潘登麗 倪萬魁 苑康澤 張鎮(zhèn)飛 王熙俊

(長安大學地質工程與測繪學院， 西安 710054， 中國)

0 引 言

土水特征曲線(SWCC)反映了土中含水量(質量或者體積含水量)與吸力之間的關系(Sillers et al.，2001a，2001b)，可以由其估計非飽和土的其他工程特性，如滲透系數，抗剪強度和體變特性(Cook， 1991; Rao et al.，2011)。以往大量的研究已經提出了很多封閉形式的經驗模型來擬合SWCC數據點，提出的每一個經驗模型都能很好地擬合SWCC的減濕和增濕曲線(Fredlund， 2006)。其中，Genuchten(1980)提出的經驗公式是最常用的模型之一，如式(1)所示。

(1)

式(1)為飽和度形式表示的VG模型。式中，a，m，n為擬合參數；ψ為基質吸力(kPa)；S為飽和度。為了計算方便，可取m=1-1/n，此時VG模型演變?yōu)镸ualem(1976)模型，只含有兩個參數，形式簡單，應用方便，是巖土工程文獻中常用的模型。

土水特征曲線的基本參數有進氣值ψaev，反彎點斜率Ki、殘余飽和度Sr和殘余吸力值ψr等，準確確定土水特征曲線基本參數是非飽和土強度、滲透性以及本構關系研究的基礎(高游等， 2017)。近年來針對SWCC的影響因素方面的研究比較普遍(賈寶新等， 2018； 石振明等， 2018； 李同錄等， 2019)，但是如何準確地確定SWCC基本參數的研究還較少。

目前對SWCC殘余飽和度Sr較為廣泛認可的定義是氣連通而水不連通時的飽和度，它在非飽和土水力、力學特性研究中有十分重要的位置。如在非飽和土強度預測方面(Bishop， 1959)，Bishop單應力狀態(tài)變量強度公式中，需要求解有效應力參數χ(0≤χ≤1)，而Vanapalli證明該參數可用有效飽和度Se(Se=(S-Sr)/(1-Sr))來代替，其中，Sr為殘余飽和度(Vanapalli et al.，1996)； 在非飽和土滲透系數的預測方面，殘余飽和度Sr直接或間接應用在很多非飽和滲透系數模型中，如CCG模型(Childs et al.，1950)、Burdine模型(Burdine， 1953)和Mualem模型(Mualem， 1976)。

殘余基質吸力ψr的眾多定義均是屬于經驗的定義，沒有明確的物理意義和理論支撐。如Genuchten(1980)把殘余基質吸力為1500,kPa時土體的狀態(tài)定義為殘余狀態(tài)。Sillers et al. (2001a，2001b)認為殘余含水量對應的基質吸力為3000,kPa，同時他認為殘余狀態(tài)是土中孔隙水從受毛細作用轉變到受吸附力作用的狀態(tài)，這種定義方法目前比較流行。

在傳統圖解法中，反彎點主要由人為主觀確定，在此點基礎上畫一條切線，分別與邊界區(qū)、殘余區(qū)土水特征曲線的直線相交，這3條直線兩兩相交，得到交點A和R，如圖1所示，分別為進氣點和殘余點，從而得到SWCC的基本參數。這種方法的精確度依賴于畫圖人員如何確定反彎點I，如圖2所示，不同的反彎點會產生不同的ψaev，這些ψaev值有很大差異性(ψaev=17， 27， 43,kPa)，說明傳統畫圖法由于主觀的不確定性和個人的判斷會產生很大的誤差(Soltani et al.，2017)。

圖1 單峰土水特征曲線基本參數定義Fig. 1 Definitions of unimodal SWCC variables

圖2 不同的反彎點會產生不同的進氣值Fig. 2 Different inflection points will lead to different air-entry values

如果土水特征曲線的基本參數用SWCC擬合參數來表示(如ψaev=f(a，m，n))，就會避免傳統畫圖法帶來的誤差。Zhai et al. (2012)利用Fredlund和 Xing模型導出了一系列的公式，求得進氣值和殘余吸力值； 高游等(2017)基于修正Fredlund and Xing擬合方程，提出單峰和雙峰土水特征曲線基本參數的確定方法； Soltani et al. (2017)利用4種常用的以體積含水率表示的VG模型(m=1;m=1-1/n;m=1-2/n;m≠1)導出進氣值和殘余狀態(tài)吸力值的關系式。相比體積含水率，飽和度更能直觀地反映非飽和土孔隙中充滿水的程度。然而，目前還沒有提出有關以飽和度形式表示的VG模型的基本參數的表達式，而且，如何利用VG模型求雙峰土水特征曲線基本參數的研究還并未見到。

因此，本文的目的是提出關于VG模型的單峰和雙峰土水特征曲線基本參數(進氣值，反彎點斜率和殘余吸力值)的確定方法，再對濾紙法試驗測得的數據點進行最優(yōu)化擬合，獲取擬合參數，驗證此方法的可行性，再結合蒸發(fā)試驗結果，分別得到單峰和雙峰SWCC殘余狀態(tài)的確定方法。

1 由VG模型確定基本參數

圖3 雙峰土水特征曲線基本參數定義Fig. 3 Definitions of bimodal SWCC variables

圖4 基于本文方法確定單峰SWCC的基本參數Fig. 4 The variables of unimodal SWCC are determined based on the method in this papera. L6； b. L7； c. L13

土體內部孔隙根據其孔隙分布可分為單峰孔隙分布，雙峰孔隙分布和多峰孔隙分布。當土體中存在1組所占比重相對較高的孔隙(優(yōu)勢孔隙)時，土體即為單峰孔隙分布，其內部孔隙為顆粒間孔隙，其土水特征曲線稱為單峰土水特征曲線(unimodal SWCC)，如圖1所示，曲線只有1個陡降段。當土體中存在兩組所占比重相對較高的孔隙(優(yōu)勢孔隙)，土體即為雙峰孔隙分布，其內部孔隙主要為集聚體內孔隙和集聚體間孔隙，其土水特征曲線稱為雙峰土水特征曲線(bimodal SWCC)，如圖3所示，曲線具有兩個不同斜率的陡降段和一個水平過渡段(Burton et al.，2014; Li et al.，2014)。因此，土水特征曲線按孔隙分布類型可分為單峰土水特征曲線和雙峰土水特征曲線。

1.1 單峰土水特征曲線基本參數的確定

要準確確定過渡區(qū)的切線方程，反彎點I(ψi，Si)的確定至關重要。在數學中，x是f(x)的拐點的一個必要條件是f(x)的二階導數應該等于0。因此，VG模型的SWCC函數或式(1)的反彎點(圖2中的點I)可以通過以下3個步驟得到：

(1)式(1)先對lg(ψ)求一階導，可得到任意吸力值所對應的斜率：

(2)

(2)式(2)再對lg(ψ)求導：

(3)

(3)最后令式(3)等于0，可得反彎點I的坐標為:

(4)

把ψ=ψi帶入式(2)中，可以得到過反彎點的切線斜率Ki:

(5)

由式(4)和式(5)，可知反彎點的坐標和斜率，據此可得過渡區(qū)直線的方程:

(6)

將邊界區(qū)的水平線方程S=1帶入式(6)，可得出進氣值ψaev:

(7)

殘余狀態(tài)的確定方法有兩種。

方法1：已有研究(Fleureau et al.，1993)表明，當土的含水量接近0時，各種類型土的吸力大致相同，都接近于106,kPa。也就是說，土水特征曲線要經過(106， 0)點。所以經過該點并與SWCC相切的切線(圖1中的L3)和反彎點切線L2的交點即為殘余點R1。

設L3與SWCC的切點為(ψt，St)，滿足兩個關系式：

(8)

Kr1由式(2)確定，但是計算發(fā)現，解不出ψt和St的解析解。因此只能由點(106， 0)引出一條直線，大致與擬合曲線相切，得到與L2的交點，即為R1(ψr1，Sr1)。

方法2：在曲線近似直線下降的高吸力段(殘余區(qū))任取兩點(ψ1，S1)、(ψ2，S2)，連成直線L3′，L3′與L2的交點即為R2(ψr2，Sr2)。L3′的斜率Kr2為：

(9)

故直線L3′的方程為：

S=Kr2[lg(ψ)-lg(ψ1)]+S1

(10)

聯立式(6)和式(10)，可得殘余點的吸力值:

(11)

將式(11)帶入式(1)，即解得殘余飽和度Sr2。

本文按美國材料與試驗協會標準(D18 Committee， 2010)對洛川原狀黃土L6、L7、L13進行濾紙法試驗，濾紙采用的是國產雙圈牌濾紙。待吸力達到平衡后，由濾紙的含水率與濾紙率定公式計算試樣的吸力，得到吸力-飽和度的數據點。3層試驗黃土的基本物理指標見表1。

表1 洛川原狀黃土的基本物理性質Table 1 Properties of Luochuan undisturbed loess

先利用VG模型(式1)對SWCC進行擬合，其擬合參數見表2，再根據上述確定單峰土水特征曲線基本參數的方法，在原擬合曲線的基礎上分別畫出邊界區(qū)、過渡區(qū)和殘余區(qū)的直線，見圖4，最后確定出土水特征曲線的基本參數(表2)。

表2 單峰土水特征曲線的擬合參數和基本參數Table 2 Best fitting parameters and variables of the unimodal SWCCs

由表2可知，式(1)對試驗點的擬合精度較高，均在0.970以上； L6、L7、L13的進氣值ψaev，殘余吸力值ψr和殘余飽和度Sr均隨著埋深增大而增大，而過渡區(qū)的直線斜率Ki并沒有這一規(guī)律，而是L7的斜率最小。這可能是由于L7的顆粒組成中黏粒含量較高，細砂粒含量極少，導致土體在相同的吸力增量下排出的水量較少，表現為過渡區(qū)斜率最小。由圖4可知，采用本文提出的方法可以比較精確地確定土水特征曲線的基本參數。傳統圖解法主要由操作人員人為確定過渡區(qū)切線，有很大的主觀性，而本文方法的精度只依賴于試驗數據點和擬合參數，精度大大提高。

1.2 雙峰土水特征曲線基本參數的確定

雙峰土水特征曲線可以看成是兩個反“S”型SWCC曲線的疊加，其過渡區(qū)由兩個斜率的下降段和一個水平段組成，如圖3所示。低吸力段SWCC的下降段由集聚體間孔隙控制，ψaev、ψi、Si、Ki、ψr和Sr分別是該下降段的進氣值、反彎點I的吸力值、飽和度和斜率、殘余點R的吸力值和飽和度； 高吸力段SWCC的下降段由集聚體內孔隙控制，ψ′aev、ψ′i、S′i、K′i、ψ′r和S′r分別是該下降段的進氣值、反彎點I′的吸力值、飽和度和斜率、殘余點R′的吸力值和飽和度。

以集聚體間孔隙和集聚體內孔隙的孔徑分界點D(ψd，Sd)為分界點，將雙峰土水特征曲線分為10-1～ψd和ψd～106兩部分，用式(1)進行分段擬合，獲得擬合參數分別為a0，n0，m0和a1，n1，m1(m滿足m=1-1/n)，這些參數將分別用于10-1～ψd段和ψd～106段的土水特征曲線基本參數的確定。

壓汞試驗得到的孔徑分布曲線可獲得集聚體間孔隙和集聚體內孔隙的分界孔徑Dd，用Young-Laplace方程可換算出等價基質吸力：

(12)

式中，Ts為水-氣交界面上的表面張力系數，當水與空氣界面溫度為20,℃時，Ts=0.072,75N·m-1；α為土顆粒與孔隙水之間的接觸角，一般取0。

10-1～ψd段土水特征曲線基本參數的確定：該段反彎點坐標(ψi，Si)及反彎點處的斜率Ki和式(4)、式(5)相同，相應地過渡區(qū)直線方程和式(6)相同，將邊界區(qū)的水平線方程S1=1帶入式(6)，可得出進氣值ψaev和式(7)相同。式(12)帶入式(1)得到Sd，將過渡區(qū)水平線方程S2=Sd帶入式(6)，可得到10-1～ψd段集聚體間孔隙所對應的殘余點坐標R(ψr，Sr)：

(13)

ψd～106段土水特征曲線基本參數的確定：該段SWCC擬合公式需要進行修改為:

(14)

則相應地S′m(ψ)、S″m(ψ)為:

S′m(ψ)=SdS′(ψ)

(15)

S″m(ψ)=SdS″(ψ)

(16)

同樣地，令式(16)等于0，可得反彎點I′的坐標為：

(17)

把ψ=ψ′i帶入式(15)中，可以得到過反彎點的切線斜率K′i：

(18)

由式(17)和式(18)可得ψd～106段下降段切線方程為：

S=K′i[lg(ψ)-lg(ψ′i)]+S′i

(19)

將過渡區(qū)的水平線方程S2=Sd帶入式(19)，可得ψd～106段的進氣值點A′(ψ′aev，S′aev)，計算結果表明，ψd～106段ψ′aev的表達式與式(7)完全相同，只需要把a，n，m替換為a1，n1，m1即可。

ψd～106段集聚體內孔隙所對應的殘余點坐標R′(ψ′r，S′r)的計算與單峰土水特征曲線相同，按1.1節(jié)中確定殘余狀態(tài)的兩種方法來確定。

表3 雙峰土水特征曲線的擬合參數Table 3 Bimodal SWCC best fitting parameters

表4 雙峰土水特征曲線的基本參數Table 4 Bimodal SWCC variables

圖5 洛川原狀黃土L1的孔徑分布圖Fig. 5 Pore size distribution of Luochuan undisturbed loess L1

圖6 基于本文方法確定雙峰SWCC的基本參數Fig. 6 The variables of bimodal SWCC are determined based on the method in this paper

2 蒸發(fā)試驗及殘余狀態(tài)的確定

第1節(jié)里提出了兩種確定殘余狀態(tài)的方法，由表2和表4可知，這兩種方法確定的殘余狀態(tài)相差較大，殘余飽和度相差最大的L7達到了11%，而L1的殘余吸力值ψr1和ψr2竟相差了2×104,kPa，因此，究竟哪種方法可以有效地確定殘余狀態(tài)？

陶高梁等(2018)通過進行模型擬合、水分蒸發(fā)試驗以及核磁共振試驗，得出這樣的結論：水分蒸發(fā)試驗是確定殘余含水率有效可行的直接方法。因此，本文將采用蒸發(fā)試驗獲取殘余含水率，從而判斷第1節(jié)的兩種方法的準確性。

取L1、L6、L7、L13的原狀環(huán)刀樣，每層2個平行試驗，利用真空飽和法進行飽和，置于溫度為25,℃的恒溫箱里，自然風干，隔一定時間稱量環(huán)刀樣總質量，得出土中含水量和蒸發(fā)時間的關系(圖7)。

圖7 洛川原狀黃土蒸發(fā)試驗結果Fig. 7 Evaporation test results of Luochuan undisturbed loess

由圖7中土中含水量隨時間的變化規(guī)律可知，不同層原狀黃土的蒸發(fā)過程可明顯分為3個階段：常速率階段、降速階段和殘余階段(唐朝生等， 2011)，符合一般土體水分蒸發(fā)的3個階段。

按陶高梁等(2018)中定義分界時間點的方法，由圖7可確定降速階段和殘余階段的分界時間點(臨殘時間tr)，tr對應的含水率即為殘余含水率ωr。利用圖7的試驗結果就可以確定殘余含水率ωr，最后結合質量含水率與飽和度之間的關系式(20)得到蒸發(fā)殘余飽和度Srzf，結果如表5所示。分別計算Sr1、Sr2與Srzf之間的相對誤差，列于表5。

(20)

式中，ωr為殘余質量含水率；Gs為土粒比重；e為土體的孔隙比。

表5 Srzf值以及Sr1、Sr2與Srzf的相對誤差計算結果Table 5 Srzf values and the relative errors between Sr1、Sr2 and Srzf

通過表5可以看出，蒸發(fā)試驗得到的殘余含水率在4.52%～7.22%之間，彼此相差不大。對于L1，其Sr1與Srzf的相對誤差e1小于Sr2與Srzf的相對誤差e2，故建議用方法1確定雙峰土水特征曲線的殘余狀態(tài)； 對于其余3層黃土，L7、L13的e2遠小于e1，盡管L6的e2大于e1，但這兩種方法確定的殘余點R1(1002， 0.179)和R2(1136， 0.156)很接近，故建議用方法2來確定單峰土水特征曲線的殘余狀態(tài)。

黃土是由多種礦物組成，其吸附結合水(薄膜水)的能力主要是由其親水性黏土礦物決定，非黏土礦物對其水合能力的影響很小(王鐵行等，2014)。也就是說，黃土殘余含水率的大小由其親水性礦物的含量多少決定。已有研究表明，殘余含水率與礦物成分特性有密切關系(Bates et al.，2013)。土樣的礦物成分特性不同，其殘余含水率就會不同。采用X射線衍射儀(XRD)分析實驗黃土的礦物成分，其主要礦物組成成分如表6所示。

表6 試驗黃土的主要礦物成分和含量Table 6 The main mineral composition and content of the loess

從表6可以看出試驗所用的4層洛川黃土的主要礦物成分為弱親水性的石英、方解石和斜長石，三者的總量為74%～83.1%。試驗黃土中的親水性黏土礦物為綠泥石和伊利石，這兩種親水性黏土礦物的含量在4層黃土中的分布較為均勻，其含量分別相差為3%、2%，可以認為4層試驗黃土中的親水性黏土礦物的含量相差很小，這可以解釋4層黃土的殘余含水率值相差不大的原因。

3 結 論

(1)基于VG模型提出了確定單峰和雙峰土水特征曲線基本參數的方法。首先由式(1)進行擬合確定其擬合參數，再根據擬合方程的幾何關系求出過渡區(qū)和殘余區(qū)的直線方程，最后由直線交點確定土水特征曲線基本參數。雙峰土水特征曲線較單峰土水特征曲線的不同是，要根據孔徑分界點將雙峰土水特征曲線分成兩段，進行分段擬合，分段求基本參數。

(2)用洛川標準剖面4層原狀黃土的SWCC試驗數據分別驗證了求解單峰和雙峰土水特征曲線基本參數方法的可行性。利用本文方法可較準確地確定土水特征曲線的基本參數。

(3)分析蒸發(fā)試驗結果，建議用方法1確定雙峰土水特征曲線的殘余狀態(tài)，用方法2來確定單峰土水特征曲線的殘余狀態(tài)。