逆向運(yùn)動，如圖 2所示。逆向平移量為-ΔxA，逆向轉(zhuǎn)動角度為-θba。由于單元變形后仍為直線，虛擬位置A′′B′′與AB共線。在單元的虛擬位置，得到單元的純變形為：

式中，l為梁單元的長度。

圖2 平面梁單元的虛擬逆向運(yùn)動Fig.2 Fictitious reversed rigid-body motion of planar beam element

局部坐標(biāo)系下，單元在途徑單元的內(nèi)力增量為：

式中，Iz為截面轉(zhuǎn)動模量。將單元內(nèi)力增量疊加到ta時刻參考構(gòu)型的內(nèi)力全量上，轉(zhuǎn)換至整體坐標(biāo)系，再將單元經(jīng)過正向平移ΔxA和正向轉(zhuǎn)動θba，可得到平面梁單元tb時刻的單元內(nèi)力。平面內(nèi)的平移和轉(zhuǎn)動對單元彎矩的方向和大小沒有影響，因此不需對單元彎矩進(jìn)行處理。單元內(nèi)力tb時刻的內(nèi)力為：

式中：?為單元局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；R*為旋轉(zhuǎn)矩陣，如下式所示：

2 平面轉(zhuǎn)動鉸模型

2.1 理想轉(zhuǎn)動鉸模型

在平面機(jī)構(gòu)中，轉(zhuǎn)動鉸是由軸承和軸頸構(gòu)成的。理想轉(zhuǎn)動鉸中軸承和軸頸的相互作用力可通過運(yùn)動約束條件推導(dǎo)得到，如圖3(a)所示。設(shè)軸承和軸頸的中心點分別為B和J，其運(yùn)動控制方程為：

將式(14)代入式(13)得：

圖3 理想轉(zhuǎn)動鉸和含間隙轉(zhuǎn)動鉸的力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of ideal revolute joint and revolute joint with clearance

2.2 含間隙轉(zhuǎn)動鉸模型

含間隙的轉(zhuǎn)動鉸中軸承與軸頸的相互作用力可根據(jù)軸承和軸頸的接觸情況推導(dǎo)得到。

2.2.1 接觸偵測

對含間隙的轉(zhuǎn)動鉸(圖3(b))，雖然軸頸的運(yùn)動受到軸承的約束，但有一定的自由運(yùn)動空間。軸頸在軸承中有自由運(yùn)動、碰撞、接觸三種不同的運(yùn)動狀態(tài)。在自由運(yùn)動狀態(tài)中，軸頸在軸承的內(nèi)圈邊界內(nèi)自由運(yùn)動，軸頸與軸承間無接觸和相互作用力。碰撞狀態(tài)是一個臨界狀態(tài)，出現(xiàn)時間極短，發(fā)生在自由運(yùn)動結(jié)束時，碰撞力作用在轉(zhuǎn)動鉸中且很快消失，該狀態(tài)的運(yùn)動和動力特性是離散的，兩個碰撞體之間發(fā)生有效的動量轉(zhuǎn)化。碰撞結(jié)束后，軸頸可能進(jìn)入接觸或者自由運(yùn)動狀態(tài)。在接觸狀態(tài)，軸頸與軸承始終保持接觸且相互之間做滑行運(yùn)動，侵入深度隨軸頸運(yùn)動而不斷變化；這種狀態(tài)隨著軸頸與軸承的分離而終止，后續(xù)軸頸進(jìn)入自由運(yùn)動狀態(tài)。

接觸狀態(tài)可通過間隙大小及軸承、軸頸的相對位置判斷。如圖3(b)所示，轉(zhuǎn)動鉸的間隙大小為：

式中：RB和RJ分別為軸承的內(nèi)半徑和軸頸的外半徑；OB和OJ分別為軸承和軸頸的中心，坐標(biāo)分別為xB和xJ。則連接軸承和軸頸中心的偏心向量e可以表示為：

軸頸與軸承相互碰撞導(dǎo)致的侵入深度δ可表示為：

軸頸與軸承碰撞平面的法向單位向量n和偏心距向量在同一條直線上。為計算接觸力和摩擦力，在接觸點處建立局部坐標(biāo)系(n,t)：

2.2.2 法向接觸力

本文采用Lankarani-Nikravesh模型[3]計算間隙產(chǎn)生的法向接觸力。Lankarani和Nikravesh[3]基于Hertz接觸理論，提出了非線性的彈簧阻尼模型。該模型將法向接觸力表示為侵入深度的函數(shù)，并考慮了接觸點的局部變形及接觸過程的持續(xù)時間；同時引入與回彈系數(shù)、侵入速度相關(guān)的粘滯阻尼項來反映材料阻尼導(dǎo)致的能量損失，可考慮碰撞體材料的屬性、局部變形、碰撞速度等因素的影響。因此國內(nèi)外的學(xué)者廣泛地應(yīng)用該模型對含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)進(jìn)行分析研究。

Lankarani-Nikravesh模型的接觸力公式為：

式中：ce為恢復(fù)系數(shù)；νk為泊松比；Ek為彈性模量；為初始碰撞時刻碰撞點的相對運(yùn)動速度；為接觸過程中的瞬時侵入速度；n為非線性系數(shù)，一般可取1.5。

2.2.3 切向摩擦力

本文采用修正庫侖摩擦模型[18]來計算切向摩擦力。為簡便起見，假設(shè)軸承和軸頸間的摩擦為滑動摩擦?；瑒幽Σ亮Υ笮】捎上率接嬎悖?/p>

式中：μd為動摩擦系數(shù)；sgn(?)為符號函數(shù)；cd為修正系數(shù)：

式中：v0和v1為臨界系數(shù)，可按經(jīng)驗取值；vT為軸頸和軸承在接觸點的相對切向速度。修正系數(shù)cd可避免當(dāng)vT接近零值時摩擦力的突然變向。

vT可按以下方法計算：軸承和軸頸在接觸點Q處的坐標(biāo)可表示為：

將其對時間求導(dǎo)，可得對應(yīng)的速度：

則相對切向速度vT和法向速度vN可以通過投影得到：

2.2.4 接觸力集成

計算出軸頸和軸承之間的法向接觸力和切向摩擦力后，軸頸和軸承對應(yīng)質(zhì)點所受總的接觸力可表示為：

式中，fN和fT分別為法向接觸力和切向摩擦力。法向接觸力通過軸承和軸頸的中心，不會產(chǎn)生附加力矩。但摩擦力是沿接觸點切向的，會對軸頸或軸承中心產(chǎn)生附加力矩。附加力矩大小為：

軸頸和軸承對應(yīng)質(zhì)點的運(yùn)動控制方程可寫為：

以上運(yùn)動控制方程的求解與一般質(zhì)點類似。

2.3 計算流程

通過對軸頸和軸承的接觸偵測、接觸力和摩擦力計算、接觸力集成，即可求解各質(zhì)點位移，進(jìn)入下一時刻，更新平面梁單元內(nèi)力，計算質(zhì)點合力，從而迭代求解出結(jié)構(gòu)運(yùn)動過程中各時刻的位移。完整的計算流程如圖4所示，其中的突出標(biāo)識為在原算法基礎(chǔ)上增加的考慮間隙接觸的計算步驟。

圖4 含間隙鉸平面機(jī)構(gòu)的有限質(zhì)點法計算流程Fig.4 Flowchart of finite particle method for planar mechanism with clearance revolute joint

3 數(shù)值算例

從上述分析和推導(dǎo)過程中可以看出，這種間隙鉸計算方法在已有的算法框架基礎(chǔ)上實現(xiàn)了間隙處的接觸偵測、接觸力計算和集成。本節(jié)通過算例驗證這種間隙鉸計算方法在平面機(jī)構(gòu)動力分析中的有效性和穩(wěn)定性。

3.1 平面四桿機(jī)構(gòu)

本文首先對一個含間隙轉(zhuǎn)動鉸的平面四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行模擬。如圖5所示，此機(jī)構(gòu)包含驅(qū)動桿、連桿和隨動桿，整個機(jī)構(gòu)包括3個理想轉(zhuǎn)動鉸，分別連接驅(qū)動桿與支座、驅(qū)動桿與連桿、隨動桿與支座，而隨動桿與連桿之間為含間隙轉(zhuǎn)動鉸。機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的特性見表1，間隙鉸的模擬參數(shù)見表2。構(gòu)件截面尺寸選取方式如下：設(shè)構(gòu)件的密度為ρ，質(zhì)量為m，長度為l，質(zhì)量慣性矩為I，則構(gòu)件截面面積A=m/(ρl)，截面慣性矩為Iz=(I/ρl)，因此滿足截面面積A和截面慣性矩Iz的截面均可選為算例尺寸。本算例構(gòu)件選用矩形截面，寬和高見表1。

圖5 含間隙鉸的平面四桿機(jī)構(gòu)Fig.5 Planar four-bar mechanism with clearance joint

表1 四桿機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的特性Table 1 Properties of each component in four-bar mechanism

表2 四桿機(jī)構(gòu)中間隙鉸的模擬參數(shù)Table 2 Simulation parameters for clearance joint in four-bar mechanism

采用有限質(zhì)點法，將該機(jī)構(gòu)各構(gòu)件分別離散為5個質(zhì)點和4個平面梁單元。為模擬剛性構(gòu)件，梁單元的彈性模量可取相對較大的值。理想鉸處兩個質(zhì)點之間的作用力通過上述位移耦合模型進(jìn)行計算，間隙鉸處兩個質(zhì)點的作用力通過上述間隙接觸模型進(jìn)行計算。在初始狀態(tài)，驅(qū)動桿與地面垂直，初始角位移與角速度均為零。在驅(qū)動桿支座端施加逆時針強(qiáng)迫角位移以模擬驅(qū)動力，穩(wěn)定后的角速度為50 π rad/s。為減小突加荷載引起的振動，首先進(jìn)行0.12 s的線性加載，使驅(qū)動桿的速度從0線性增加至50 π rad/s。之后的計算總時間為0.14 s，積分時間步長為10-7s。

為考察間隙對機(jī)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，本文首先對全為理想鉸節(jié)點的平面四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，然后將連桿和隨動桿之間的鉸節(jié)點改為間隙鉸節(jié)點進(jìn)行分析。圖6(a)和圖6(b)分別繪制了一個運(yùn)動周期內(nèi)(驅(qū)動桿角度為0°～360°)隨動桿的角速度和角加速度的時程曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，間隙的存在對隨動桿角速度的影響不大，但對其角加速度有較大影響。在角速度達(dá)到峰值的時刻附近，含間隙鉸的機(jī)構(gòu)角速度有一定的波動，對應(yīng)的角加速度曲線劇烈振蕩，其最大值相對于理想鉸機(jī)構(gòu)有較大增加。圖6(c)繪制了間隙鉸處的接觸力，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)驅(qū)動桿角度為250°～270°時，間隙鉸的接觸力劇烈震蕩。為考察間隙鉸對動力效應(yīng)的影響，分別定義隨動桿角加速度和間隙接觸力的放大系數(shù)DEα和DEF：

式中：αi和αc分別為理想鉸機(jī)構(gòu)和含間隙鉸機(jī)構(gòu)中隨動桿的最大角加速度；分別為理想鉸機(jī)構(gòu)和含間隙鉸機(jī)構(gòu)中接觸力最大值。從圖6(b)和圖6(c)分別提取角加速度和接觸力的最大值，可以得到DEα和DEF分別為66.9%和16.6%。從圖6(c)可以看出，在驅(qū)動桿角度為0°～225°時，理想鉸接觸力振動略大于間隙鉸接觸力，其原因為：驅(qū)動桿作用力通過平面梁單元傳遞給質(zhì)點，而梁單元內(nèi)力也存在一定程度的振動；本文方法中的質(zhì)點運(yùn)動方程采用牛頓第二定律求解，質(zhì)點在梁單元內(nèi)力作用下也表現(xiàn)為圍繞平衡點進(jìn)行一定幅度的振動，但其振動不影響計算結(jié)果的收斂性。理想鉸機(jī)構(gòu)中，沒有耗能的阻尼項，從而振動沒有被消除；含間隙鉸機(jī)構(gòu)中，接觸力中的耗能阻尼項減小了接觸力的振動，從而接觸力曲線較平滑。

圖6 含間隙鉸的平面四桿機(jī)構(gòu)模擬結(jié)果Fig.6 Simulation results for planar four-bar mechanism with clearance joint

通過跟蹤機(jī)構(gòu)運(yùn)動的全過程可知，在運(yùn)動初期，軸頸和軸承出現(xiàn)分離現(xiàn)象，隨后軸頸與軸承始終保持接觸狀態(tài)。圖6(d)繪制了穩(wěn)定周期運(yùn)動下軸頸中心相對于軸承中心的運(yùn)動路徑，可以看出侵入深度δ＞0，說明軸頸和軸承保持接觸狀態(tài)。δ在一個周期運(yùn)動中的某段時間內(nèi)增大，表明對應(yīng)的法向接觸力達(dá)到峰值。以上分析結(jié)果與文獻(xiàn)[19]中采用多體動力學(xué)方法分析的結(jié)果一致，證明了有限質(zhì)點法用于處理間隙轉(zhuǎn)動鉸的正確性。

3.2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

為驗證本文方法在柔性機(jī)構(gòu)及含多個間隙鉸機(jī)構(gòu)的動力問題求解方面的適用性，采用本文方法對一含間隙鉸的曲柄滑塊柔性機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力模擬。

如圖7所示，此機(jī)構(gòu)包含驅(qū)動桿、連桿和滑塊，滑塊可在水平方向自由滑動。整個機(jī)構(gòu)包括兩個理想轉(zhuǎn)動鉸，分別連接驅(qū)動桿與支座(鉸1)、驅(qū)動桿與連桿(鉸2)，連桿與滑塊之間為含間隙轉(zhuǎn)動鉸(鉸3)。柔性連桿在驅(qū)動力作用下將發(fā)生彎曲變形。機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的特性見表3，間隙鉸的模擬參數(shù)見表4。

圖7 含間隙鉸的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)Fig.7 Slider-crank mechanism with clearance joint

表3 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的特性Table 3 Properties of each component in slider-crank mechanism

表4 曲柄滑塊中間隙鉸的模擬參數(shù)Table 4 Simulation parameters for clearance joint in slider-crank mechanism

采用有限質(zhì)點法，將驅(qū)動桿離散為2個質(zhì)點和1個平面梁單元，將連桿離散為5個質(zhì)點和4個平面梁單元?；瑝K以獨立質(zhì)點模擬，其質(zhì)量通過質(zhì)點的集中質(zhì)量形式施加，并約束該質(zhì)點的豎向線位移和角位移，以模擬滑塊的約束條件。理想鉸和間隙鉸的模擬方法與平面四桿機(jī)構(gòu)的算例相同。在初始狀態(tài)，驅(qū)動桿與地面平行，初始角位移與角速度均為零。在驅(qū)動桿支座端施加順時針強(qiáng)迫角位移以模擬驅(qū)動力，穩(wěn)定后的角速度為5000 r/min。為減小突加荷載引起的振動，首先進(jìn)行0.024 s的線性加載，使驅(qū)動桿的速度從0線性增加至5000 r/min。之后的計算總時間為0.096 s。考慮機(jī)構(gòu)中連桿分別為剛性和柔性兩種情況，其彈性模量分別取2.07×1013Pa和2.07×1011Pa 。根據(jù)式(5)，積分時間步長分別取為1.59×10-7s和4.2×10-7s。

圖8(a)～圖8(b)對比了理想剛性機(jī)構(gòu)、含間隙鉸剛性機(jī)構(gòu)和含間隙鉸柔性機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)，并分別繪制了兩個運(yùn)動周期內(nèi)(驅(qū)動桿角度為0°～720°)滑塊的速度和加速度的時程曲線。可以看出，含間隙鉸剛性和柔性機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)振動幅度和峰值均比理想剛性機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)大。相對于含間隙鉸剛性機(jī)構(gòu)，含間隙鉸柔性機(jī)構(gòu)的速度和加速度振動幅度要小一些。從圖8(c)可以看出，含間隙柔性機(jī)構(gòu)的接觸力峰值也比含間隙剛性機(jī)構(gòu)要小約40%。以上結(jié)論與文獻(xiàn)[20]的試驗結(jié)果相符。圖8(d)還繪制了間隙鉸中軸頸中心相對于軸承中心的運(yùn)動路徑，可以看出運(yùn)動過程均經(jīng)歷了自由運(yùn)動、碰撞和接觸三種狀態(tài)，但柔性機(jī)構(gòu)中軸頸的相對運(yùn)動路徑更不平滑。從圖示結(jié)果可以看出，本文方法和文獻(xiàn)[7]通過理論推導(dǎo)和分析得到的結(jié)果一致，驗證了本文方法在求解含間隙柔性機(jī)構(gòu)動力問題的適用性。

為進(jìn)一步驗證本文方法在求解多間隙鉸機(jī)構(gòu)動力問題的有效性，將本算例中驅(qū)動桿和連桿之間的轉(zhuǎn)動鉸(鉸2)也設(shè)為含間隙鉸，比較理想鉸、單個間隙鉸和多個間隙鉸柔性機(jī)構(gòu)的動力效應(yīng)。圖9(a)～圖9(c)繪制了多個間隙鉸機(jī)構(gòu)的滑塊速度、加速度以及間隙接觸力的時程曲線。相比單個間隙鉸，多個間隙鉸機(jī)構(gòu)中滑塊速度的峰值有所增大，同時峰值處相位滯后更為明顯；同時，多間隙鉸機(jī)構(gòu)中加速度和接觸力峰值均有較大幅度增加。以上結(jié)果說明多個間隙鉸將顯著增加機(jī)構(gòu)的動力響應(yīng)。圖9(d)繪制了軸頸中心相對于軸承中心的運(yùn)動路徑，相對于單間隙鉸機(jī)構(gòu)，多間隙鉸機(jī)構(gòu)中的鉸3自由運(yùn)動狀態(tài)的幅度和范圍更大，而鉸2主要以接觸狀態(tài)為主。

圖8 含單個間隙鉸的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模擬結(jié)果Fig.8 Simulation results for slider-crank mechanism with single clearance joint

圖9 含多個間隙鉸的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模擬結(jié)果Fig.9 Simulation results for slider-crank mechanism with multiple clearance joints

從本算例可以看出，本文方法不需進(jìn)行復(fù)雜的理論推導(dǎo)，適合用于建立各種復(fù)雜機(jī)構(gòu)模型；在進(jìn)行剛性和柔性機(jī)構(gòu)分析時，只需調(diào)整構(gòu)件的彈性模量即可；同時適用于多間隙鉸機(jī)構(gòu)動力分析，編程簡單方便，適用性強(qiáng)。

4 結(jié)論

有限質(zhì)點法不需要集成整體剛度矩陣，適合進(jìn)行機(jī)構(gòu)動力分析，質(zhì)點間作用力的處理也十分方便。本文基于有限質(zhì)點法，建立了含間隙鉸平面機(jī)構(gòu)的動力分析方法，算例表明本文方法是正確并有效的，建模直觀，編程簡單方便，并且適用于求解含多個間隙鉸的柔性機(jī)構(gòu)動力問題。值得說明的是，其他的接觸力和摩擦力模型在本文提出的計算框架下實現(xiàn)起來也非常容易。利用本文方法對平面四桿機(jī)構(gòu)和曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力分析，結(jié)果表明間隙鉸對機(jī)構(gòu)運(yùn)動的位移和速度影響不大，但會使機(jī)構(gòu)的加速度和間隙鉸的接觸力有較大振蕩。利用本文提出的間隙鉸分析方法，可在實際工程中考慮間隙對復(fù)雜機(jī)構(gòu)或含機(jī)構(gòu)運(yùn)動的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，從而評估間隙產(chǎn)生的動力效應(yīng)，為機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)設(shè)計提供指導(dǎo)。