張?zhí)?李志民,方舒

(長安大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710064)

0 引言

(1)

其中,S(t),I(t),R(t)分別表示t時刻的易感者、染病者和恢復(fù)者的數(shù)量。b表示對種群的常數(shù)輸入率;d表示種群的自然死亡率;β表示傳染率;α表示人們心理作用或外界采取相應(yīng)的措施所產(chǎn)生的抑制效應(yīng);γ表示恢復(fù)者喪失免疫率,γ>0意味著恢復(fù)者具有暫時免疫力,γ=0意味著恢復(fù)者具有永久免疫力;μ表示染病者的恢復(fù)率。這里所有的參數(shù)均為正常數(shù)。

其中

由系統(tǒng)(1)的各式相加得

b-d(S(t)+I(t)+R(t)),

因此有

S(t)+I(t)+R(t)=

即有

因此,系統(tǒng)(1)的正向不變集是

現(xiàn)實世界的生物生長會受到各種隨機(jī)因素的干擾,因此,隨機(jī)數(shù)學(xué)模型[6-17]的研究和確定性數(shù)學(xué)模型的研究相輔相成,使得人們對生物在發(fā)展過程中行為的了解和認(rèn)識更全面、更深刻。特別地,在文獻(xiàn)[9]中,周艷麗等人考慮了模型(1)中感染率的參數(shù)擾動,研究了如下隨機(jī)模型:

(2)

在文獻(xiàn)[14]中,劉群等人研究了一類隨機(jī)SIRI流行病模型, 并且在模型建立中考慮不同于模型(2)的參數(shù)擾動型隨機(jī)模型。受上述文獻(xiàn)中關(guān)于隨機(jī)模型的研究和文獻(xiàn)[14]的建模啟發(fā),本文在確定性模型(1)的基礎(chǔ)上建立如下隨機(jī)SIRS流行病模型:

(3)

其中B1(t),B2(t),B3(t)是獨立的布朗運動,σ1,σ2,σ3為其強度系數(shù)。從模型(1),(2),(3)可以看出,確定性模型(1)的無病平衡點和地方病平衡點不是隨機(jī)模型(3)的無病平衡點和地方病平衡點。

1 全局唯一正解

考慮如下Lyapunov函數(shù)

V(S(t),I(t),R(t))=(S-1-lnS)+

(I-1-lnI)+(R-1-lnR)

(4)

易證對于任意u>0,有u-1-lnu≥0成立,故有V(t)正定。由伊藤公式[10]計算可得

dV=LVdt+σ1(S-1)dB1(t)+

σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t)

(5)

其中

(6)

考慮函數(shù)

(7)

(8)

所以

dV≤Kdt+σ1(S-1)dB1(t)+

σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t)

(9)

現(xiàn)將(9)兩端從0到τk∧T積分并取期望可得:

E[V(S(τk∧T),I(τk∧T),R(τk∧T))]≤

V(S(0),I(0),R(0))+KT

(10)

V(S(τk),I(τk),R(τk))≥

(11)

所以

V(S(0),I(0),R(0))+KT≥

E[IΩkV(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))]≥

(12)

其中IΩk表示Ωk的示性函數(shù)。當(dāng)k→∞,則有

∞>V(S(0),I(0),R(0))+KT=∞,

(13)

與假設(shè)矛盾,所以必有τ∞=∞a.s.，這說明(S(t),I(t),R(t))以概率1在有限時間內(nèi)不會產(chǎn)生爆破。證明完畢。

2 隨機(jī)模型(3)的解在確定性模型(1)的無病平衡點附近的波動情況

定理2 當(dāng)R0≤1,且滿足

其中

證明定義Lyapunov函數(shù)

V=V1+V2+V3+V4

(14)

其中V1,V2,V3,V4分別為

(15)

利用伊藤公式計算得

dV1=LV1dt+W1dB1,

dV2=LV2dt+W2dB2,

dV3=LV3dt+W3dB3,

(16)

其中

W2=σ2I2,

W3=σ3R2,

(17)

進(jìn)一步計算可得

(18)

由(14)-(18)式整理可得

(19)

進(jìn)一步得到

(20)

對(20)兩端分別從0到t積分,并取期望得到

EV(t)-EV(0)≤

E(p1M1+p2M2+p3M3)

(21)

其中

則Mi(t)是連續(xù)局部鞅,且滿足

Mi(0)=0,

(22)

根據(jù)鞅的強大數(shù)定律[13]可得

(23)

因此

(24)

證明完畢。

3 隨機(jī)模型(3)的解在確定性模型(1)的地方病平衡點附近波動情況

定理3 當(dāng)R0>1,且滿足

其中,

證明當(dāng)R0>1時,確定性模型(1)存在唯一的地方病平衡點P*=(S*,I*,R*),且滿足

μI*-(d+γ)R*=0

(25)

定義Lyapunov函數(shù)

(26)

其中Φ1,Φ2,Φ3分別為

(27)

利用伊藤公式計算得

-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-(d+μ)(S-S*)(I-I*)-d(S-S*)(I-I*)+

-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-(2d+μ)(S-S*)(I-I*)+

(28)

考慮到

(29)

即有

(30)

同理有

(31)

另外由2ab≤a2+b2可得

2(R-R*)(I-I*)≤

(R-R*)2+(I-I*)2, 2(R-R*)(S-S*)≤

(R-R*)2+(S-S*)2

(32)

由(26)-(32)式整理得到

LΦ≤-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-

(2d+μ)(S-S*)(I-I*)+

γ(S-S*)(R-R*)+γ(I-I*)(R-R*)+

(d+γ)(R-R*)2+μ(R-R*)(I-I*)+

(33)

進(jìn)一步得到

dΦ≤LΦdt+WdB(t)

(34)

其中

WdB(t)=σ1S(S-S*+I-I*)dB1+

σ2I(S-S*+I-I*)dB2+

(R-R*)2σ3RdB3≤

σ1S(S-S*+I-I*)dB1+(R-R*)2σ3RdB3≤

q1dB1+q2dB2+q3dB3

(35)

對(34)兩端分別從0到t積分,并取期望得到

b2(I(r)-I*)2-b3(R(r)-R*)2]dr+

(36)

其中

則Mi(t)是連續(xù)局部鞅,且滿足

(37)

根據(jù)鞅的強大數(shù)定律可得

(38)

因此

(39)

證明完畢。

4 隨機(jī)持久性

下面討論隨機(jī)系統(tǒng)(3)平均持續(xù)存在,關(guān)于隨機(jī)持久性的定義見文獻(xiàn)[18]。

證明由定理3,可得

(40)

(41)

同理有

(42)

定理證畢。

5 隨機(jī)滅絕性

本節(jié)指出當(dāng)外界環(huán)境干擾強度較大時能導(dǎo)致疾病滅絕,即大噪聲能導(dǎo)致疾病消失。

引理1[15]設(shè)隨機(jī)模型(3)的解(S(t),I(t),R

(43)

(44)

定義

和

證明令Q(t)=μI(t)+(μ+d)R(t),利用伊藤公式計算得

(45)

由隨機(jī)模型(3)可知

d(S(t)+I(t)+R(t))=

[b-d(S(t)+I(t)+R(t))]dt+

σ1S(t)dB1(t)+σ2I(t)dB2(t)+σ3R(t)dB3(t)

(46)

對(46)從0到t積分,再由引理1中(43)和(44)得到

(47)

(48)

即推出

(49)

另一方面,由(46)得到

b-d〈S〉t-d〈I〉t-d〈R〉t+

(50)

由引理1中(43)、(44)和(49),得到

(51)

定理證畢。

6 結(jié)論

對于確定性模型和對應(yīng)的隨機(jī)模型而言,隨機(jī)模型更加符合客觀實際情況,更有助于了解流行病的傳播機(jī)理。另一方面,由于流行病在現(xiàn)實環(huán)境中的傳播過程非常復(fù)雜,會受到許多因素影響,所以下一步研究工作是構(gòu)建其他形式的隨機(jī)流行病模型,并研究其動力學(xué)行為。