謝信江

(四川電力設計咨詢有限責任公司 成都610041)

引言

圓形、 環(huán)形基礎廣泛應用在煙囪、 風電塔架基礎、 水塔、 筒倉、 石油化工塔中, 但實際設計中計算其基底反力(接觸應力、 基底壓力)分布卻非常不便, 原因主要在于出現(xiàn)脫空區(qū)后的截面參數(shù)是逐漸變化的。 與矩形基礎可得基底壓力精確分布不同, 目前對環(huán)形基礎基底反力分布暫未見準確且簡便之法。

早在1956 年, 前蘇聯(lián)的 D.P.Krasenskii 以脫空零應力線位置a為變量, 按照圓形基礎的基底脫空區(qū)是否超過全圓一半而區(qū)分出兩種情形,進行積分計算推導, 并形成了涵蓋偏心荷載下圓形基礎從脫空出現(xiàn)臨界點到全圓脫空的偏心距半徑比、 脫空零應力線位置、 基底最大壓力值的對照關系算表[1]。 除了算表數(shù)據(jù)稀疏之外, D.P.Krasenskii 最早而且完美地解決了圓形基礎在出現(xiàn)脫空后的基底壓力分布問題。 此后, 國內(nèi)外對圓形、 環(huán)形基礎的研究成果文獻大多集中在地基承載力、 地基附加應力和沉降方面。 我國的戴康程在1995 年提出了對大偏心受壓圓形基礎的基底反力算法, 通過初定基底反力脫開區(qū)后繼續(xù)迭代調(diào)整到正確的基底反力脫開區(qū)的辦法來實現(xiàn),然后把受壓區(qū)、 脫開區(qū)的慣性矩、 形心軸等力學特性參數(shù)作平行移軸到統(tǒng)一的全截面形心軸上進行計算[2]。 類似地, 同濟大學的陳俊嶺、 馬人樂等采用分區(qū)域計算截面慣性矩再作平行移軸的辦法來求環(huán)形基礎的基底受壓區(qū)參數(shù)[3,4], 其形式上參照矩形基礎的基底壓力計算表達式, 計算方法和力學概念較清楚, 但計算繁多不便。 劉軍采用引入抗力變量的方法進行了環(huán)形基礎的基底壓力推求, 并對規(guī)范算表進行了有限的外擴[5]。 以上屬于基底壓力分布為線性的研究, 這些研究的成果都略有相似, 且都應用復雜, 只能寄希望于專人計算后整理出計算表格以供工程設計人員查表插值選用。 與前述的研究對象為土質(zhì)地基不同, 在巖石地基上的圓形基礎, 因基礎-巖石相互作用, 其基底壓力分布普遍是非線性的。 YIN Ke 等對在巖石地基上的圓形基礎基底壓力分布進行了研究, 得到其解析表達式[6], 但這與本文探討情況不一樣。

謝信江、 龔節(jié)福等考察了環(huán)形、 圓形基礎的基底壓力分布, 將脫空零應力線位置、 半徑比、偏心距等參數(shù)比例化, 嘗試從力學和數(shù)學的基本概念入手, 進行應力的基本分析和微積分推導,已取得一些階段性成果[7,8]。 所采用算法的數(shù)學推導過程較復雜, 但力學概念清楚, 且成果易于使用。

本文繼續(xù)之前的分析推導工作并作完善, 得到完整全面的環(huán)(圓)形基礎基底壓力的準確分布和變化趨勢規(guī)律。 并通過對本文方法計算結(jié)果和其他規(guī)范、 文獻中結(jié)果進行比較, 證實了本文方法和推求得通用公式的正確性。

1 基本假定

根據(jù)靜力學中剛體受力平衡原理, 環(huán)形獨立基礎在受偏心距為e的偏心軸力N作用時(圖1), 所受的基底反力之和應與軸力N等值反號, 所受的基底反力之矩之和應與彎矩M=Ne等值反號。

圖1 環(huán)形基礎受偏心荷載Fig.1 Ring foundation under eccentric load

基底反力計算的基本假定: 1)假定基礎為剛性體； 2)假定基底壓力符合線性分布。

基底壓力分布有兩種情形: 情形一為基底全壓, 如圖2, 此時零應力點已經(jīng)在基礎范圍外,即αR＜-R； 情形二為基底局部出現(xiàn)脫空區(qū), 如圖3, 此時零應力點在基礎范圍內(nèi), 即-R≤αR。

圖2 基底壓力分布情形一(全壓, 即α∈( -∞, -1])Fig.2 Case one of distribution for foundation pressure(fully compress, i.e. α∈( -∞, -1])

圖3 基底壓力分布情形二(有脫空, 即α∈( -1, 1))Fig.3 Case two of distribution for foundation pressure(disengagement area, i.e.α∈( -1, 1)

進入情形二的判別依據(jù)是N/A≤M/W。 對于情形一, 基底反力公式已有且簡單易求。 本文著重討論情形二。 各符號意義:R為環(huán)形基礎外半徑(m)；r為環(huán)形基礎內(nèi)半徑(m)；α為環(huán)形基礎的零應力位置參數(shù)(無量綱)；β為環(huán)形基礎內(nèi)外半徑比(無量綱),β=r/R；pmax為基底邊緣的最大壓力值(kPa)(后文中簡作p)；N為豎向總荷載(kN)；M為總彎矩(kN·m)；e為偏心距(m),e=M/N。

2 建立積分方程

基底反力z的斜平面方程為:

式中:z為基底反力(kPa)。

根據(jù)高等數(shù)學[9]知識, 沿x向進行微元劃分, 見圖4。 劃分微元的y值方程為:

可得N、M的積分方程:

式中, 各有關參數(shù)必須同時滿足以下要求:α∈( -1, 1)；β∈(0, 1)；α＜β。

圖4 微元劃分Fig.4 Micro-element dividing

3 N 的積分方程求解

續(xù)上積分方程式(3), 有:

令

則有:

以下先進行各部分的求解, 主要在于采用換元積分法, 然后進行綜合。

3.1 求解N1

令x=Rsint:

3.2 求解N2

令x=Rsint:

3.3 求解N3

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

3.4 求解N4

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

3.5 求解N

將N1、N2、N3、N4代入N式中, 采用分段函數(shù)的表達法, 則為:

綜上, 軸力公式可統(tǒng)一表達為:

式中:n(α,β)為與α,β有關的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎時, 有:

4 M 的積分方程求解

續(xù)上積分方程式(4), 有:

則有:

4.1 求解M1

令x=Rsint:

4.2 求解M2

同前求解N1。

4.3 求解M3

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

4.4 求解M4

同前求解N3。

4.5 求解M

將M1、M2、M3、M4代入M式中, 采用分段函數(shù)的表達法, 則為:

綜上, 彎矩公式可統(tǒng)一表達為:

式中:m(α,β)為與α,β有關的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎時, 有:

5 情形二下公式的正確性驗證

利用N、M式聯(lián)立求解, 可得環(huán)形基礎基底壓力的通用公式, 如式(29)。 聯(lián)立方程中2個方程 2 個未知數(shù)(α和p), 理論上存在唯一解。

以α,β為變量, 取若干個值計算形成n(α,β)、m(α,β)的曲線圖, 見圖5 和圖6。 可見,符合受力規(guī)律。

利用上述求解的公式, 代入相應值, 與《高聳結(jié)構設計規(guī)范》(GB50135 -2006)[10]附錄C 中的表C 進行比較。 按GB50135 來設計環(huán)(圓)形基礎時, 需要查表和插值, 求得τ、ξ, 再求p、ac。

圖5 情形二 n(α, β)值圖Fig.5 Fig for n(α, β)

圖6 情形二 m(α, β)值圖Fig.6 Fig for m(α, β)

經(jīng)比較發(fā)現(xiàn), 結(jié)果高度一致。 軸力公式中,僅有很少量的n(α,β)算值與表C 中ξ值相差了±0.001； 偶見差異如: (1)r2/r1= 0.65,τ=1.642 時, 表C 中ξ=0.745, 采用本文反力公式為ξ=0.743； (2)r2/r1=0.65,τ=1.611 時, 表C 中ξ=0.732, 采用本文反力公式為ξ=0.730。彎矩公式中, 推求得e/R與表C 中e/r1值都是相差在±0.0003 以內(nèi), 僅有一兩個有細微差異。如: (1)r2/r1= 0.7,τ= 2.000 時, 表 C 中e/r1=0.37, 采用本文反力公式計算應為e/r1=0.3725； (2)r2/r1=0.9,τ=2.000 時, 表 C 中e/r1=0.45, 采用本文反力公式計算應為e/r1=0.4525。 推測此類情況的發(fā)生原因是, 基底已經(jīng)處于起算滿壓情形, 無法增大τ； 規(guī)范編寫者又不便在表C 中再增加一個零散的e/r1值。

此外, 還與《石油化工塔型設備基礎設計規(guī)范》(SH/T3030-2009)[11]計算圓形基礎用的表9 以及其他文獻中數(shù)表[1,4,5]比較, 結(jié)果也是高度一致。

在實際計算中, 應注意公式在數(shù)值計算過程的誤差控制, 因為1/0 在數(shù)學上是不成立的, 故需要使用極小量來代替0。 代替后, 1/0 在數(shù)值上的結(jié)果是某個大數(shù), 僅表示數(shù)學意義上的無窮大。 對β=0(即圓形基礎, 實際中是存在的)時可用極小量β=1.0 × 10-10代替； 對α=1(即無限逼近全脫空)時可用α=(1 -1.0 ×10-10)代替。

所以, 可利用本反力公式校核GB50135 等資料中數(shù)據(jù), 并可輕松準確地進行適用范圍外擴和細密化。

6 公式在情形一的推廣

不論在第2 節(jié)中的情形一還是情形二, 基底反力之和必須等于基礎及其上部的外力之和, 故可將通用公式推廣到情形一。 僅需將積分方程的積分上下限更改設置正確, 如下:

式中, 各有關參數(shù)必須同時滿足以下要求:α∈( -∞, -1]；β∈(0, 1)；α＜β。

與前類似地, 繼續(xù)推求可得:

以α,β為變量, 取若干個值計算形成n(α,β)、m(α,β)的數(shù)據(jù)圖, 見圖7 和圖8。 可見,符合受力規(guī)律, 且與情形二數(shù)據(jù)銜接一致。

圖7 情形一 n(α, β)值圖Fig.7 Fig for n(α, β)

圖8 情形一 m(α, β)值圖Fig.8 Fig for m(α, β)

可由應力間線性比例關系推求得下式, 它在情形一下恒成立。

為免除迭代之麻煩便于實際計算, 先利用上式求得α值, 再將其代入N式或M式中求得p值。

經(jīng)驗證, 推廣后的通用公式應用于情形一也是正確的。

7 基底脫開面積比

對環(huán)基的脫開面積比, 分兩種情形計算。 情形一 時,A脫開/A= 0。 情 形 二 時,A脫開/A=

對情形二, 類似地建立積分方程后繼續(xù)進行推導, 如下。

采用分段函數(shù)的表達法, 基底脫開面積比可以表達為:

綜上, 基底脫開面積比公式可統(tǒng)一表達為:

式中:a(α,β)為與α,β有關的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎時, 有:

以α,β為變量, 取若干個值計算形成a(α,β)的曲線圖, 見圖9。

圖9 情形二 a(α, β)Fig.9 Fig for a(α, β)

8 使用示例

某3.0MW 風電機組基礎, 天然地基, 修正后fa=380kPa。 極端運行工況下導算塔筒底處的荷載標準值為M=123330kN·m,V=1330kN,N=5180kN。 對極端運行工況下的基底尺寸進行比算。

方案一, 采用圓形基礎, 圓形基礎半徑R=10.910m。 對其極端運行工況進行基底反力分布分析。 處理后得基底的荷載標準值為M=173880kN·m,V=1797kN,N=37067kN。

由β=r/R=0,e/R=M/NR=0.42997, 可得:α=-0.4268,n(α,β)=1.0628,m(α,β)=0.4570, 脫開面積比=23.7%, 脫開面積比小于現(xiàn)行規(guī)范限值的 25%。 由式(29) 可得,p=小于 1.2fa=456kPa。

方案二, 改用環(huán)形基礎, 采取合理措施使內(nèi)圓范圍內(nèi)不與地基產(chǎn)生受力關系。 環(huán)形外半徑R=10.910m, 環(huán)形內(nèi)半徑為r=5.455m。 處理后得基底的荷載標準值認為近似同方案一。

由β=r/R=0.5,e/R=M/NR=0.4299, 可得:α=-0.6681,n(α,β)=0.9713,m(α,β)=0.4176, 脫開面積比=14.5%, 脫開面積比小于現(xiàn)行規(guī)范限值的 25%。 由式(29) 可得,p=小于 1.2fa=456kPa。

實際使用中, 可根據(jù)上述公式先編制好算表, 在計算時根據(jù)β、e/R可求得設定精度的α、n(α,β)、m(α,β)、A脫開/A。 亦可先編制好數(shù)表, 進行查表法插值求解。

9 結(jié)論與討論

總之, 推廣后的通用公式可對環(huán)(圓)形基礎在任意N、M下的線性基底壓力分布實現(xiàn)精確求解。 其特點如下:

(1)公式參數(shù)概念清晰, 成果使用簡便。 可直接使用成果公式進行環(huán)(圓)形基礎的線性基底壓力分布的精確計算, 也可形成成果數(shù)表后查表法插值計算。

(2)可計算范圍全面。 適用于任意半徑比任意偏心距, 它的計算范圍是脫開面積比從0 到100%。 但應注意, 對于脫開面積比較大時實際的基底壓力分布未必會符合線性假定, 使用時應謹慎。

(3)可套用本文的應力積分法, 對于基底形狀特殊的, 以及對于一些基底壓力非性線分布的, 也能求出基底反力分布的唯一解。 本文算法的指導思想為: 先建立應力分布函數(shù), 對基底劃分微段的應力進行積分, 成立作用力與反作用力平衡方程后進行求解。 只要變化函數(shù)是連續(xù)的,理論上它可對任意的基礎底面形狀(如八邊形、六邊形等)、 基底壓力分布(如鐘形、 馬鞍形等), 進行基底壓力的理論精確求解, 形成與其對應的專用n(α,β)、m(α,β)、a(α,β)系數(shù)。 當然, 具體求解能否成功還要看積分算式是否可積和求解難度。