張 亮，周永輝

(1.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2.貴州師范大學(xué) 大數(shù)據(jù)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引言

1985年，Kyle[1]描述了一種內(nèi)部交易市場(chǎng)，內(nèi)部交易者利用擁有的私有信息，以噪聲交易者為掩護(hù)，選擇交易策略使利益最大化。同時(shí)，證明了這種動(dòng)態(tài)內(nèi)部交易市場(chǎng)在做市商進(jìn)行半強(qiáng)有效性定價(jià)下的線性均衡的存在性，并討論了均衡時(shí)信息釋放和市場(chǎng)的特征。而Jain和Mirman[2]建立了做市商收集到交易總量和部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值信息的內(nèi)部交易模型。Luo[3]還研究了做市商和內(nèi)部交易者同時(shí)知曉部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值信息的內(nèi)部交易模型。其他關(guān)于離散型內(nèi)部交易研究，見文獻(xiàn)[4-12]。

1992年，Back[13]將Kyle[1]的離散內(nèi)部交易模型推廣到連續(xù)內(nèi)部交易模型。然后，Back和Pedersen[14]對(duì)內(nèi)部人的高斯信息過程和高斯噪聲交易過程進(jìn)行了研究，得到了內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略和對(duì)應(yīng)的定價(jià)公式。Danilov[15]應(yīng)用變式的Kalman-Bucy濾波和信息域流擴(kuò)展方法，研究了一類服從擴(kuò)散隨機(jī)過程而其漂移項(xiàng)不確定的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)內(nèi)部交易情形。Caldentey R[16]建立了一種將隨機(jī)公告時(shí)間與接收信息流的內(nèi)部人相結(jié)合的模型。Aase[17]應(yīng)用濾波統(tǒng)計(jì)的方法，求出了一類單個(gè)內(nèi)部交易者的連續(xù)內(nèi)部交易的平衡策略。同年，Biagini[18]又研究了帶記憶性噪聲交易信息的內(nèi)部交易特征。Collin-Dufresne[19]將Kyle-Back模型擴(kuò)展到噪聲交易波動(dòng)性會(huì)隨時(shí)間隨機(jī)變化的情形。周[20]進(jìn)一步研究了部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值信息下的連續(xù)內(nèi)部交易的線性策略均衡問題。段晶花[21]研究了連續(xù)內(nèi)部交易市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值扭曲和過度自信的現(xiàn)象。Ma[22]進(jìn)一步得到了一類服從條件隨機(jī)微分方程的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)信息下的連續(xù)時(shí)間內(nèi)部交易特征，并得到一類新的隨機(jī)微分方程弱適定性條件。胡[23]研究了一類偏離半強(qiáng)有效性定價(jià)下的連續(xù)內(nèi)部交易。其他關(guān)于連續(xù)內(nèi)部交易的研究進(jìn)展，見最近綜述性論文[24]。

在現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，做市商往往會(huì)觀察到關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的多種信息，而這些不同的信息將是否影響對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)，是值得探討的問題。本文將在以往文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究當(dāng)做市商觀察到多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)線性結(jié)構(gòu)信息時(shí)，內(nèi)部人如何在連續(xù)內(nèi)部交易時(shí)進(jìn)行最優(yōu)決策，及其這些信息對(duì)最優(yōu)決策的影響。

1 模型

本文所涉及到的隨機(jī)變量和隨機(jī)過程均定義在濾子化概率空間 (Ω,F,{Ft}t≥0,P)。

市場(chǎng)中有三類擁有不同信息的交易者：

1)內(nèi)部人：知道風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)v的真實(shí)價(jià)值，并且在t∈[0,T)時(shí)刻提交交易量xt；

2)噪聲交易者：不知道關(guān)于該資產(chǎn)的任何相關(guān)信息，只能隨機(jī)的進(jìn)行交易，在t∈[0,T)時(shí)刻提交交易量：

(1)

其中σzs>0是確定的連續(xù)可微函數(shù)，Bzs是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；

3)做市商：在t時(shí)刻,不但觀察到總的交易量：

yt=xt+zt

(2)

而且觀察到關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)v的多種信息，為方便計(jì)，不妨觀察到兩種信息ut和nt：

ut=f(v,ε)

nt=g(v,η)

其中f,g是關(guān)于v和噪聲項(xiàng)ε,η的確定Borel可測(cè)函數(shù)。

對(duì)于上述信息ut和nt，做市商如果不能直接判別誰(shuí)更有效，那么做市商將以概率ρ相信ut，以1-ρ相信nt。這里ρ稱為置信程度，ρ∈(0,1)稱為非平凡置信程度。如果做市商能判斷某一信息為無效信息時(shí)，對(duì)此信息賦予的置信程度為0，如果能通過某一信息直接推知風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)真實(shí)價(jià)值，那么對(duì)此信息賦予的置信程度為1。

為了便于計(jì)算,我們做如下假設(shè)：

1)信息ut和nt是線性的，且噪聲項(xiàng)是服從正態(tài)分布的。參照文獻(xiàn)[20]對(duì)信息作如下處理,即：

(3)

(4)

2)隨機(jī)變量v，ε，η，Bzs，Bus，Bns是相互獨(dú)立的；

3)內(nèi)部人的交易策略[17]：

dxt=βt(v-pt)dt

(5)

其中βt稱為內(nèi)部人的交易強(qiáng)度，βt是[0,T)上的連續(xù)可微函數(shù)。

這樣，內(nèi)部人的財(cái)富[13]：

對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富：

對(duì)于內(nèi)部人而言，其目標(biāo)就是找到最優(yōu)交易強(qiáng)度βt，使得期望財(cái)富最大：

(6)

2 濾波方法

由方程(1)(2)(3)(4)(5)，總交易量過程和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)部分信息過程可寫為以下向量方程：

為了解決問題(6)，首先，我們考慮一個(gè)線性濾波系統(tǒng)：

(7)

由定義，更新過程為：

證明相關(guān)證明過程與文獻(xiàn)[17]中證明過程類似，在此不再贅述。

證明相關(guān)證明過程與文獻(xiàn)[17]中證明過程類似，在此不再贅述。

為了便于表達(dá)，記

其中

證明對(duì)?t∈[0,T]，則由文[25]的定理13.1有：

其中A+表示A的偽逆矩陣，AT表示A的轉(zhuǎn)置。

v、ε和η相互獨(dú)立

由定理12.8[25]有：

3 主要結(jié)果

在金融市場(chǎng)中，做市商觀察到的信息可能會(huì)影響做市商的定價(jià)，內(nèi)部人會(huì)根據(jù)市場(chǎng)的變化而改變自己的交易策略，以求累積到最多的財(cái)富。

定理1

1)當(dāng)ρ∈(0，1)，AC-B2=0時(shí)，

(a)若k1=k2=0(或k3=k4=0)，則內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略為

(b) 若k2=k4=0，則內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略βt=0，t∈[0,T)，對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富J(βt)=0；

2)當(dāng)ρ∈(0，1)，AC-B2≠0時(shí)，內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略為

(k3v+k4η-k3E[v])

證明

由假定，ki(i=1,2,3,4)不全為0，從而k2k3=0，k1k4=0且k2k4=0

要使得上述三個(gè)等式都成立，有且只有如下情況

(a)k1=k2=0(或k3=k4=0)，此時(shí)，無部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)信息ut，由文獻(xiàn)[21]可知內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略為

(b)k2=k4=0，此時(shí)，無噪聲項(xiàng)ε,η，做市商可由線性結(jié)構(gòu)信息推知風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)v的真實(shí)價(jià)值，所以內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略為βt=0，對(duì)應(yīng)的期望財(cái)富為J(βt)=0；

其中

類似文獻(xiàn)[17]定理2.1的證明，即可得證內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略為

特別地：ST=0，可推出v=pTa.s.

4 性質(zhì)

根據(jù)定理1，我們發(fā)現(xiàn)：

1)當(dāng)ρ∈(0，1)，內(nèi)部人的最優(yōu)策略與最大期望財(cái)富不會(huì)隨著做市商非置信程度的改變而改變；當(dāng)ρ=0或ρ=1，表明內(nèi)部人只相信某一信息，此時(shí)，與文獻(xiàn)[21]情形相同，內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略與最大期望財(cái)富見文獻(xiàn)[21]；

3)多信息過程ut,nt的扭曲系數(shù)ki∈R(i=1,2,3,4)共16種情形。對(duì)應(yīng)的內(nèi)部人最優(yōu)策略和最大期望財(cái)富如下：

表1 多信息置信定價(jià)下的內(nèi)部人最優(yōu)交易策略與最大期望財(cái)富Tab.1 Insider’s Optimal Trading Strategy and Maximum Expected Wealth under Multi-information Confidence Pricing

注：由于信息ut，nt是具有相同線性結(jié)構(gòu)的信息，所以其余6種對(duì)稱情形在表中不予給出。

5 結(jié)論

本文對(duì)一類做市商對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有多種信息觀察的連續(xù)內(nèi)部交易進(jìn)行了研究，得到了內(nèi)部人的最優(yōu)交易策略與交易財(cái)富，而最優(yōu)交易策略與做市商對(duì)信息的非平凡置信程度無關(guān)。多信息觀察包含了無部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)信息觀察、單信息觀察，且與之前相關(guān)研究結(jié)果保持一致。