田應(yīng)智

[摘? ? ? ? ? ?要]? 結(jié)合圖論課程的自身特點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的特點(diǎn)，探討了圖論的網(wǎng)上教學(xué)。首先介紹了圖論課程的特點(diǎn)和圖論的傳統(tǒng)課堂教學(xué)。其次探討了圖論網(wǎng)上教學(xué)的三個(gè)環(huán)節(jié)：課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，網(wǎng)上直播教學(xué)環(huán)節(jié)，課后作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)。最后給出關(guān)于圖論網(wǎng)上教學(xué)的個(gè)人總結(jié)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 圖論;傳統(tǒng)教學(xué);網(wǎng)上教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）22-0196-02

一、圖論的傳統(tǒng)課堂教學(xué)

圖論最早可以追溯到哥尼斯堡七橋問題。1736年，歐拉把哥尼斯堡七橋問題抽象成一個(gè)圖論問題，證明了不存在經(jīng)過每座橋恰好一次的路徑，這被認(rèn)為是圖論方面最早的文章。自此以后，很多著名的問題被提出，如四色猜想、哈密爾頓圈問題等，這些問題推動(dòng)著圖論的發(fā)展。20世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的出現(xiàn)，圖論迎來了快速的發(fā)展，并最終形成了一門獨(dú)立的學(xué)科。網(wǎng)絡(luò)可以模擬化為圖，因此圖論理論可以用來解決網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)問題。一方面圖論的發(fā)展為網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展提供理論依據(jù)和支持;另一方面網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展也為圖論提供了需要解決的問題，推動(dòng)圖論自身的發(fā)展。如今，圖論已經(jīng)形成多個(gè)分支，如隨機(jī)圖論、代數(shù)圖論和化學(xué)圖論等，這些分支與其他數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系，不但能用這些學(xué)科的一些方法和結(jié)論，還為這些數(shù)學(xué)學(xué)科中的一些問題提供解決思路和工具。圖論在其他學(xué)科領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用，如理論計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等。

圖論學(xué)科有別于其他傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科，比如數(shù)學(xué)分析是建立在極限理論的基礎(chǔ)上，高等代數(shù)是建立在解線性方程理論的基礎(chǔ)上。圖論的研究?jī)?nèi)容非常豐富和廣泛，沒有統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)和研究方法，基本上每一個(gè)分支甚至每一類問題都要用不同的研究工具和方法。比如四色猜想的證明要用禁止子圖和計(jì)算機(jī)編程去解決;圖的連通性的研究是建立在Menger定理的基礎(chǔ)上;圖的平面性研究是建立在禁止子圖和子式理論基礎(chǔ)上;圖的網(wǎng)絡(luò)流研究是建立在最大流最小割定理的基礎(chǔ)上。圖論與不同的學(xué)科交叉可以形成不同的圖論分支，比如圖論和隨機(jī)方法的交叉形成隨機(jī)圖;圖論與代數(shù)的交叉形成代數(shù)圖論;圖論和計(jì)算機(jī)理論的交叉形成圖論的算法理論;圖論與化學(xué)的交叉形成化學(xué)圖論?？傊?，圖論的研究?jī)?nèi)容非常廣泛，圖論各個(gè)分支的研究方法和理論基礎(chǔ)不盡相同。

由于圖論的學(xué)科特點(diǎn)，圖論的傳統(tǒng)課堂教學(xué)有如下的特點(diǎn)：（1）圖論的應(yīng)用背景使得在教學(xué)中可用的例子比較多，有助于吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;（2）圖論教學(xué)中所涉及的內(nèi)容和概念非常多，有時(shí)候圍繞一個(gè)問題的研究就有相應(yīng)的術(shù)語和概念，這在具體的教學(xué)中會(huì)給學(xué)生帶來一些困擾;（3）圖論中問題的敘述普遍比較易懂，但是問題背后有著深刻的內(nèi)涵，解決起來不見得容易，有些問題的解決非常棘手，有很多的公開問題;（4）圖論中的很多證明非常漂亮、簡(jiǎn)潔，許多證明的方法不一，這會(huì)給學(xué)生展現(xiàn)圖論之美;（5）圖論中的很多證明可以用圖直觀展示讓學(xué)生一目了然，然后再用嚴(yán)格的圖論語言去講解，這種數(shù)形結(jié)合的思想是圖論教學(xué)的一大特點(diǎn)。

圖論的傳統(tǒng)課堂教學(xué)中也存在一些問題：（1）圖論教學(xué)中注重理論的講解與推導(dǎo)，相關(guān)應(yīng)用問題的講解偏少。由于圖論中的概念、定義和定理比較多，如果只對(duì)理論部分講解，則學(xué)生會(huì)逐漸失去興趣，并會(huì)產(chǎn)生枯燥的感覺，所以在講解圖論知識(shí)的同時(shí)要加入相關(guān)背景和應(yīng)用的介紹。如在講連通性理論的時(shí)候可以結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的可靠性;講歐拉圖理論的時(shí)候可以結(jié)合中國郵遞員問題;講哈密爾頓圖理論的時(shí)候可以結(jié)合旅行售貨員問題;講匹配理論可以結(jié)合人事分配問題;講著色理論可以結(jié)合四色猜想。（2）教學(xué)資源需要進(jìn)一步完善。現(xiàn)在開圖論課程的院校很多，但可用的教學(xué)資源還不多，還需要制作一些優(yōu)質(zhì)的課件、豐富的試題庫及其輔助測(cè)試評(píng)價(jià)系統(tǒng)等。（3）根據(jù)學(xué)生的情況，探索適合學(xué)生的教學(xué)方法。要根據(jù)學(xué)生的專業(yè)和所處的水平，制訂適合學(xué)生的教學(xué)大綱。在教學(xué)過程中，爭(zhēng)取做到因材施教，讓學(xué)生學(xué)有所獲，學(xué)有所成。

二、圖論的網(wǎng)上教學(xué)

本小節(jié)主要從課前預(yù)習(xí)、網(wǎng)上直播教學(xué)和課后作業(yè)與輔導(dǎo)三個(gè)環(huán)節(jié)討論圖論的網(wǎng)上教學(xué)。

（一）課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)

課前預(yù)習(xí)是教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是教學(xué)質(zhì)量的重要保證。要把具體的課前預(yù)習(xí)內(nèi)容布置給學(xué)生，不能籠統(tǒng)地說一句“大家把下一次課的內(nèi)容提前復(fù)習(xí)一下”之類的話。我是利用中國大學(xué)慕課上的慕課資源來輔助教學(xué)的，對(duì)于慕課的選擇要根據(jù)自己所用的教材和學(xué)生的具體情況來定。慕課的好處是把知識(shí)點(diǎn)拆開，形成小的教學(xué)模塊，但不足在于知識(shí)碎片化，不利于學(xué)生的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。這就要求結(jié)合慕課教學(xué)和網(wǎng)上直播教學(xué)，使得學(xué)生又快又好地掌握教學(xué)內(nèi)容。我會(huì)在上課前把下次上課所涉及的慕課內(nèi)容布置給學(xué)生提前觀看和學(xué)習(xí)，通過觀看慕課內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)上課的內(nèi)容有大致了解，把慕課學(xué)習(xí)的情況反饋給老師，這樣老師在網(wǎng)上直播教學(xué)環(huán)節(jié)中，就能做到有的放矢，重點(diǎn)突出;對(duì)大家普遍比較容易理解的知識(shí)點(diǎn)就可以快速講解，甚至一帶而過;對(duì)大家不容易理解的知識(shí)點(diǎn)要做到重點(diǎn)講解，舉一反三，做到讓學(xué)生真正掌握和理解。

（二）網(wǎng)上直播教學(xué)環(huán)節(jié)

網(wǎng)上直播教學(xué)環(huán)節(jié)是整個(gè)網(wǎng)上教學(xué)環(huán)節(jié)的重中之重。教師要根據(jù)慕課學(xué)習(xí)的情況，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的特點(diǎn)和傳統(tǒng)課堂的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，做好網(wǎng)上直播教學(xué)環(huán)節(jié)。

1.要選好網(wǎng)上直播平臺(tái)。如果學(xué)校有自己的網(wǎng)絡(luò)直播平臺(tái)就用學(xué)校的平臺(tái)，這樣就可以避免網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)高峰時(shí)段的擁堵，也能更好地保護(hù)自己直播的版權(quán)，也可以用來制作自己的慕課。如果自己學(xué)校沒有網(wǎng)絡(luò)直播平臺(tái)，就可以選擇市場(chǎng)上的一些免費(fèi)直播平臺(tái)，如騰訊會(huì)議、釘釘群直播、Zoom會(huì)議等。騰訊會(huì)議是騰訊公司專為網(wǎng)上會(huì)議而打造的一個(gè)平臺(tái)，它的界面簡(jiǎn)潔，可以隨時(shí)加入會(huì)議，可以共享屏幕，但不能自動(dòng)錄屏。釘釘是阿里巴巴專為辦公打造的一款應(yīng)用軟件，它的功能豐富，有群通知、打卡簽到、作業(yè)布置等功能，其中釘釘群直播自動(dòng)共享屏幕，自動(dòng)錄屏，這樣學(xué)生可以回看網(wǎng)上直播視頻。Zoom視頻會(huì)議和騰訊視頻會(huì)議的功能類似，都提供不同場(chǎng)景的會(huì)議模式，滿足不同的需求，可以共享屏幕和錄制視頻會(huì)議。

2.要做好課件。好的課件會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，減少學(xué)生在屏幕上學(xué)習(xí)的疲勞程度。怎樣才能做出好的課件呢？我認(rèn)為應(yīng)該注意以下事項(xiàng)：（1）每張幻燈片不要放太多的內(nèi)容，不要放不講的內(nèi)容，這樣就會(huì)重點(diǎn)突出，不會(huì)混淆視聽，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到最重要的內(nèi)容;（2）幻燈片里不能只寫大段的文字，這樣學(xué)生不可能在很短的時(shí)間里一邊聽老師講一邊去讀所有的文字，所以在幻燈片里，如果這些文字確實(shí)有必要出現(xiàn)，可以嘗試用關(guān)鍵詞代替，或把重要的文字用其他顏色標(biāo)出;（3）字體要統(tǒng)一，不管是標(biāo)題還是小節(jié)內(nèi)容，最好用統(tǒng)一的字體，這樣會(huì)讓人有一種整潔的感覺，也顯得比較正式和專業(yè);（4）不宜用過多的顏色，會(huì)有一種花里胡哨的感覺，容易分散學(xué)生注意力，也會(huì)有一種不正式、不嚴(yán)肅的感覺;（5）幻燈片里可以插入一些圖畫、短片和動(dòng)畫，這樣在講解過程中能起到調(diào)節(jié)學(xué)生思維的作用，提高學(xué)生的注意力和興趣，減少學(xué)生的視力疲勞感。

3.要做好網(wǎng)絡(luò)直播課的在線講解。這個(gè)過程可以借鑒大家在傳統(tǒng)課堂的經(jīng)驗(yàn)。要調(diào)試好網(wǎng)絡(luò)設(shè)備，如網(wǎng)絡(luò)連接、耳機(jī)、麥克風(fēng)、寫字板等，要保證這些設(shè)備的正常運(yùn)行。結(jié)合圖論課程的自身特點(diǎn)和傳統(tǒng)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，圖論網(wǎng)上直播教學(xué)要做好以下幾點(diǎn)：（1）在上正式內(nèi)容之前，先上一節(jié)圖論的介紹課程，主要介紹圖論的歷史與發(fā)展。這可以讓學(xué)生對(duì)圖論這門課有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣。比如哥尼斯堡七橋問題可以看作是圖論的開端，介紹歐拉怎樣把這個(gè)問題抽象成圖論問題以及它與一筆畫問題的聯(lián)系和這個(gè)問題的推廣結(jié)論。進(jìn)一步，介紹中國郵遞員問題怎樣轉(zhuǎn)化成歐拉問題，及怎樣應(yīng)用算法去解決中國郵遞員問題。更進(jìn)一步，介紹和中國郵遞員問題相關(guān)的旅行售貨員問題。和中國郵遞員問題比起來，旅行售貨員問題至今還沒有好的算法。這就牽扯到算法理論，如P問題、NP問題等。這個(gè)問題的介紹，不但能讓學(xué)生對(duì)圖論發(fā)展有初步認(rèn)識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)和解決問題的思維方法。再比如四色猜想，這個(gè)問題大家都比較熟悉，對(duì)這個(gè)問題的研究過程就是一部圖論著色理論建立的過程。四色問題的研究過程中，一度認(rèn)為四色猜想被證明，但后來發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明是有問題的。雖然借助計(jì)算機(jī)，四色猜想最終被證明，但到現(xiàn)在依然沒有一個(gè)數(shù)學(xué)的證明。（2）在講述理論知識(shí)的時(shí)候，要多加入實(shí)例的教學(xué)。圖論的概念雖然很多很雜，但大多數(shù)概念都是從具體的應(yīng)用場(chǎng)景中抽象出來的。比如在講圖的連通性理論時(shí)候，可以研究一些具體的網(wǎng)絡(luò)的可靠性例子;講哈歐拉環(huán)游問題的時(shí)候可以舉例中國郵遞員問題;講哈密爾圖問題的時(shí)候可以舉例旅行售貨員問題;講匹配理論的時(shí)候可以舉人事分配、課表安排和婚姻匹配等例子;講Ramsey理論的時(shí)候可以舉每六個(gè)人中有三個(gè)人認(rèn)識(shí)或有三個(gè)人不認(rèn)識(shí)這個(gè)例子。這些具體的例子，不但可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也更容易掌握理論知識(shí)。通過這些事例，也可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方式抽象出具體問題，然后用所學(xué)的知識(shí)去分析解決碰到的實(shí)際問題。（3）根據(jù)學(xué)生的專業(yè)選擇授課內(nèi)容的講述方式。如果是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，就要側(cè)重理論知識(shí)的講解和嚴(yán)格的證明，穿插一些例子和應(yīng)用背景的講解。如果是計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，這時(shí)候就要偏向于應(yīng)用和算法的講解。（4）要注重和其他學(xué)科交叉。如圖的譜理論就和代數(shù)緊密聯(lián)系，隨機(jī)圖理論就和概率緊密聯(lián)系，圖的算法理論和信息科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)緊密聯(lián)系，圖的指標(biāo)理論和化學(xué)緊密聯(lián)系。在講解的過程中，不但要講圖論在諸如代數(shù)、組合數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、信息科學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，也要講這些領(lǐng)域?qū)D論發(fā)展的推動(dòng)作用，如提供新的研究問題、研究工具、研究方法。

（三）課后作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)

一方面做作業(yè)過程就是學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決問題的過程，這會(huì)督促學(xué)生去學(xué)自己沒有學(xué)懂的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到對(duì)所學(xué)內(nèi)容更進(jìn)一步的理解與掌握。另一方面通過學(xué)生的作業(yè)完成情況，老師也能了解到學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，從而調(diào)整自己的上課進(jìn)度和側(cè)重點(diǎn)。鑒于這兩方面的作用，布置作業(yè)要注意以下事項(xiàng)：（1）所布置的作業(yè)要緊扣所講授的內(nèi)容，不能布置和講授與內(nèi)容關(guān)聯(lián)度不高的習(xí)題;（2）布置的作業(yè)的難度要適中，布置的作業(yè)太難會(huì)打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也不符合學(xué)習(xí)的逐漸深入的過程;（3）布置的作業(yè)數(shù)量要適中，太多的作業(yè)會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生一定的壓力，不一定會(huì)產(chǎn)生很好的效果。通過對(duì)學(xué)生作業(yè)的批改，教師就能掌握學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。輔導(dǎo)環(huán)節(jié)就是對(duì)作業(yè)情況的反饋，這個(gè)環(huán)節(jié)就要把學(xué)生掌握不太好的知識(shí)點(diǎn)再次講解，然后通過講解相關(guān)題目，達(dá)到讓學(xué)生最終掌握的目的。

三、總結(jié)

結(jié)合傳統(tǒng)課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對(duì)網(wǎng)上直播教學(xué)的認(rèn)識(shí)，本篇文章主要探討了圖論網(wǎng)上教學(xué)。網(wǎng)上教學(xué)可以看作是傳統(tǒng)課堂教學(xué)的延伸，但網(wǎng)上教學(xué)是一個(gè)新的教學(xué)環(huán)境，這就對(duì)教師提出了更高的要求。一方面教師可以借鑒傳統(tǒng)課堂的經(jīng)驗(yàn)，另一方面教師要打破傳統(tǒng)，要學(xué)習(xí)和面對(duì)新的教學(xué)模式，適應(yīng)和做好網(wǎng)上直播教學(xué)。

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編輯 司 楠