《計(jì)數(shù)原理》易錯(cuò)題歸類剖析
2020-04-01 05:09甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué)
■甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué)
兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ),同學(xué)們只有準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的區(qū)別和聯(lián)系,才能靈活運(yùn)用兩個(gè)原理,從而輕松解決排列組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題。作為高考的必考內(nèi)容,排列組合的考題在高考試卷中的占比并不多,但卻不容易得分,甚至出現(xiàn)一種聞“排列組合”色變的現(xiàn)象,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因還是一些基本知識(shí)和常見(jiàn)題型沒(méi)掌握好,一不小心就會(huì)掉進(jìn)陷阱。在解答排列組合問(wèn)題時(shí),易犯的錯(cuò)誤是遺漏與重復(fù),遺漏的情況一般容易發(fā)現(xiàn),重復(fù)時(shí)卻很難發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在就對(duì)易錯(cuò)問(wèn)題進(jìn)行歸類剖析!
一、疑難知識(shí)導(dǎo)讀
1.分類原理和分步原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān),一個(gè)和分步有關(guān)。如果完成一件事有n類方法,這n類方法彼此之間是相互獨(dú)立的,無(wú)論哪一類方法都能單獨(dú)完成這件事,求完成這件事的方法種數(shù),就用分類計(jì)數(shù)原理。如果完成一件事,需分成n個(gè)步驟,缺一不可,即需要依次完成所有步驟,才能完成這件事,完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法,求完成這件事的方法種數(shù),就用分步計(jì)數(shù)原理。在具體解題時(shí),常常是完成某件事,既有分類,又有分步,僅用一種原理不能解決,這時(shí)需要認(rèn)真分析題意,分清主次,選擇其一作為主線。
2.解排列與組合應(yīng)用題時(shí),應(yīng)首先判斷是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題。界定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,唯一的標(biāo)準(zhǔn)是“順序”,有序是排列問(wèn)題,無(wú)序是組合問(wèn)題。當(dāng)排列與組合問(wèn)題綜合到一起時(shí),一般采用先組合后排列的方法解答。
3.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是關(guān)于計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理,它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎(chǔ),而且其應(yīng)用貫穿于排列與組合的始終。學(xué)好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是解決排列與組合應(yīng)用題的基礎(chǔ)。切記：排組分清(有序排列、無(wú)序組合),加乘明確(分類為加、分步為乘)。
二、易錯(cuò)題剖析
易錯(cuò)題型1：混淆兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
分類加法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分類”活動(dòng),每一類方法都能完成相應(yīng)的事情；分步乘法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分步”活動(dòng),只有完成每一個(gè)步驟才能完成相應(yīng)的事情。在實(shí)際應(yīng)用時(shí),很多同學(xué)容易混淆兩個(gè)原理。
例1某公園東側(cè)有3個(gè)大門(mén),西側(cè)有2個(gè)大門(mén),某人到該公園散步,則他進(jìn)出門(mén)的方案有多少種?
錯(cuò)解：此人進(jìn)出公園大門(mén)需分兩類,一類從東邊的3個(gè)門(mén)進(jìn),一類從西側(cè)的2個(gè)門(mén)進(jìn),由分類計(jì)數(shù)原理,共有5種方案。
錯(cuò)解分析：沒(méi)有審清題意,本題不僅要考慮從哪個(gè)門(mén)進(jìn),還需考慮從哪個(gè)門(mén)出,應(yīng)該用分步計(jì)數(shù)原理去解題。
正解：此人進(jìn)門(mén)有5種選擇,同樣出門(mén)也有5種選擇,由分步計(jì)數(shù)原理知,此人的進(jìn)出門(mén)方案有5×5=25(種)。
評(píng)注:排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分類用加法,分步用乘法”是解決排列組合問(wèn)題的前提。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：把4個(gè)實(shí)習(xí)生平均分配到甲、乙兩個(gè)辦公室,則不同的分法有多少種?
解析：兩個(gè)辦公室選人應(yīng)是一前一后的分步關(guān)系,所以要用分步乘法原理,則不同的分配方法有=6(種)。
易錯(cuò)題型2：知識(shí)交匯問(wèn)題出錯(cuò)
綜合性題目,考查的不僅是計(jì)數(shù)原理,而且有其他知識(shí)。
例2從-3,-2,-1,0,1,2,3,4這8個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c的取值,問(wèn)共能組成多少個(gè)不同的二次函數(shù)。
錯(cuò)解：從8個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c的取值,交換a,b,c的具體取值,得到的二次函數(shù)就不同,因而本題是個(gè)排列問(wèn)題,故能組成個(gè)不同的二次函數(shù)。
錯(cuò)解分析：忽視了二次函數(shù)y=ax2+bx+c的二次項(xiàng)系數(shù)a不能為零。
正解：a,b,c中不含0時(shí),有個(gè)函數(shù)；a,b,c中含有0時(shí),有個(gè)函數(shù)。故共有=294(個(gè))不同的二次函數(shù)。
評(píng)注:本題也可用間接解法:a不受限制時(shí)共可構(gòu)成個(gè)函數(shù),其中a=0時(shí)有個(gè)函數(shù)不符合要求,從而共有=294(個(gè))不同的二次函數(shù)。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：以三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)共可組成多少個(gè)不同的三棱錐?
解析：在三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)有=15(種)取法,其中側(cè)面上的4點(diǎn)不能構(gòu)成三棱錐,故有15-3=12(個(gè))不同的三棱錐。
易錯(cuò)題型3：審題不清導(dǎo)致錯(cuò)解
排列組合問(wèn)題,往往是一字之差,謬以千里。因此解決排列組合問(wèn)題,一定要認(rèn)真地理解題意,避免因?qū)忣}不清導(dǎo)致錯(cuò)誤。
例3若有5本不同的書(shū),要分配給8位同學(xué),每位同學(xué)至多1本,共有多少種不同的分配方法?
錯(cuò)解：5本不同的書(shū)分配給8位同學(xué),相當(dāng)于5個(gè)元素到8個(gè)元素的映射,故有58種不同的分配方法。
錯(cuò)解分析：沒(méi)弄清題意,題中要求每位同學(xué)至多1本,不符合映射模型。本題事實(shí)上是一道排列問(wèn)題。
正解：最終只有5位同學(xué)分配到書(shū),則原問(wèn)題抽象為從8個(gè)元素中取5個(gè)元素的排列問(wèn)題。從而,共有=6 720(種)分法。
評(píng)注:在解決排列組合問(wèn)題時(shí),一定要注意題目中的每一句話,甚至每一個(gè)字和符號(hào),不然就出現(xiàn)多解或者漏解的情況。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：用5種不同的顏色給圖1中標(biāo)1、2、3、4的各部分涂色,每部分只涂一種顏色,相鄰部分涂不同顏色,則不同的涂色方法有多少種?
解析：先給1號(hào)區(qū)域涂色有5種方法,再給2號(hào)涂色有4種方法,接著給3號(hào)涂色方法有3種,由于4號(hào)與1、2不相鄰,因此4號(hào)有4種涂法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知,不同的涂色方法有5×4×3×4=240(種)。
圖1
易錯(cuò)題型4：混淆排列和組合的概念
在處理排列組合問(wèn)題時(shí),要認(rèn)真仔細(xì)審題,根據(jù)題設(shè)條件判斷問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題,不能因混淆兩個(gè)概念而造成錯(cuò)解。
例4有乒乓球運(yùn)動(dòng)員9人,其中有4名男運(yùn)動(dòng)員,5名女運(yùn)動(dòng)員,現(xiàn)從中選4人進(jìn)行男女混合雙打比賽,那么配對(duì)情況有多少種?
錯(cuò)解：因?yàn)檫x4人參加混合雙打比賽,所以男女各2名運(yùn)動(dòng)員。第一步,從4名男運(yùn)動(dòng)員中選2人,有種方法；第二步,從5名女運(yùn)動(dòng)員中選2人,有種方法；第三步,再將選出的4名運(yùn)動(dòng)員分為兩組,則配對(duì)方法有=360(種)。
錯(cuò)解分析：上述解法中,采用分步的方法是正確的,但是到第三步時(shí)沒(méi)有正確理解題意,導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤。
正解：前面兩步的解法同上,第三步,將選出的2男2女進(jìn)行1男1女的配對(duì),有種方法,所以配對(duì)方法共有=120(種)。
評(píng)注:排列組合問(wèn)題,一定要正確理解題意,弄清楚問(wèn)題是排列還是組合,再進(jìn)行計(jì)算。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝1個(gè)球,共有多少種不同的裝法?
解析：第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元素共有種方法,再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知裝球的方法共有=240(種)。
易錯(cuò)題型5：混淆平均分配和非平均分配
排列組合中的分配問(wèn)題是指元素被分配到指定的位置中去,容易出錯(cuò)的是平均分配和非平均分配。
例5有6位技術(shù)員要按下列方式分配到車間工作,問(wèn)共有多少種不同的分配方式：
(1)平均分成三組,每組2人；
(2)分到甲、乙、丙三個(gè)車間,每組2人。
錯(cuò)解：(1)分為三組,每組2人的分法有=90(種)；
錯(cuò)解分析：分成三組是與順序無(wú)關(guān)的組合問(wèn)題,分到三個(gè)車間是與順序有關(guān)的排列問(wèn)題。
正解：(1)根據(jù)題意,每次抽取2人,共有種方法,但在這里已經(jīng)出現(xiàn)了重復(fù)現(xiàn)象。假設(shè)6人分別為A,B,C,D,E,F,則很顯然(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),共=3!(種)情況實(shí)際是同一種分法,所以平均分成三組,每組2人的分配方式有
評(píng)注:本題是有關(guān)分組與分配的問(wèn)題,是一類極易出錯(cuò)的題型,解決此類問(wèn)題的方法是:(1)充分理解平均分配中的無(wú)序特點(diǎn),而非平均分配隱含著順序的條件;(2)要深刻體會(huì)“先分組,后分配”的優(yōu)點(diǎn)。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：現(xiàn)有4個(gè)不同的獎(jiǎng)品要獎(jiǎng)給4位同學(xué),恰有一位同學(xué)沒(méi)有得到獎(jiǎng)品的情況有多少種?
解析：恰有一位同學(xué)沒(méi)有獲得獎(jiǎng)品,說(shuō)明另外三位同學(xué)獲得獎(jiǎng)品數(shù)分別為1,1,2。實(shí)際上相當(dāng)于先將獎(jiǎng)品分為三組,其中兩組各1份獎(jiǎng)品,另一組2份獎(jiǎng)品,分組方法為種,然后再將這三組分配到4人手中的排列問(wèn)題,共有144(種)方法。
易錯(cuò)題型6：不恰當(dāng)?shù)厥褂锰蕹?/h3>
從總體中排除不符合條件的方法就是剔除法,剔除法在數(shù)學(xué)解題方法中是不可或缺的,剔除法用得好,就能輕松解答問(wèn)題,用不好,就會(huì)弄巧成拙。在排列組合中,正確且巧妙地使用剔除法,大有裨益。
例6在某次運(yùn)動(dòng)會(huì)的4×100接力比賽中,參賽的4位運(yùn)動(dòng)員賽前進(jìn)行排兵布陣,其中甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒,問(wèn)有多少種排法。
錯(cuò)解：4人全排有種方法,其中甲跑第一棒有種排法,乙跑最后一棒有種排法,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=12(種)。
錯(cuò)解分析：沒(méi)有注意到甲跑第一棒包含了乙跑最后一棒,同樣,乙跑最后一棒也包含了甲跑第一棒,這兩種情況是有重復(fù)的。
正解：甲跑第一棒同時(shí)乙跑最后一棒的排法有種,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=14(種)。
評(píng)注:在用剔除法解排列組合問(wèn)題時(shí),要做到不重不漏。
對(duì)應(yīng)練習(xí)：從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線Ax+By+C=0中的A、B、C,則不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有多少條?
解析：所有的直線共有=210(條),其中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線=30(條),則不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-30=180(條)。
排列組合是一類思考方式較為獨(dú)特的題型,解法非常靈活多變,而且常常以生動(dòng)有趣的實(shí)際背景出現(xiàn),題型多樣,蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,最為突出的思想方法就是分類討論。在解決排列組合問(wèn)題時(shí),首先,要認(rèn)真審題,弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次,要抓住問(wèn)題的本質(zhì),采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。解決排列組合問(wèn)題,對(duì)開(kāi)發(fā)同學(xué)們的智力,培養(yǎng)良好的思維方式,提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很好的作用。
猜你喜歡
新高考·高二數(shù)學(xué)(2022年3期)2022-04-29
中學(xué)生數(shù)理化·高三版(2021年12期)2021-09-05
理科考試研究·高中(2019年7期)2019-09-17
數(shù)學(xué)大王·低年級(jí)(2019年8期)2019-08-27
高中生·天天向上(2018年2期)2018-04-14
考試周刊(2017年4期)2017-01-19
新高考·高二數(shù)學(xué)(2015年4期)2015-08-20
