周 蓉，李 俊，王 浩

1.武漢科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢430065

2.智能信息處理與實(shí)時(shí)工業(yè)系統(tǒng)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430065

1 引言

粒子群[1]（Particle Swarm Optimization，PSO）算法，又稱粒子群優(yōu)化算法或鳥群覓食算法，是由Kennedy和Eberhart 等提出的一種新型進(jìn)化算法，該算法通過(guò)追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)解來(lái)尋找全局最優(yōu)。由于該算法有實(shí)現(xiàn)容易、收斂快等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如醫(yī)學(xué)[2]、圖像處理、特征選擇[3]等，并取得了較好的效果。但存在易早熟收斂[4-6]、算法后期收斂較慢等問(wèn)題，近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)其不足，提出了一些相應(yīng)的改進(jìn)策略。

針對(duì)PSO存在的不足，研究人員做出了不同的改進(jìn)措施，其改進(jìn)主要體現(xiàn)在全局搜索性能和局部搜索性能兩方面。為了提高全局搜索能力[4-5，7]，文獻(xiàn)[4]針對(duì)基本灰狼優(yōu)化算法在搜索過(guò)程中不是線性搜索的問(wèn)題，提出了一種基于預(yù)先規(guī)律變化的收斂因子，使得其在迭代前期，具有較大的收斂因子，增強(qiáng)其全局搜索能力，在迭代后期，即從比自己較優(yōu)的粒子群體中隨機(jī)選取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過(guò)這種方式在提高粒子的搜索能力同時(shí)增強(qiáng)開采能力，但該算法本身的等級(jí)制度限制了其全局搜索的能力，該文獻(xiàn)雖然對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，但是其仍然存在易陷入局部最優(yōu)的情況；文獻(xiàn)[5]針對(duì)SLPSO 算法收斂速度慢等問(wèn)題，將社會(huì)學(xué)習(xí)運(yùn)用到粒子搜索的過(guò)程中，并利用選擇交叉反向機(jī)制，提高種群的多樣性以及算法的全局搜索能力，但該算法在面對(duì)混合函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，其收斂效果不佳，易陷入局部最優(yōu)；文獻(xiàn)[7]對(duì)粒子群算法的速度項(xiàng)引入動(dòng)態(tài)的慣性權(quán)重，即根據(jù)迭代過(guò)程及粒子的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)其慣性權(quán)重進(jìn)行線性或非線性的調(diào)整，模糊自適應(yīng)方法在一定程度上可以提高算法的收斂精度，但這種方式犧牲了收斂速度。在提高局部搜索能力[8-10]方面，文獻(xiàn)[8]將細(xì)菌覓食優(yōu)化算法中的趨化算子嵌入到算法中，趨化算子的功能主要是其具有較強(qiáng)的局部搜索能力，與PSO算法本身所具有的全局搜索能力互補(bǔ)，從而提高算法的尋優(yōu)效果，該算法雖然在收斂性方面有了提高，但是在復(fù)雜情況下還是會(huì)出現(xiàn)搜索停滯的情況，即會(huì)陷入局部最優(yōu)。為了平衡算法的全局搜索和局部搜索性能[6，11-15]；文獻(xiàn)[6]采用多種搜索策略，對(duì)種群中的所有個(gè)體采用反向?qū)W習(xí)策略，增強(qiáng)算法的全局搜索性能，并對(duì)種群中部分較差個(gè)體分別采用柯西變異，對(duì)部分較好個(gè)體差分進(jìn)化變異，從而增強(qiáng)算法的局部開采能力，且其收斂速度較快，該搜索策略的穩(wěn)定性不夠，在較為復(fù)雜的環(huán)境中，存在易陷入局部最優(yōu)的情況；文獻(xiàn)[11]通對(duì)種群分布和粒子適應(yīng)度值的評(píng)估，采用實(shí)時(shí)進(jìn)化狀態(tài)估計(jì)方法，將其狀態(tài)分為四種狀態(tài)，并根據(jù)不同狀態(tài)調(diào)整其各項(xiàng)參數(shù)，提高算法的搜索效率和收斂速度，據(jù)該文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，其在某些優(yōu)化問(wèn)題中出現(xiàn)不收斂的情況，即該算法的穩(wěn)定性較差；文獻(xiàn)[12]根據(jù)單一的學(xué)習(xí)方式可能導(dǎo)致粒子的搜索陷入局部最優(yōu)這個(gè)問(wèn)題提出了一種自學(xué)習(xí)的策略，每個(gè)粒子都采用四種搜索策略來(lái)處理空間的不同搜索情況，避免其陷入局部最優(yōu)的情況；文獻(xiàn)[13]提出一種多策略融合的搜索機(jī)制，采用禁忌探測(cè)機(jī)制遍歷整個(gè)搜索空間跳出局部最優(yōu)，并利用局部學(xué)習(xí)策略提高算法的收斂精度，達(dá)到平衡全局搜索和局部搜索的目的。

上述的文獻(xiàn)中采用各種方式針對(duì)基本PSO 算法進(jìn)行改進(jìn)，且在一定程度上提高了算法的搜索性能，但其存在具有易陷入局部最優(yōu)和收斂速度較慢等問(wèn)題。為了進(jìn)一步提高算法的性能，本文以HPSO[6]為基礎(chǔ)，提出一種基于灰狼優(yōu)化的反向?qū)W習(xí)粒子群算法（Particle Swarm Optimization with Grey Wolf Optimization and Reverse Learning，HGPSO）。首先，對(duì)每個(gè)種群個(gè)體采用反向?qū)W習(xí)策略[16-18]，增強(qiáng)粒子的多樣性，提高算法的全局搜索能力；同時(shí)，利用改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法提高算法的局部搜索性能；最后，采用一種新型學(xué)習(xí)方式，合理利用所有粒子的信息，從而提高算法的搜索性能。

2 粒子群算法與灰狼優(yōu)化算法

2.1 粒子群算法

PSO算法是一種群體智能隨機(jī)搜索算法，對(duì)于一個(gè)D 維的優(yōu)化問(wèn)題而言，群體中的每個(gè)粒子可表述為一個(gè)可行解。在整個(gè)算法執(zhí)行的過(guò)程中，其個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解均被用來(lái)引導(dǎo)粒子的位置和速度更新。假設(shè)當(dāng)前種群的規(guī)模為N，維度為D，則粒子X(jué) 的位置可以表示為Xi=( xi1,xi2,…,xid,…,xiD)，其中xid表示粒子X(jué) 在第i 維的第d 個(gè)分量；而粒子X(jué) 的速度可以表示為Vi=(vi1,vi2,…,vid,…,viD)，其中vid表示當(dāng)前粒子的第i 維的第d 個(gè)分量的速度，粒子的速度更新公式和位置更新公式如下：

其中，vid(t+1)和xid(t+1)分別為粒子i 在第t+1 代的速度和位置。ω 為慣性權(quán)重，c1和c2表示社會(huì)學(xué)習(xí)系數(shù)，r1和r2是[0,1]間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2.2 灰狼優(yōu)化算法

灰狼優(yōu)化（Grey Wolf Optimiztion，GWO）算法[19]是一種新型的群體智能優(yōu)化算法，它模擬的是自然界中灰狼群體的社會(huì)等級(jí)機(jī)制和捕獵行為。在灰狼群體中，具有嚴(yán)格的社會(huì)等級(jí)體制。其中，α 狼是最高級(jí)別的灰狼，β 狼是α 狼的下屬灰狼，而δ 狼則是β 狼的下屬狼，則δ 狼要服從α 狼和β 狼的命令，等級(jí)最低的灰狼稱為τ 狼?；依轻鳙C主要分為追蹤、包圍和攻擊三個(gè)階段。假設(shè)灰狼種群規(guī)模為N，搜索空間為D 維，第i 只灰狼的位置可表示為Xi=( xi1,xi2,…,xid,…,xiD)。

在包圍操作中，其過(guò)程可以用數(shù)學(xué)描述如下：

其中Xp表示獵物的位置，X(t)表示的是第t 代時(shí)灰狼的位置，A 和C 為系數(shù)向量，r1和r2為[0,1]的隨機(jī)數(shù)，a 為控制參數(shù)。A 和C 的更新公式為：

在灰狼優(yōu)化算法中，種群中的粒子位置更新由Xα、Xβ和Xδ引導(dǎo)，其數(shù)學(xué)描述為：

3 HGPSO算法

本文根據(jù)PSO 算法的在搜索方式，其學(xué)習(xí)的對(duì)象是當(dāng)前的全局最優(yōu)解和當(dāng)前個(gè)體的個(gè)體最優(yōu)解，即在其搜索過(guò)程中存在全局搜索能力差和收斂精度低等問(wèn)題。針對(duì)基本PSO 存在的問(wèn)題，首先利用反向?qū)W習(xí)策略（Opposition-Based Learning，OBL），通過(guò)提高種群的多樣性，擴(kuò)大種群的搜索范圍，并對(duì)其慣性權(quán)重采用貝塔分布進(jìn)行擾動(dòng)，從而提高算法全局搜索的能力；其次為了進(jìn)一步提高算法的局部搜索能力，根據(jù)GWO 算法的搜索方式可以看出，其尋優(yōu)過(guò)程主要是圍繞著最優(yōu)解進(jìn)行的，即在當(dāng)前最優(yōu)解的周圍進(jìn)行搜索，采用貝塔分布對(duì)其位置分布按照搜索前后期要求進(jìn)行擾動(dòng)，以提高算法的收斂精度和收斂速度。最后在每次迭代完成后，對(duì)兩種搜索策略的結(jié)果進(jìn)行重組，實(shí)現(xiàn)信息的交互，取其部分解作為下一代種群個(gè)體，通過(guò)這兩種搜索策略達(dá)到平衡算法全局搜索和局部搜索的效果。

在反向?qū)W習(xí)搜索方式中，對(duì)于最優(yōu)粒子在迭代前期采用隨機(jī)反向?qū)W習(xí)，提高種群的多樣性，擴(kuò)大種群的搜索范圍，而在迭代后期，采用交叉反向?qū)W習(xí)機(jī)制，根據(jù)隨機(jī)概率，選擇一般反向?qū)W習(xí)或最優(yōu)解隨機(jī)交叉反向?qū)W習(xí)，且最優(yōu)解隨機(jī)交叉反向?qū)W習(xí)的概率由迭代次數(shù)控制，根據(jù)算法迭代后期的特點(diǎn)，提高算法的收斂速度；對(duì)于其非最優(yōu)粒子，采用一種新型的非最優(yōu)社會(huì)學(xué)習(xí)方式，在比自己優(yōu)秀的粒子中隨機(jī)選取一個(gè)更優(yōu)粒子進(jìn)行學(xué)習(xí)，提高當(dāng)前粒子自身的搜索性能，避免其因?yàn)橹粚W(xué)習(xí)最優(yōu)粒子而限制其開采能力，降低收斂速度。在改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法中，根據(jù)適應(yīng)度值選取全局中的三個(gè)最優(yōu)解，作為算法搜索過(guò)程的引導(dǎo)者，在迭代前期幫助條算法的收斂速度，而在后期則提高算法的局部搜索能力，提高算法的求解精度。

3.1 貝塔分布

PSO中的慣性權(quán)重ω 和GWO中的收斂因子a 是算法中的重要參數(shù)，其變化影響著算法的收斂速度及搜索性能，因此，本文引入貝塔分布（Beta Distribution）[20]。對(duì)其慣性權(quán)重和收斂因子進(jìn)行擾動(dòng)，使其分布更加合理。貝塔分布是滿足二項(xiàng)分布和伯努利分布的密度函數(shù)，其分布在[0,1]之間。貝塔函數(shù)公式和概率分布函數(shù)為：

其概率密度函數(shù)如圖1 所示，當(dāng)參數(shù)b1和b2取不同值時(shí)，其分布情況不同。當(dāng)b1=b2=1 時(shí)，貝塔分布屬于均勻的狀態(tài)；當(dāng)b1＜b2時(shí)，其函數(shù)靠左傾斜；當(dāng)b1＞b2時(shí)其函數(shù)靠右偏斜。

圖1 貝塔分布概率密度函數(shù)圖像

3.2 動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重

在PSO 算法中，慣性權(quán)重ω 在平衡算法的收斂速度和全局搜索能力方面有著重要的作用，研究表明，較大的慣性權(quán)重ω 可以提高種群的多樣性，而較小的慣性權(quán)重ω 則可以提高算法的局部開采能力。參考文獻(xiàn)[20-23]對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行處理，其中趙志剛等[21]提出隨機(jī)慣性權(quán)重，利用隨機(jī)分布的方法控制慣性權(quán)重的變化，其生成公式為如下：

其中，ωmin和ωmax分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值。

隨機(jī)慣性權(quán)重是一種非線性的減小ω 的優(yōu)化策略，利用隨機(jī)變量的隨機(jī)性調(diào)整慣性權(quán)重，第三項(xiàng)中的rand()是正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，與σ 結(jié)合來(lái)控制權(quán)重向期望權(quán)重方向進(jìn)行移動(dòng)，提高算法的搜索效率，但是在搜索后期，所有粒子都像最優(yōu)解靠近，忽略了種群的多樣性，使其收斂速度變慢，且有可能陷入局部最優(yōu)的情況。針對(duì)以上的問(wèn)題，本文提出一種新型的權(quán)重更新策略，該策略引入余弦函數(shù)和貝塔分布來(lái)引導(dǎo)慣性權(quán)重的非線性變化，其更新公式為：

其中，余弦函數(shù)的引入可以在一定程度上改善算法易陷入早熟的問(wèn)題，同時(shí)可以提高算法的搜索效率。貝塔分布的引入主要是利用其隨機(jī)性，提高算法后期的收斂速度和種群多樣性。相關(guān)實(shí)驗(yàn)[24]表明，在給定的實(shí)驗(yàn)條件下，貝塔分布的性能與高斯分布和柯西分布相當(dāng)，但在某些情況下，貝塔分布的性能甚至優(yōu)于高斯分布和柯西分布。式中的ωmin和ωmax分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值，這兩項(xiàng)用來(lái)控制權(quán)重的取值范圍為[0.4,0.9]，相關(guān)實(shí)驗(yàn)表明，慣性權(quán)重在此范圍內(nèi)時(shí)能夠使得算法取得更好的尋優(yōu)性能。σ 為慣性權(quán)重的調(diào)整因子，與貝塔分布融合后控制慣性權(quán)重ω 的偏移程度，使得其更好地提高算法的收斂速度和全局搜索能力。

3.3 改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法

針對(duì)PSO易陷入局部最優(yōu)這一問(wèn)題，本文嵌入改進(jìn)的GWO 算法。在智能優(yōu)化算法中，適應(yīng)度函數(shù)值是衡量當(dāng)前粒子位置是否最優(yōu)的唯一標(biāo)準(zhǔn)，在粒子更新中起著至關(guān)重要的作用。從文獻(xiàn)[25-26]對(duì)GWO算法的優(yōu)化可知，在GWO算法中的收斂因子a 控制著參數(shù)A 和C的變化，而|A|＞1 時(shí)，進(jìn)行全局搜索，即擴(kuò)大搜索范圍，增強(qiáng)其全局性；當(dāng)|A|＜1 時(shí)，進(jìn)行局部搜索，即縮小搜索范圍，提高局部搜索性能，但在此過(guò)程中其收斂速度較慢。由基本灰狼優(yōu)化算法可知，線性遞減的收斂因子a并不能體現(xiàn)算法的最優(yōu)搜索性能，所以本文引入余弦定理改變收斂因子的遞減方式，并引入貝塔分布對(duì)其進(jìn)行擾動(dòng)，提高算法的搜索性能，其公式為：

其中，t 表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Miter表示最大迭代次數(shù)，貝塔分布的b1和b2的詳細(xì)介紹見3.2節(jié)。

3.4 HGPSO的算法描述

HGPSO的算法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1初始化種群規(guī)模N、種群維度D、最大迭代次數(shù)Miter、種群粒子的初始位置X、初始化參數(shù)學(xué)習(xí)因子c1和c2、慣性權(quán)重ω 等參數(shù)。

步驟2計(jì)算種群的適應(yīng)度值，并將種群按照適應(yīng)度值進(jìn)行升序排序，求適應(yīng)度值最優(yōu)的三個(gè)個(gè)體將其粒子位置保存在X1、X2和X3中，并更新個(gè)體最優(yōu)解pbest和全局最優(yōu)解gbest。

步驟3對(duì)于最優(yōu)粒子，在迭代前期，若隨機(jī)數(shù)r5≤0.5，則采用隨機(jī)交叉反向?qū)W習(xí)，否則采用隨機(jī)最優(yōu)解交叉反向?qū)W習(xí)；迭代后期采用一般反向?qū)W習(xí)。

步驟4對(duì)其非最優(yōu)粒子采用非最優(yōu)社會(huì)學(xué)習(xí)策略，并保存更新的X 的值為Xnew1。

步驟5按照公式（15）更新a，按照公式（5）和（6）分別更新A 和C，根據(jù)公（10）更新X1、X2和X3的值，根據(jù)公式（15）更新X 的值，并保存更新的X 的值為Xnew2，合并Xnew1和Xnew2為Xnew。

步驟6更新適應(yīng)度函數(shù)值，將其排序取前50%為新的種群個(gè)體，并更新個(gè)體最優(yōu)解pbest、全局最優(yōu)解gbest、X1、X2和X3。

步驟7判斷是否滿足終止條件，若滿足則返回全局最優(yōu)適應(yīng)度值；否則返回步驟3進(jìn)行循環(huán)迭代。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證本文算法的適用性、有效性和高效性，選擇CEC2017[27-28]中的29 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，與基本PSO、基本GWO、CPPSO[5]、HPSO[6]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。其函數(shù)具體定義如表1所示。

表1 CEC2017測(cè)試函數(shù)

表中f1、f3 為單峰函數(shù)，f4～f10 為簡(jiǎn)單多峰函數(shù)，f11～f20 為混合函數(shù)，f21～f30 為復(fù)合函數(shù)。其中函數(shù)f2 由于其不穩(wěn)定性，在此將不對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

4.2 參數(shù)設(shè)置

4.2.1 基本參數(shù)

HGPSO 算法的各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模N 為90，低維度D 為30，最大的迭代次數(shù)Miter為3 000，高維度D 為100，最大迭代次數(shù)Miter為5 000，學(xué)習(xí)因子c1和c2均為1.496 2，數(shù)據(jù)的取值范圍為[-100,100]。在動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重中，文獻(xiàn)[28]表明，當(dāng)ωmin和ωmax分別為0.4和0.9時(shí)可以加快算法的收斂速度。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，慣性權(quán)重在此范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)效果是最好。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：Intel?Core?i5-5200U CPU@2.20 GHz，RAM 8.00 GB，Windows 10 操作系統(tǒng)，MATLAB 2016a。

4.2.2 慣性權(quán)重

在PSO算法中，慣性權(quán)重的調(diào)整可以提高算法的收斂效果，在本文提出了一種引用余弦函數(shù)和貝塔分布的慣性權(quán)重，在這里與隨機(jī)慣性權(quán)重進(jìn)行對(duì)比。其實(shí)驗(yàn)對(duì)比如表2所示，其中HGPSO_rand算法表示采用公式（13）的改進(jìn)的HGPSO算法。

表2 慣性權(quán)重對(duì)比

從表1中可以看出，在相同的測(cè)試環(huán)境下本文提出的權(quán)重更新策略的求解精度比隨機(jī)慣性權(quán)重的求解精度要高。

4.2.3 參數(shù)b1 和b2 選取

在慣性權(quán)重中融入貝塔分布，利用其隨機(jī)性調(diào)整慣性權(quán)重，使其向期望權(quán)重的方向進(jìn)化，從而提高算法的搜索性能。本文根據(jù)貝塔分布的函數(shù)分布情況，設(shè)置以下幾組參數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。從表3的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)貝塔分布的參數(shù)b1為1，b2為2 時(shí)，其實(shí)驗(yàn)效果最好，所以在本文中，參數(shù)b1和b2的取值分別為1和2。

表3 貝塔分布參數(shù)b1、b2 對(duì)比

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了避免隨機(jī)性和偶然性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響，此次實(shí)驗(yàn)中都對(duì)每個(gè)算法在低高維30 維和中高維100維上分別獨(dú)立運(yùn)行30 次，不同維度的選擇是為了增加尋優(yōu)難度，以便于驗(yàn)證HGPSO 算法在處理各種復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的能力，統(tǒng)計(jì)各函數(shù)的適應(yīng)度平均值和方差，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4、表5和圖2所示。其中，表4給出了HGPSO算法與其他四種對(duì)比算法在維度為30 上的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，表5 給出了五種算法在維度為100 時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在表中，加粗的部分表示同一函數(shù)上的平均適應(yīng)度最優(yōu)解和方差最優(yōu)解。圖2 是各個(gè)算法隨機(jī)選取一次實(shí)驗(yàn)的收斂曲線，表現(xiàn)各算法在各函數(shù)中的收斂情況，由于篇幅有限，在這里僅選取部分具有代表性的函數(shù)的收斂曲線。

4.3.1 求解精度

從表4中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，HGPSO算法在單峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)中的收斂效果和求解精度明顯優(yōu)于四種對(duì)比算法，在部分簡(jiǎn)單多峰函數(shù)中好于其他優(yōu)化算法。其中，HGPSO算法在單峰函數(shù)f 1 上的相比于其他算法而言，取得了一定的優(yōu)化效果，且取得了較高的穩(wěn)定性和收斂精度；在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)f 5、f 7 和f 8 上其收斂情況明顯優(yōu)于對(duì)比算法，在f 6 上其收斂效果與CPPSO 算法差距較小，但其穩(wěn)定性明顯優(yōu)于CPPSO 算法，而基本PSO 算法在此類函數(shù)上陷入了局部最優(yōu)；針對(duì)混合函數(shù)，HGPSO算法的收斂情況較差，而HPSO算法的收斂精度及穩(wěn)定性明顯優(yōu)于其他四種算法；對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，HGPSO算法在函數(shù)f 21、f 22、f 23、f 24、f 26、f 28 和f 29 上的優(yōu)化效果明顯優(yōu)于對(duì)比算法，且其穩(wěn)定性較高。

表4 算法在29個(gè)CEC_2017函數(shù)上的平均值(D=30)

從表5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，HGPSO算法在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)f 5 和f 9 上的收斂精度和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于其對(duì)比算法，且在f 7 和f 8 上的收斂精度較高，穩(wěn)定性較好；對(duì)于混合函數(shù)，HGPSO 算法的收斂性能較好，但其穩(wěn)定性較差，其中在函數(shù)f 15、f 16、f 17、f 19 上的收斂性能明顯好于其對(duì)比算法；在復(fù)雜函數(shù)f 21、f 22、f 23、f 24、f 29 和f 30 中，算法的穩(wěn)定性較好，且其收斂情況相比于其他算法有顯著提高。

從表4和表5中可以看出，HGPSO算法在各函數(shù)上均有一定程度的提高，其在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)上的收斂情況對(duì)比于其他優(yōu)化算法有顯著的優(yōu)勢(shì)。

4.3.2 收斂過(guò)程

為了直觀地觀察算法在各測(cè)試函數(shù)上的收斂情況，各算法在各函數(shù)上的收斂過(guò)程如圖2 所示。但由于篇幅有限，在此僅隨機(jī)選取具有代表性的函數(shù)實(shí)驗(yàn)圖進(jìn)行分析。

圖2（a）～（c）展示的是五種算法在低維情況下的收斂過(guò)程。其中，函數(shù)f 5 是簡(jiǎn)單多峰函數(shù)，從圖中可以看出HGPSO 算法不僅比其他算法的收斂性更好，在后期其搜索性能更優(yōu)，因而取得了精度更高的值；函數(shù)f 16是混合函數(shù)，從圖中可以看出其收斂效果較其他算法更好，且其精度更高；函數(shù)f 23 是復(fù)雜函數(shù)，從圖中可以看出在函數(shù)f 23 中收斂精度與其他算法相當(dāng)?shù)涞氖諗?/p>

速度更快。綜合來(lái)看，在低維情況下，HGPSO算法在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)和混合函數(shù)中具有更好的收斂情況和更高的求解精度。

表5 算法在29個(gè)CEC_2017函數(shù)上的平均值及方差(D=100)

圖2 幾種算法在六個(gè)函數(shù)中的收斂曲線

圖2（d）～（f）展示的是六種算法在高維情況下的收斂過(guò)程。其中，函數(shù)f 5 是簡(jiǎn)單多峰函數(shù)，從圖中可以看出前期HGPSO 算法的收斂速度較快，且其在后期其搜索性能更優(yōu)，因而取得了精度更高的值；函數(shù)f 16 是混合函數(shù)，從圖中可以看出再迭代前期其收斂效果與其他算法相當(dāng)，但在迭代后期收斂效果較強(qiáng)，即其精度更高；復(fù)雜函數(shù)f 22 的收斂效果較其他函數(shù)更優(yōu)，且其收斂精度較高。綜合來(lái)看，HGPSO 算法在低維和高維函的情況下，在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)和混合函數(shù)中具有更好的收斂情況和更高的求解精度。

為了體現(xiàn)GWO 在本文提出的算法中的搜索性能，通過(guò)跟蹤全局最優(yōu)解在算法收斂過(guò)程中的位置更新變化過(guò)程，體現(xiàn)其收斂性能。在此，選擇測(cè)試函數(shù)f 5 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，全局最優(yōu)解xbest 的位置更新過(guò)程如圖3所示。為了更好地表現(xiàn)出其位置更新過(guò)程，在此設(shè)置維度為2。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)?shù)螖?shù)為300 時(shí)已經(jīng)取到最優(yōu)解，即在此設(shè)置最大迭代次數(shù)為300，其他參數(shù)與4.2節(jié)設(shè)置的參數(shù)一致。

圖3 最優(yōu)解的位置更新變化過(guò)程(f5)

從圖3中的位置分布可以看出，在最優(yōu)解附近的密度較高，即其局部搜索能力較強(qiáng)，所以其算法的求解精度較高。

4.3.3 算法復(fù)雜度分析

根據(jù)基本PSO算法的執(zhí)行流程可以看出，算法的時(shí)間度主要分為粒子的初始化部分和速度和位置更新部分，其時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)。從HGPSO 算法的流程描述中可看出，HGPSO算法主要包括：（1）初始化部分，初始化種群大小N、種群維度D、速度、位置、計(jì)算適應(yīng)度值，該部分的時(shí)間復(fù)雜度都為O(N×D)；（2）迭代部分，隨機(jī)最優(yōu)交叉反向?qū)W習(xí)的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，一般反向?qū)W習(xí)和隨機(jī)交叉反向?qū)W習(xí)的時(shí)間復(fù)雜度均為O(N×D)，改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)，即迭代部分的時(shí)間復(fù)雜度為O(Miter(N×D))。因此，HGPSO時(shí)間復(fù)雜度為O(N×D)+O(Miter(N×D))。通過(guò)對(duì)比可以看出，相比于基本PSO算法，HGPSO算法的復(fù)雜度較高，但是其求解精度和穩(wěn)定性相比于其基本PSO算法要更好。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)PSO存在的易陷入局部最優(yōu)、求解精度較低等問(wèn)題，提出一種基于灰狼優(yōu)化的反向?qū)W習(xí)粒子群算法，首先通過(guò)將反向?qū)W習(xí)策略增加粒子的多樣性，擴(kuò)大其搜索空間，避免其陷入局部最優(yōu)；同時(shí)采用改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法的粒子群算法，提高算法的局部搜索性能和收斂精度。利用兩種不同的搜索策略，平衡算法的搜索性能并提高其收斂精度。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文改進(jìn)的算法在簡(jiǎn)單多峰函數(shù)和復(fù)雜函數(shù)中，具有較快的收斂速度和較高的尋優(yōu)精度。根據(jù)這兩類函數(shù)具有一個(gè)全局最優(yōu)解和多個(gè)局部最優(yōu)解的特點(diǎn)，本文采用全局搜索能力較強(qiáng)的反向?qū)W習(xí)搜索和局部搜索性能較強(qiáng)的灰狼搜索方式，合理利用所有粒子信息，平衡全局和局部搜索能力，避免其陷入局部最優(yōu)，提高求解精度。未來(lái)的研究將進(jìn)一步提升其搜索性能，并將其用于實(shí)際應(yīng)用的優(yōu)化。