董永忠

摘要：本文介紹冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的主要應(yīng)用，以及解決這類問題的簡(jiǎn)便、快捷方法——口訣法。

關(guān)鍵詞：函數(shù);口訣;解題

在現(xiàn)在中專學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差、怕上數(shù)學(xué)課的實(shí)際情況，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)、提煉，讓學(xué)生掌握關(guān)鍵和要點(diǎn)，會(huì)簡(jiǎn)單的進(jìn)行應(yīng)用，就顯得十分重要。

筆者在講授《數(shù)學(xué)》（高等教育出版）第二章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，感到三類函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生不容易掌握，特別是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去比較兩個(gè)數(shù)值大小的實(shí)際實(shí)用，按教材上的做法，是通過去考察一個(gè)函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而去比較出兩個(gè)數(shù)值的大小，但這種方法步驟顯得比較繁瑣，學(xué)生容易混淆，容易做錯(cuò)。筆者在講授這個(gè)部份時(shí)，首先按教材上的方法進(jìn)行講解、做題，在學(xué)生奠定了一定的基礎(chǔ)理論后，再把這些知識(shí)歸納總結(jié)成口訣，并用口訣回頭重新舉例做題，讓學(xué)生從對(duì)比中體會(huì)口訣做題的快捷、方便。

現(xiàn)舉例一一進(jìn)行說明：

1、冪函數(shù) ?的單調(diào)性

1.1 單調(diào)性歸納

1.2 單調(diào)性的主要應(yīng)用：比較兩個(gè)同指數(shù)的冪的大?。ǖ状笥?）。

例：（教材P48，P51部份例子）比較下面各組中兩個(gè)值的大?。?/p>

（1） （2）

解法一（教材上的做法）

（1）和可以看作是函數(shù)當(dāng)和時(shí)的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知

（2）和可以看作是函數(shù) 當(dāng)和時(shí)的兩個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知

對(duì)解法一進(jìn)行歸納、總結(jié)、提煉，得出這一方法的做題口訣。（后面兩類函數(shù)，省去解法一，直接歸納出做題口訣）

1.3 單調(diào)性應(yīng)用口訣：

兩個(gè)同指數(shù)的冪（底大于零）若指數(shù)大于零，則底大的冪就大，底小的冪就小;若指數(shù)小于零，則底大的冪反而小，底小的冪反而大，用不等式簡(jiǎn)記為：

（1） （2）

解法=（用口訣做題）

（1） （2）

（心里暗念一遍口訣，即可直接得出答案）

或可寫成

（1）

（2）

2、指數(shù)函數(shù)且 的單調(diào)性

2.1 單調(diào)性歸納{（-∞，+∞）↗（α>1）（-∞，+∞）↘ （0< α< 1）

2.2 單調(diào)性主要應(yīng)用：

（1）比較兩個(gè)同底的冪的大小;

（2）已知兩個(gè)同底的冪的大小，去判定指數(shù)的大小。

2.3 單調(diào)性應(yīng)用口訣：兩個(gè)同底的冪，若底大于1，則指數(shù)大的冪就大，指數(shù)小的冪就小，反之亦然;若底大于0小于1，則指數(shù)大的冪反而小，指數(shù)小的冪反而大，反之亦然，用不等式簡(jiǎn)記為

（1） （2）

例1：（教材P60頁例子），比較下列各組里兩個(gè)值的大小。

（1）和 （2）和

解：（用口訣做題）（1）> （2）

或可寫成：（1） （2）

例2（教材P64頁習(xí)題）比較下列各式中m和n的大小。

（1） （2）

解（1）（2）

例3（教材P64頁習(xí)題） x取什么值時(shí)，下列各式成立？

（1） （2）

解：（1）

即時(shí)，成立

（2）

即時(shí)，成立

3、對(duì)數(shù)函數(shù)（ 且 ）的單調(diào)性

3.1 單調(diào)性歸納{（0， +∞）↗（α>1）（0， +∞）↘（0<α< 1）

3.2 單調(diào)性的主要應(yīng)用：

（1）比較兩個(gè)同底的對(duì)數(shù)值的大小。

（2）已知兩個(gè)同底的對(duì)數(shù)值的大小，去判斷真數(shù)大小。

3.3 單調(diào)性應(yīng)用口訣：兩個(gè)同底的對(duì)數(shù)，若底大于1，則真數(shù)大的對(duì)數(shù)值就大，真數(shù)小的對(duì)數(shù)值就小。反之亦然;若底大于0小于1，則真數(shù)大的對(duì)數(shù)值反而小，真數(shù)小的對(duì)數(shù)值反而大，反之亦然”，用不等式簡(jiǎn)記為：

（1）

（2）

例如：（教材P94頁例子）比較下列各組里兩個(gè)值的大小。

（1）與 （2）與

解：（用口訣做題）（1） （2）

或?qū)懗桑海?）

（2）

例如（教材P98習(xí)題）設(shè)函數(shù)和求使的x的值？

解：即當(dāng)時(shí)，

作者簡(jiǎn)介：董永忠（1969.5）男，籍貫：云南昌寧，研究方向：數(shù)學(xué)教育，行政人事，單位：云南省昆明市廣播電視學(xué)校，稿件方向：數(shù)學(xué)教育研究。