劉妮 王建芬 梁九卿

(山西大學(xué)理論物理研究所, 量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 太原 030006)

(2019 年 10 月 9日收到; 2020 年 1 月 5日收到修改稿)

機(jī)械振子的基態(tài)冷卻是腔量子光力學(xué)中的基本問(wèn)題之一. 所謂的基態(tài)冷卻就是讓機(jī)械振子的穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)小于1. 本文通過(guò)光壓漲落譜和穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)研究雙光腔光力系統(tǒng)(標(biāo)準(zhǔn)單光腔光力系統(tǒng)中引入第二個(gè)光腔,并與第一個(gè)光腔直接耦合)的基態(tài)冷卻. 首先得到系統(tǒng)的有效哈密頓量, 然后給出朗之萬(wàn)方程和速率方程, 最后分別給出空腔和原子腔的光壓漲落譜、冷卻率和穩(wěn)態(tài)聲子數(shù). 通過(guò)光壓漲落譜、冷卻率和穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)表達(dá)式, 重點(diǎn)討論空腔時(shí)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)滿足最佳參數(shù)條件(機(jī)械振子的冷卻躍遷速率對(duì)應(yīng)光壓漲落譜的最大值, 而加熱躍遷速率對(duì)應(yīng)光壓漲落譜的最小值)時(shí), 機(jī)械振子可以被冷卻到穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)足夠少. 此外分析: 當(dāng)輔助腔內(nèi)注入原子系綜時(shí), 若參數(shù)選擇恰當(dāng)可能更利于基態(tài)冷卻.

1 引言

光力系統(tǒng)中許多奇特的量子現(xiàn)象已被觀察, 機(jī)械運(yùn)動(dòng)的量子控制和光的機(jī)械控制方法已被廣泛應(yīng)用于高精度測(cè)量、量子信息處理和量子基本原理驗(yàn)證等多個(gè)領(lǐng)域. 目前, 機(jī)械振子的冷卻是腔量子光力系統(tǒng)中的一個(gè)熱門課題[1,2], 且實(shí)驗(yàn)上[3,4]已證明光力系統(tǒng)中機(jī)械振子的顯著冷卻. 最近, 通過(guò)機(jī)械振子與被驅(qū)動(dòng)的輔助系統(tǒng)耦合, 使輔助系統(tǒng)從機(jī)械振子吸收能量從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻(自冷卻)[5,6].

目前人們已提出許多理論方案來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻[7?10], 最著名的方案是標(biāo)準(zhǔn)光力系統(tǒng)的邊帶冷卻[11,12], 將機(jī)械振子通過(guò)輻射壓力與腔光場(chǎng)耦合. 根據(jù)機(jī)械振子邊帶冷卻量子理論, 耦合到機(jī)械振子的光壓漲落譜決定了機(jī)械振子冷卻和加熱過(guò)程的躍遷速率, 也就是說(shuō): 機(jī)械振子頻率時(shí)的頻譜引起冷卻躍遷, 而頻率時(shí)的頻譜引起加熱躍遷, 且分別對(duì)應(yīng)反斯托克斯和斯托克斯過(guò)程. 在可分辨邊帶條件下, 腔場(chǎng)的耗散系數(shù)遠(yuǎn)小于機(jī)械振子的頻率, 也就是說(shuō), 光壓漲落譜的單個(gè)洛倫茲峰的半高寬小于機(jī)械振子頻率; 通過(guò)冷卻反斯托克斯過(guò)程到漲落譜的最大值和加熱斯托克斯過(guò)程到漲落譜的最小值, 可以獲得機(jī)械振子的基態(tài)冷卻.

實(shí)驗(yàn)上很多光力系統(tǒng)[13?15]的冷卻裝置很難滿足邊帶條件, 于是人們提出很多超出邊帶冷卻的新的基態(tài)冷卻裝置[16]. Xia 和 Evers[17]將受限粒子運(yùn)動(dòng)的電磁感應(yīng)透明(EIT)裝置耦合到三能級(jí)超導(dǎo)通量比特來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子冷卻[18]. 該EIT冷卻裝置可以在未滿足邊帶區(qū)工作, 但依據(jù)三能級(jí)系統(tǒng)中EIT現(xiàn)象發(fā)現(xiàn): 該裝置壓制了載體的熱過(guò)程[19,20].同時(shí)相似的類EIT冷卻裝置被耦合到氮-空缺雜質(zhì)的單電子自旋比特來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子冷卻. 最近Genes等[21]也提出了機(jī)械振子的EIT基態(tài)冷卻裝置, 他們是通過(guò)混合光力系統(tǒng)中三能級(jí)原子媒質(zhì)的EIT來(lái)實(shí)現(xiàn).

基于這些研究工作, 我們提出雙光腔光力系統(tǒng)[22]中機(jī)械振子的類EIT的基態(tài)冷卻裝置. 事實(shí)上我們提出的是機(jī)械振子自冷卻, 通過(guò)讓機(jī)械振子與被驅(qū)動(dòng)的輔助系統(tǒng)耦合, 使輔助系統(tǒng)從機(jī)械振子吸收能量進(jìn)而實(shí)現(xiàn)冷卻. 本文給出的雙光腔光力系統(tǒng)具體是: 引入第二個(gè)量子光腔與標(biāo)準(zhǔn)光力系統(tǒng)中的第一個(gè)光腔直接耦合, 由此可以調(diào)控第一個(gè)光腔的性質(zhì). 一方面, 在邊帶不可分辨的條件下(即第一個(gè)光腔的耗散系數(shù)遠(yuǎn)大于機(jī)械振子頻率), 利用雙光腔系統(tǒng)的類EIT效應(yīng), 可以調(diào)整第一個(gè)光腔施加在機(jī)械振子上的光壓力的漲落譜, 使得原本很寬的單峰洛倫茲譜變成具有兩個(gè)較窄的峰和一個(gè)較低的谷的類EIT譜. 在新的譜中, 較窄的峰可以用來(lái)加強(qiáng)冷卻躍遷, 而較低的谷可以用來(lái)有效抑制加熱躍遷. 利用率方程方法可以求出穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)解析式, 結(jié)果表明, 即便在邊帶不可分辨條件下, 仍可以利用雙光腔系統(tǒng)的類EIT來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻. 該雙光腔光力系統(tǒng)的類EIT的機(jī)制與三能級(jí)系統(tǒng)類似. 總之, 機(jī)械振子通過(guò)輻射壓力耦合到雙耦合單模腔(也稱為光學(xué)分子[23])中的第一個(gè). 作用于機(jī)械振子的光壓漲落譜是由兩個(gè)耦合光腔確定, 并從標(biāo)準(zhǔn)光力系統(tǒng)的單個(gè)洛倫茲(Lorentzian)峰值分裂成兩個(gè)相對(duì)較窄的峰, 且兩峰之間出現(xiàn)谷. 當(dāng)?shù)诙€(gè)光腔的耗散系數(shù)足夠小時(shí), 谷的最小值將近似接近于零, 對(duì)應(yīng)的光譜具有類EIT形式, 類似于典型的L型三能級(jí)系統(tǒng)中的EIT現(xiàn)象. 將對(duì)應(yīng)光壓漲落譜的機(jī)械振子冷卻過(guò)程(反斯托克斯)達(dá)到最大值和加熱(斯托克斯)過(guò)程達(dá)到最小值, 我們發(fā)現(xiàn): 此時(shí)機(jī)械振子比沒(méi)有輔助腔時(shí)冷卻得更好, 甚至可以冷卻到基態(tài)[10]. 目前, 實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)耦合光腔或耦合諧振腔(玻色腔?；驒C(jī)械振蕩器)[24]中的類 EIT 現(xiàn)象. 包含兩個(gè)腔模和一個(gè)機(jī)械振子的光力系統(tǒng)中的基態(tài)冷卻方案也已提出[25], 與我們提出方案的主要區(qū)別是: 1)文獻(xiàn)[25]中兩腔模通過(guò)混合腔系統(tǒng)內(nèi)的1/4波片有效地間接互相耦合, 其中兩腔模正交偏振, 被同頻率的激光場(chǎng)驅(qū)動(dòng), 1/4波片提供兩腔模間的線性混合相互作用; 我們提出兩個(gè)單模腔以更簡(jiǎn)單的方法直接耦合, 例如光分子系統(tǒng)中的瞬逝耦合; 2)文獻(xiàn)[25]通過(guò)復(fù)雜的方案讓兩腔模都耦合到機(jī)械振子; 我們的模型只需要單模腔直接耦合到機(jī)械振子, 更容易在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn). 最近文獻(xiàn)[26]提出一種類似于我們的冷卻方案[26]: 引入另外的輔助機(jī)械振子代替我們模型中的一個(gè)腔來(lái)獲得機(jī)械振子的基態(tài)冷卻.

2 系統(tǒng)哈密頓量和朗之萬(wàn)方程

2.1 系統(tǒng)哈密頓量

如圖1所示, 我們考慮兩個(gè)耦合的單模光腔和一個(gè)機(jī)械振子組成的光力系統(tǒng). 機(jī)械振子(共振頻率為, 有效質(zhì)量為m, 耗散系數(shù)為)耦合到被強(qiáng)抽運(yùn)激光器(頻率為)驅(qū)動(dòng)的左光腔, 形成標(biāo)準(zhǔn)的光力腔子系統(tǒng). 右光腔內(nèi)包含二能級(jí)冷原子系綜, 并通過(guò)耦合強(qiáng)度J與左光腔進(jìn)行耦合. 整個(gè)系統(tǒng)哈密頓量為

式中第一和第二項(xiàng)表示兩個(gè)光腔模的自由能, 頻率分 別 為和,和是 兩 個(gè) 腔 模 的 湮 滅 算 符;第三和第四項(xiàng)是機(jī)械振子的能量,m和為機(jī)械振子的質(zhì)量和頻率, 耗散系數(shù)為是機(jī)械振子的湮滅算符; 第五項(xiàng)表示右腔內(nèi)囚禁的二能級(jí)原子系綜的能量; 第六項(xiàng)描述右光腔內(nèi)原子系綜與光場(chǎng)的相互作用,是第j個(gè)原子的泡利算符, 其中是第j個(gè)原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài),為原子-場(chǎng)耦合系數(shù); 第七項(xiàng)是光力耦合項(xiàng),為單光子光力耦合系數(shù), 滿足第八項(xiàng)表示光腔耦合項(xiàng),其中J是雙光腔間的耦合系數(shù); 最后一項(xiàng)表示外部的驅(qū)動(dòng)抽運(yùn)激光對(duì)光力腔的影響,為驅(qū)動(dòng)抽運(yùn)激光的頻率,則描述其強(qiáng)度, 其中是其功率.

圖1 可實(shí)現(xiàn)的雙光腔光力系統(tǒng)的示意圖Fig. 1. Schematic diagram of an achievable double-cavity optomechanical system.

為了簡(jiǎn)化哈密頓量(1)式, 定義原子系綜的集體算符

其中N是原子數(shù)目. 在大N極限和低激發(fā)條件下,集體自旋算符近似滿足玻色對(duì)易關(guān)系以及用集體自旋算符代替哈密頓量(1)式中的泡利算符, 則(1)式可以簡(jiǎn)寫為

2.2 朗之萬(wàn)方程

為了研究左腔的有效反饋, 首先需要分析右腔的腔場(chǎng)動(dòng)力學(xué). 通過(guò)非線性海森伯-朗之萬(wàn)方程分別得到如下系統(tǒng)算符的時(shí)間演化.

機(jī)械振子的朗之萬(wàn)方程為

對(duì)如上朗之萬(wàn)方程求平均值, 并將機(jī)械振子坐標(biāo) 用 算 符 表示 , 即其 中得到平均值的演化方程

而機(jī)械振子噪聲對(duì)應(yīng)的非零關(guān)聯(lián)函數(shù)為[27]

雙穩(wěn)性是許多非線性系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象,通過(guò)朗之萬(wàn)方程中光力耦合項(xiàng)可以觀測(cè)該非線性相干性, 對(duì)朗之萬(wàn)方程取平均值得到平均的演化方程, 最終解出各穩(wěn)態(tài)解以方便探討相關(guān)的雙穩(wěn)性.假設(shè)系統(tǒng)算符是在平均場(chǎng)近似下, 并僅考慮原子只處在基態(tài), 即和則穩(wěn)態(tài)算符由下式給出:

忽略方程(24)和(28)中漲落算符的二次項(xiàng), 并省略所有記號(hào), 則漲落算符的動(dòng)力學(xué)朗之萬(wàn)方程(24)—(28)與系統(tǒng)算符的朗之萬(wàn)方程(5)—(9)具有相同形式, 即

3 機(jī)械振子速率方程和光壓漲落譜

3.1 機(jī)械振子速率方程

為了方便討論, 先假設(shè)右腔為空腔, 即未注入原子系綜, 并設(shè)b是機(jī)械振子的湮滅算符, 與坐標(biāo)和動(dòng)量的關(guān)系是滿足玻色對(duì)易關(guān)系. 則有效哈密頓量(23)式整理為

根據(jù)有效哈密頓量(34)式和文獻(xiàn)[28]提供的方法, 寫出機(jī)械振子的速率方程[28]

從速率方程(35)可以解出機(jī)械振子穩(wěn)態(tài)平均聲子數(shù):

其中

3.2 光壓漲落譜

3.2.1 空腔光壓漲落譜

利用傅里葉變換(44a)—(44c)式將光學(xué)部分的朗之萬(wàn)方程(42)和(43)變到頻域上, 并得到代數(shù)方程

依據(jù)(45)和(46)式可解得

其中

從(47)—(51)式可以得到

且滿足

依據(jù)(52)式和傅里葉逆變換可以求得漲落譜

3.2.2 原子腔光壓漲落譜

如上利用傅里葉變換(44a)—(44c)式將系統(tǒng)朗之萬(wàn)方程(29)—(31)式變到頻域上, 得到代數(shù)方程

依據(jù)代數(shù)方程(55)—(57)式可以求得

其中

最終求得系統(tǒng)中包含原子組的光壓漲落譜為

4 參數(shù)影響的漲落譜

4.1 參數(shù)影響的空腔漲落譜

如上所述, 機(jī)械振子的冷卻主要由漲落譜的正頻和負(fù)頻部分決定, 即為實(shí)現(xiàn)基態(tài)冷卻要求盡可能大, 而盡可能小. 圖2刻畫了光壓漲落譜隨參數(shù)(雙光腔間的耦合系數(shù)J, 有效腔失諧和, 耗散率和) 的變化. 根據(jù)邊帶冷卻機(jī)制, 獲得機(jī)械振子可分辨邊帶冷卻基態(tài)的必要條件是在不可分辨邊帶條件下, 決定冷卻和加熱過(guò)程的漲落譜和達(dá)不到機(jī)械振子的最佳冷卻(如圖2,這里, 我們主要研究不可分辨邊帶條件下(第一個(gè)光腔的衰減率大于機(jī)械振子的頻率, 即雙光腔光力系統(tǒng)的基態(tài)冷卻.

圖2 雙腔間耦合系數(shù) J 影響下漲落譜 S (ω) 隨頻率 的變化(左腔和右腔的有效失諧和對(duì)應(yīng)的耗散率分別為?1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2=?ωm,κ2=0.05ωm )Fig. 2. Fluctuation spectrum S (ω) as a function of the frequency ω with different double-cavity coupling coefficient J. The effective detunings of the left cavity mode and right cavity mode and the corresponding decay rates are respectively are ? 1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2= ?ωm,κ2=0.05ωm .

當(dāng)右腔及腔內(nèi)原子不存在時(shí), 則雙光腔間的耦合系數(shù)為零, 即J=0 , 此時(shí)回退為標(biāo)準(zhǔn)的光力系統(tǒng). 從 (54)式漲落譜S(ω) 和 (48a)式可以發(fā)現(xiàn), 此時(shí)漲落譜S(ω) 僅由κ1和?1決定, 為洛倫茲譜; 在ω=?1處是單一峰值點(diǎn), 在ω=κ1處是峰的半高寬, 如圖黑線所示. 為了讓冷卻過(guò)程達(dá)到最大躍遷,漲落譜S(ω) 只有在?1=ωm處.

當(dāng)右腔僅為空腔時(shí), 則雙光腔間的耦合系數(shù)不為零, 即J=0 , 漲落譜S(ω) 則從單峰的洛倫茲譜劈裂成相對(duì)窄的兩個(gè)峰和一個(gè)谷的類EIT譜, 如圖2彩色線所示. 物理上, 雙峰之間的谷的起源類似于三能級(jí)原子中的EIT[29]的雙光子共振, 漲落譜的最小點(diǎn)在位置ω=?2, 對(duì)應(yīng)于EIT或類EIT現(xiàn)象中的雙光子共振條件. 因此, 為了盡可能壓制熱過(guò)程, 需要漲落譜在ω=?ωm時(shí)具有最小值, 推導(dǎo)得到的最佳條件是?2=?ωm(如圖2彩色線所示). 漲落譜的兩個(gè)峰的位置強(qiáng)烈依賴于雙光腔間的耦合系數(shù)J. 同時(shí), 為了達(dá)到冷卻過(guò)程的最大躍遷率, 漲落譜S(ω=+ωm) 應(yīng)該盡量大, 也就是說(shuō),應(yīng)該確定右峰的中心在ω=+ωm附近.

事實(shí)上, 雙光腔光力系統(tǒng)中類EIT譜的兩個(gè)新的峰來(lái)自光學(xué)模的簡(jiǎn)正模劈裂, 可以通過(guò)對(duì)角化光學(xué)部分哈密頓量(41)式為來(lái)看出該過(guò)程.

其中,是對(duì)角化簡(jiǎn)正模的本征頻率, 新的簡(jiǎn)正模的湮滅算符滿足如下關(guān)系:

將(62)式代入(61)式, 可得

其中新的簡(jiǎn)正模本征頻率和分別對(duì)應(yīng)于漲落譜S(ω) 的右側(cè)和左側(cè)峰值的位置,?2對(duì)應(yīng)漲落譜谷的位置, 故

將(64)式代入(63b)式, 得到最優(yōu)雙光腔間的耦合系數(shù)滿足

當(dāng)ωm? ?1<0 時(shí), 右 邊 的 峰 值 總 是 位 于ω=+ωm點(diǎn)的右側(cè),S(+ωm)0的情形. 我們讓右峰點(diǎn)加強(qiáng)冷卻躍遷, 而讓谷點(diǎn)(雙光子共振點(diǎn))抑制加熱躍遷, 并結(jié)合(64)和(65)式, 可以得到雙光腔系統(tǒng)的類EIT譜給出的最優(yōu)冷卻條件

圖3給出漲落譜S(ω) 在最佳條件?2=?ωm下隨四種不同的耗散系數(shù)κ2變化的示意圖, 左腔的有效失諧量?1=?ωm, 依據(jù)(65)式, 此時(shí)對(duì)應(yīng)的最佳雙腔間耦合系數(shù)J=2ωm. 值得注意的是,即使?jié)M足兩個(gè)最優(yōu)條件:?2=?ωm(對(duì)應(yīng)最小加熱效應(yīng))和?′1=+ωm(對(duì)應(yīng)最大冷卻效應(yīng)), 為了獲得良好的冷卻, 如基態(tài)冷卻, 也應(yīng)該要求相關(guān)譜的最小點(diǎn)的值接近于零, 常通過(guò)適當(dāng)選擇右腔耗散系數(shù)κ2(κ2決定漲落譜的深度). 事實(shí)上, 當(dāng)非常小時(shí), 如κ2?J, 最小點(diǎn)的值接近于零, 如圖3所示.從圖3還可以看出, 隨著耗散系數(shù)的減小, 峰高逐漸增大, 同時(shí)最小點(diǎn)趨于零. 可見(jiàn), 耗散系數(shù)越小越利于雙光腔光力系統(tǒng)中機(jī)械振子的冷卻. 而從開(kāi)始, 尤其(綠線) 時(shí), 漲落譜已不再出現(xiàn)明顯的峰和谷, 再次驗(yàn)證耗散系數(shù)越小越利于系統(tǒng)的基態(tài)冷卻.

圖3 不同衰減率 κ2 影響下的漲落譜 (給定的參數(shù)分別為?1= ?ωm,κ1=5ωm ; ? 2=?ωm,J=2ωm )Fig. 3. Optical fluctuation spectrum with different decay rates κ 2 . The given parameters are ? 1= ?ωm,κ1=5ωm ;?2= ?ωm,J=2ωm.

4.2 參數(shù)影響的原子腔漲落譜

圖4 中藍(lán)線對(duì)應(yīng)圖2空腔漲落譜中J=2ωm時(shí)的藍(lán)線. 在相同參數(shù)下, 引入原子系綜后, 發(fā)現(xiàn)某些參數(shù)下, 原子腔漲落譜的峰值S(+ωm) 接近于空腔時(shí), 而谷值S(?ωm) 低于空腔時(shí), 可見(jiàn)原子腔更加抑制加熱躍遷, 有利于機(jī)械振子冷卻. 實(shí)際作圖時(shí)發(fā)現(xiàn), 原子有效失諧?a、相干衰減率γa、原子-場(chǎng)耦合系數(shù)、原子數(shù)N都會(huì)影響漲落譜, 從(59a)和(60)式也能明顯看到. 而且原子有效失諧影響不明顯, 而原子-場(chǎng)耦合系數(shù)增大數(shù)量級(jí)時(shí)會(huì)從類EIT譜變成單一的洛倫茲譜.

圖5中黑線與圖3中黑線對(duì)應(yīng), 發(fā)現(xiàn)在恰當(dāng)選擇原子參數(shù)時(shí), 輔助腔內(nèi)注入原子系綜時(shí)更有利于基態(tài)冷卻, 因?yàn)榇藭r(shí)更有利于抑制加熱躍遷, 在時(shí)對(duì)應(yīng)的谷 比空腔時(shí)更低.ω=?ωmS(?ωm)

圖4 參數(shù)影響下空腔和原子腔漲落譜 S (ω) 隨頻率 ω 的變化(左腔和右腔的有效失諧和對(duì)應(yīng)的耗散率分別為?1= ωm,κ1=5ωm ; ? 2= ?ωm,κ2=0.05ωm ; 原 子 的有效失諧和相干衰減率是 ? a= ωm,γa=10ωm ; 原子-場(chǎng)耦合系數(shù) g a=0.62×10?4ωm , 原子數(shù) N =108 )Fig. 4. Optical and atom-optical fluctuation spectrumS(ω)as a function of the frequency ω under the influence of parameters. The effective detunings of the left cavity mode and right cavity mode and the corresponding decay rates are respectively are ? 1= ωm,κ1=5ωm ;?2=?ωm,κ2=0.05ωm. The atomic effective detuning and the coherent decay rates are respectively are ? a= ωm,γa=10ωm .The atom-field coupling strength is g a=0.62×10?4ωm .The atomic number is N =108 .

圖5 衰減率 κ 2=0.05ωm 影響下空腔和原子腔漲落譜 (給定的參數(shù)分別為 ? 1= ?ωm,κ1=5ωm ;?2=?ωm,J=2ωm ; ? a= ωm,γa=10ωm ; g a=0.62×10?4ωm, N =108 )Fig. 5. Fluctuation spectrum and atom-optical fluctuation spectrum with given decay rates κ 2=0.05ωm . The given parameters are ? 1= ?ωm,κ1=5ωm , ? 2=?ωm , J =2ωm , ? a=ωm , γ a=10ωm ; g a=0.62×10?4ωm , N =108 .

5 基態(tài)冷卻

5.1 空腔基態(tài)冷卻

圖6 冷卻速率 γc 在不同衰減率 κ2 影響下隨光腔耦合系數(shù)J的函數(shù)(給定的參數(shù)是 g =0.5ωm,?2= ?ωm,κ1=5ωm ,最優(yōu)失諧 ? 1 滿足(66)式)Fig. 6. Cooling rate γc as a function of optical coupling coefficient J in the case of different decay rates κ2 . The given parameters are g =0.5ωm,?2= ?ωm,κ1=5ωm ,and the optimal detuning ? 1 satisfied the Eq. (66).

圖7 參數(shù)影響下平均聲子數(shù) np 隨最佳光腔耦合系數(shù) J 的變化(給定的參數(shù)是 ω m=1.55π ×20 MHz , Qm=ωm/γm=6.2×104,nm=403, g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm ,?2=?ωm , 最優(yōu)失諧 ? 1 滿足 (66)式)Fig. 7. Mean phonon number np as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are ωm=1.55π×20 MHz,Qm= ωm/γm=6.2×104, n m=403 , g =0.5ωm ,κ1=5ωm,κ2=0.05ωm,?2=?ωm, and the optical detuning?1 satisfied the Eq. (66).

為了考慮機(jī)械振子的最佳冷卻, 采取一套實(shí)驗(yàn)可行的參數(shù)[30]:ωm=1.55π×20 MHz ,Qm=ωm/γm=6.2×104,g0=1.2×10?4ωm,|ε|=6000ωm(對(duì)應(yīng)于驅(qū)動(dòng)功率P(mW)), 最初的熱態(tài)聲子數(shù)nm=403(對(duì)應(yīng)環(huán)境溫度T=300 mK). 我們選取的其他參數(shù)是: 光學(xué)失諧滿足(66)式的最佳條件, 光腔耗散系數(shù)分別為κ1=5ωm和κ2=0.05ωm. 從圖7 可以看到, 穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)np可以小于1. 這意味著即使在通常的不可分辨邊帶情況下(即κ1>ωm), 機(jī)械振子可以冷卻到接近基態(tài), 原因是第二個(gè)光腔與機(jī)械振子不發(fā)生直接耦合, 操作上容易提高第二個(gè)光腔品質(zhì)因數(shù). 另外輔助右腔與左腔的相互作用改變了所需的光譜: 從洛倫茲峰(其寬度大于機(jī)械振子的頻率)(不可分辨邊帶)到具有雙峰的譜(其右峰寬小于機(jī)械振子的頻率). 這意味著有效的吸收邊帶條件得到滿足, 因此可以實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻.

圖8 平均聲子數(shù) np 隨有效初始溫度 T 的變化 (給定的參 數(shù) 是 ω m=1.55π ×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 ,J=10ωm , g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm , ?2=?ωm , 最優(yōu)失諧 ? 1 滿足 (66) 式)Fig. 8. Mean phonon number np as a function of effective initial temperature T. The given parameters are ωm=1.55π×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 , J =10ωm ,g=0.5ωm , κ 1=5ωm,κ2=0.05ωm,?2= ?ωm and the optical detuning ? 1 satisfied the Eq. (66).

5.2 原子腔基態(tài)冷卻

圖9 冷卻速率 γc 隨最佳光腔耦合系數(shù) J 的變化 (給定的參 數(shù) 是 ω m=1.55π ×20 MHz , Q m= ωm/γm=6.2×104 ,nm=403, g =0.5ωm , κ 1=5ωm , κ 2=0.05ωm , ?1=?2=?ωm , ?a= ωm , γa=10ωm , ga=0.62×10?4ωm , N=108 )Fig. 9. Cooling rate γc as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are ω m=1.55π×20 MHz ,Qm= ωm/γm=6.2×104, n m=403 , g =0.5ωm , κ 1=5ωm ,κ2=0.05ωm , ? 1=?2=?ωm , ? a=ωm , γ a=10ωm ,ga=0.62×10?4ωm , N =108 .

圖10 平均聲子數(shù) 隨最佳光腔耦合系數(shù) J 的變化 (給定的參數(shù)同圖8)Fig. 10. Mean phonon number as a function of optical coupling coefficient J. The given parameters are same as the ones in Fig. 8.

6 結(jié)論

本文研究了雙光腔光力系統(tǒng)中機(jī)械振子的冷卻. 首先得到系統(tǒng)的有效哈密頓量(34)式, 然后利用微擾論和維納-辛欽定理建立機(jī)械振子的速率方程, 從而得到光壓漲落譜和穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)表達(dá)式(37)式. 機(jī)械振子的冷卻結(jié)果主要由光壓漲落譜的正頻和負(fù)頻部分決定. 需要注意的是: 率方程建立的穩(wěn)態(tài)聲子數(shù)公式必須滿足弱耦合條件, 即和遠(yuǎn)小于的譜寬度. 為了理解最優(yōu)冷卻, 圖2給出了光壓漲落譜對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的依賴. 該光壓漲落譜具有類EIT特性,最優(yōu)冷卻條件是取峰點(diǎn)的值,取谷點(diǎn)(雙光子共振點(diǎn))的值, 最終得到最優(yōu)冷卻條件為此外, 為了得到較大的冷卻率, 還需要滿足滿足上述條件即可在邊帶不可分辨條件下實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的基態(tài)冷卻. 當(dāng)輔助腔內(nèi)注入原子系綜時(shí), 恰當(dāng)選擇參數(shù)可以一定程度上達(dá)到優(yōu)于雙光腔光力系統(tǒng)時(shí)機(jī)械振子的冷卻. 此外, 該模型已應(yīng)用在聲子的激光實(shí)驗(yàn)[23]. 這些研究結(jié)果有助于實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)機(jī)械振子的量子基態(tài)和量子信息過(guò)程.