胡舒航

【摘要】“包裝的學(xué)問”是北師大版五年級下“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容，是一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課，以長方體和正方體的表面積為線索，探究多個(gè)長方體拼接成各種更大的長方體時(shí)面積最小的策略.平常的教學(xué)中我們都是探究到4個(gè)長方體為止，課后的練習(xí)中卻出現(xiàn)6個(gè)長方體組合求最小表面積的題目.根據(jù)對學(xué)生的訪談了解的情況，筆者對求這類包裝最小面積的問題有兩點(diǎn)啟發(fā)，不僅可以得到通用的方法，還可以提高學(xué)生的探究意識.

【關(guān)鍵詞】包裝的學(xué)問;重合的面;有序;表面積最小

一、重溫舊夢

“包裝的學(xué)問”老師們都很熟悉，很多名師對它也有精彩演繹，關(guān)于它的設(shè)計(jì)我不多做贅述，以下是一個(gè)“包裝的學(xué)問”課堂中新授課部分的一個(gè)簡單流程.

（一）激發(fā)興趣，導(dǎo)入新課

1.課件中播放各種精美的包裝，感受生活中的包裝.

2.出示單個(gè)包裝盒（長20 cm，寬10 cm，高5 cm），包裝的面積就是長方體的表面積.

（二）動(dòng)手操作，探究方案，得出結(jié)論

1.2個(gè)包裝盒的包裝方案

學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐展示三種方案.

方案一：兩個(gè)小面重合（如圖1所示）.

方案二：兩個(gè)中面重合（如圖2所示）.

方案三：兩個(gè)大面重合（如圖3所示）.

觀察后猜測第三種方案的表面積最小.

2.計(jì)算驗(yàn)證

（1）方法一：用組合后的圖形的長、寬、高求解.

方案一：（40×10+40×5+10×5）×2=1300（cm2）.

方案二：（20×20+20×5+20×5）×2=1200（cm2）.

方案三：（20×10+20×10+10×10）×2=1000（cm2）.

（2）方法二：用原來的面積減去重合的面積計(jì)算.

方案一：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-5×10×2=1300（cm2）.

方案二：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-20×5×2=1200（cm2）.

方案三：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-20×10×2=1000（cm2）.

（3）方法三：求小面、中面、大面的面積之和.

方案一：20×10×4+20×5×4+10×5×2=1300（cm2）.

方案二：20×10×4+10×5×4+20×5×2=1200（cm2）.

方案三：20×10×2+20×5×4+10×5×4=1000（cm2）.

比較計(jì)算方法，可以得出方法一和方法二的計(jì)算比較方便.

（三）包裝三個(gè)盒子

學(xué)生展示三種包裝方案.

方案一：4個(gè)小面重合（如圖4所示）.

方案二：4個(gè)中面重合（如圖5所示）.

方案三：4個(gè)大面重合（如圖6所示）.

學(xué)生計(jì)算得出方案三的面積最小.

小結(jié)：重合的面積越多，其包裝面積越小.

（四）包裝4個(gè)盒子

學(xué)生用學(xué)具代替盒子進(jìn)行嘗試擺拼，得出六種方法（如圖7所示）.

學(xué)生根據(jù)上面的小結(jié)進(jìn)行猜測，并計(jì)算驗(yàn)證哪種包裝面積最小.

總結(jié)：重合的面積越大，表面積就越小，就越節(jié)約包裝紙，這就是包裝的學(xué)問.用表面積之和減去重合的面積就是包裝紙的面積.

二、驚現(xiàn)問題

以上就是“包裝的學(xué)問”新授課部分的一個(gè)簡單的流程，本人也是按照這樣的流程進(jìn)行教學(xué)的.那么教學(xué)效果如何？在課后的一道練習(xí)中又暴露了學(xué)生的困惑，或者說是無從下手的地方，我們一起來看看這道題目：

把六個(gè)完全相同的長方體（6 cm×2 cm×1 cm）盒子包裝成一個(gè)大長方體，表面積最小是多少？

全班30人只有2人得出正確答案，其中一人還是在網(wǎng)絡(luò)的幫助下得到的正確答案.我對全班同學(xué)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，以了解他們解決這類題目時(shí)的策略及困難.

班級里的29人都不知道究竟有幾種拼法，其中只有一人知道總共有9種拼法.

這些人中有25人沒有通過計(jì)算，只是通過直覺判斷圖8這種拼法最節(jié)省，學(xué)生認(rèn)為這種拼法有10個(gè)最大的面重合，而且大面比中面和小面大得多.從上面的調(diào)查我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對究竟有幾種拼法是發(fā)現(xiàn)幾種就幾種，而且為了避開復(fù)雜的計(jì)算，都是憑直覺判斷哪種方案有最小的表面積.

三、慎思之，明辨之

俞正強(qiáng)特級教師曾說：“自己要時(shí)刻保持善良和努力.因?yàn)樯屏?，他們就會倒逼自己去思考如何提高、完善管理或教學(xué)，讓小朋友幸福成長.善良的老師會受不了孩子學(xué)得這么痛苦或?qū)頃纯?，于是會去思考，?dāng)他思考足夠努力時(shí)，解決方法就出來了.”

針對學(xué)生的困惑，我們要去努力解決兩個(gè)問題：

（1）如何有序地知道有幾種拼法？

（2）如何判斷何時(shí)表面積最小？能直接排除其他，只要計(jì)算其中的一種或兩種進(jìn)行比較豈不是更好？

管子曾說：“思之思之，又重思之.思之而不通，鬼神將通之;非鬼神之功也，精誠之極也！”經(jīng)過思考，我們一起來解決這兩個(gè)問題.

（一）第一個(gè)問題——有序地知道有幾種拼法

我們先從簡單的入手，2個(gè)盒子、3個(gè)盒子都是3種拼法，4個(gè)盒子就是6種拼法，6個(gè)盒子就是9種拼法，這和它們因數(shù)的對數(shù)有關(guān)，因數(shù)的對數(shù)越多，拼法也就越多.

以6個(gè)盒子為例，約定：如圖9，像這樣由24個(gè)小長方體組成的長方體我們把它叫作（2，3，4）.

我們知道，24=2×3×4.

6個(gè)小長方體能擺幾種，只要思考6=（）×（）×（）有多少種答案，我們根據(jù)排列組合可以預(yù)測它有9種，分別如下所示：

以上就是尋找有多少種組合的方法：只要尋找n個(gè)小長方體中n=（）×（）×（）有多少種結(jié)果，就可以根據(jù)它的因數(shù)有序?qū)ふ?

（二）第二個(gè)問題：何時(shí)面積最小

上述的9種拼法中，（1，2，3）這種拼法的面積是最小的，拼成之后的長方體的長、寬、高分別是6 cm，4 cm，3 cm.這組數(shù)據(jù)非常小而且非常接近，在圖形上也可以理解為拼成之后的立體圖形比其他幾個(gè)更加接近正方體，面積=（6×4+6×3+3×4）×2=108（cm2）.

隨著要拼的小長方體數(shù)量的增多，研究重合面積會變得越來越復(fù)雜.所幸拼成的大長方體的長、寬、高可以根據(jù)三維數(shù)對清楚地知道.用長、寬、高可以更快地求出最小表面積，或者說這是一種更加通用的方法.

判斷表面積最小的方法就是：用三維數(shù)對求出對應(yīng)的大長方體的長、寬、高，哪種拼法長、寬、高越小而且越接近（也就是拼成的立體圖形越接近正方體）它的表面積就越小.

四、思之又思之

為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新意識，我們可以把上面的兩個(gè)結(jié)論放在第二課時(shí)講解.第一課時(shí)就按教材的內(nèi)容從變化的角度著重研究變化部分的面積，第二課時(shí)就是為了讓學(xué)生挖得更深，走得更遠(yuǎn)，同時(shí)也走得更加輕松一些.

【參考文獻(xiàn)】

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