張丹丹， 丁 凌

(湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 襄陽 441053)

1 引 言

本文考慮全空間上分?jǐn)?shù)階自治的Kirchhoff方程：

|u|p-1u,x∈RN，N≥2

(1)

近年來，Kirchhoff方程得到了廣泛的關(guān)注. 由于Kirchhoff類非局部項(xiàng)與彈性弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾波方程有關(guān)，它常被用于描述彈性弦橫截振動(dòng)產(chǎn)生的弦長變化規(guī)律，后來也被用來描述生物系統(tǒng)中種群密度的變化規(guī)律，奇異問題與非牛頓流體，粘性流體的邊界層現(xiàn)象及化學(xué)異構(gòu)催化劑等.

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程已被廣泛應(yīng)用于分形學(xué)、材料科學(xué)、控制科學(xué)、信號(hào)分析及工程科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域. 目前，多數(shù)文獻(xiàn)(如文獻(xiàn)[1])都僅考慮整數(shù)階Kirchhoff方程, 對(duì)分?jǐn)?shù)階Kirchhoff方程的研究較少.文獻(xiàn)[2-7]研究了分?jǐn)?shù)階Kirchhoff類方程解的存在性. 其中，對(duì)于有界區(qū)域， 文獻(xiàn)[2-6]用截?cái)嗬碚摷疤澑竦扰R界點(diǎn)理論得到了具有臨界指數(shù)的分?jǐn)?shù)階Kirchhoff類方程非平凡解的存在性、漸近行為及多重性. 對(duì)于全空間或無界區(qū)域，文獻(xiàn)[6-8]用約束變分及形變引理得到了分?jǐn)?shù)階非自治的Kirchhoff類方程變號(hào)解的存在性. 受文獻(xiàn)[5-7]的啟發(fā),本文研究分?jǐn)?shù)階自治的Kirchhoff方程變號(hào)解的存在性.

當(dāng)a=1,b=0，α=1時(shí)，方程(1)變成整數(shù)階Schr?dinger方程(場(chǎng)方程)

-Δu+u=|u|p-1u,x∈RN，N≥2,

當(dāng)a=1,b=0，α∈(0, 1)時(shí)，方程(1)變成分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程

(-Δ)αu+u=|u|p-1u,x∈RN，N≥2

(2)

本文將利用定理A來研究方程(1)的徑向變號(hào)解的存在性.

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于α∈(0, 1)，考慮分?jǐn)?shù)階Sobolev空間

Hα(RN,R)={u∈L2(RN,R):

及

H=Hrα(RN,R)={u∈Hα(RN,R):

u(x)=u(|x|)}.

定義H中的內(nèi)積和范數(shù)分別為

(u,v)H=

3 主要結(jié)果

(3)

故

(-Δ)αv(y)+v(y)=(-Δ)αv(y)+v(y)=

|v(y)|p-1v(y)=|u(x)|p-1u(x).

(4)

即

(5)

根據(jù)式(4)和u∈H是方程(1)的解得

(-Δ)αv(x)+v(x)=(-Δ)αu(y)+u(y)=

|v(x)|p-1v(x)

(6)

引理3.2如果

其中M=inf{v∈H{0}:v是系統(tǒng)(3)中第一個(gè)方程的解}，則m>0.

證明 對(duì)任意的v∈M{0}，由Pohozaev等式有

由插值不等式，對(duì)任意小的ε>0，存在Cε>0使得下列不等式成立：

(7)

(8)

對(duì)某個(gè)C1>0成立. 由(8)式可推出

則系統(tǒng)(3)至少有一對(duì)解(v,λ), 其中v∈H是徑向變號(hào)的，λ>0.

證明 對(duì)任意的v∈H{0}，在R+上定義函數(shù)

下證當(dāng)v是系統(tǒng)(3)的第一個(gè)方程的徑向變號(hào)解時(shí)，滿足系統(tǒng)(3)的第二個(gè)方程的λ>0是存在的, 即證hv(λ)有正的零點(diǎn). 設(shè)

則hv(λ)至少有兩個(gè)正的零點(diǎn)0<λ1<λ*<λ2<+∞. 則系統(tǒng)(3) 至少有兩對(duì)解(v,λi), 其中v∈H是徑向變號(hào)的，λi>0(i=1,2).

則方程(1)至少有一個(gè)徑向變號(hào)解.

證明 由引理3.1和引理3.3可知，方程(1)有一個(gè)徑向變號(hào)解，故定理3.4得證.

注分?jǐn)?shù)階Kirchhoff類方程是一個(gè)非局部的偏微分方程，非局部積分項(xiàng)給方程解的研究帶來困難. 但本文發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階自治的Kirchhoff類方程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)分?jǐn)?shù)階自治的Schr?dinger系統(tǒng).特別地，系統(tǒng)的第一個(gè)方程是一個(gè)分?jǐn)?shù)階的自治Schr?dinger方程. 因此, 如果單個(gè)分?jǐn)?shù)階自治的Schr?dinger方程解的存在性結(jié)果是已知的，則相應(yīng)分?jǐn)?shù)階自治Kirchhoff類方程在一定條件下也有相應(yīng)的結(jié)果. 這就給分?jǐn)?shù)階自治的Kirchhoff類方程的研究提供了一種新方法.