馬洋洋，賈 高

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

考慮帶參數(shù)的漸近線性橢圓方程組

在共振和共振附近正、負(fù)解的存在性與分歧性，其中，Ω ?RN(N≥2)是帶有光滑邊界的有界區(qū)域，λ∈R是參數(shù)，θ1,θ2(θ1≠θ2)是2 個(gè)正常數(shù)，m(x)＞0 a.e.x∈Ω是一個(gè)L∞(Ω)函數(shù)，非線性項(xiàng)f,g:R×Ω×R×R→R滿足下面條件：

（h1）f和g是 Carathéodory 函數(shù)；

（h2）存在2 個(gè)非負(fù)函數(shù)b1(x),b2(x)∈Lr(Ω)(r＞N)和2 個(gè)常數(shù)k,l＞0，使得

其中，|s|表示實(shí)數(shù)s的絕對(duì)值；

（h3）當(dāng) λ在某閉區(qū)間上以及a.e.x∈Ω，有

一致成立。

在20 世紀(jì)70 年代初，Rabinowitz[1-2]建立了關(guān)于算子方程的大范圍分歧理論，后來(lái)Dancer[3-4]又建立了單邊分歧理論，上述理論是有關(guān)方程分歧性研究所得到的相對(duì)成熟的結(jié)果?；谏鲜? 個(gè)理論，文獻(xiàn)[5]給出了偏微分方程形如-Δpu+λm(x)|u|p-2u=φ(λ,x,u)(p≥2)，關(guān)于解在分歧點(diǎn)附近產(chǎn)生分歧的充分條件。Chhetri 等[6-8]將文獻(xiàn)[5]中的問(wèn)題推廣到方程組，其中，文獻(xiàn)[8]所研究問(wèn)題的非線性項(xiàng)關(guān)于變量u，v是一致有界的。本文所研究的問(wèn)題與文獻(xiàn)[5-8]不同之處在于所處理問(wèn)題的非線性項(xiàng)關(guān)于u，v具有非一致性。因此，本文的問(wèn)題更具有一般性。

2 相關(guān)定義、假設(shè)與引理

基于問(wèn)題（1）的特征，本文的工作空間為

對(duì)其賦予的范數(shù)為 ‖(u,v)‖=‖u‖W2,r(Ω)+‖v‖W2,r(Ω)。

為了簡(jiǎn)化陳述，可將問(wèn)題（1）改寫為

其對(duì)應(yīng)的抽象算子方程為

其中，L:E→E表示映射

K:R×Ω×E→E表示映射

由Lax-Milgram 定理[9]可知，逆算子(-Δ)-1:(Ω)∩W2,r(Ω)是有意義的，而且還是線性、連續(xù)的。已知f,g是Carathéodory 函數(shù)，如果其對(duì)應(yīng)Nemyski 算子[10]仍用f和g表示，由條件（h2）可以得到Nemyski 算子f(x,u,v)和g(x,u,v)從Lr(Ω)×Lr(Ω)到Lr(Ω)×Lr(Ω)是連續(xù)的[11]。因此，由W2,r(Ω)到Lr(Ω)嵌入的緊性可以得到K(λ,x,u,v)是全連續(xù)的。進(jìn)一步，由條件（h3）可以得到，當(dāng) λ在某閉區(qū)間上，有

定義1若(λ,(u,v))∈R×E在幾乎處處意義下滿足問(wèn)題（1），那么，本文就說(shuō)(λ,(u,v))是問(wèn)題（1）的強(qiáng)解；如果u＞0且v＞0或u＜0且v＜0，本文就說(shuō)(λ,(u,v))是問(wèn)題（1）的正解或負(fù)解。

定義2如果解集S={(λ,(u,v))∈R×E:(λ,(u,v))滿足(1)}中存在序列{(λn,(un,vn))}滿足λn→λ∞，‖(un,vn)‖E→+∞(n→∞)，那么，本文就說(shuō) λ∞是問(wèn)題（1）的一個(gè)無(wú)窮分歧點(diǎn)。

引理1[7]設(shè)0 ＜μ1≤μ2≤μ3≤···≤μn≤···是邊值問(wèn)題

的特征值序列，并且φk∈(Ω)表示特征值 μk所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，那么，對(duì)于邊值問(wèn)題

有以下結(jié)論：

引理2[1]如果條件（h1）—（h3）成立，那么，解集S存在著1 個(gè)無(wú)界部分Dτ1，并且Dτ1能夠分解成2 個(gè)子連續(xù)統(tǒng)。進(jìn)一步，在空間R×E中存在著(τ1,∞)的鄰域O，使得當(dāng)(λ,(u,v))∈)∩O且(λ,‖(u,v)‖E)≠(τ1,∞)時(shí)，有(λ,(u,v))=λ,α(,+v⊥))，其中，，當(dāng)α ＞0(α ＜0)且|α|→+∞時(shí)，有|λ-τ1|→0且

現(xiàn)定義一些記號(hào)。設(shè)h(λ,x,u,v)=f(λ,x,u,v)+g(λ,x,u,v)，對(duì)于 γ≥0，R+=[0,+∞)，定義：Ω×(0,+∞)×→R和,:Ω×(-∞,0)×以及(x)和(x)如下：

假設(shè)1存在0 ≤γi＜2-以及非負(fù)函數(shù)Bi(x)∈Lr(Ω)，對(duì)于i=1,2,3,4,使得

3 主要結(jié)果及其證明

定理1如果（h1）—（h3）成立，則存在ε ＞0滿足τ±k?[τ1-ε,τ1+ε](k≠1)，使得當(dāng)任意的(λ,(u,v))∈S∩Oε時(shí)，有u＞0且v＞0或u＜0且v＜0。此外，存在由正解和負(fù)解所組成的連續(xù)統(tǒng)和?S在 τ1處無(wú)窮分歧，其中，

證明第一部分的證明。可將空間E分解為

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的引理4.2 可得，當(dāng)n→+∞時(shí)，|αn|→+∞當(dāng)且僅當(dāng)‖(un,vn)‖E→+∞。事實(shí)上，由式（10）和式（11）可以得到

其中，“+”和“-”分別表示 αn的符號(hào)，并且當(dāng)n→∞時(shí)，αn→∞。

第二部分的證明。因?yàn)椋?是代數(shù)單重的，由引理2 可得，存在2 個(gè)連續(xù)統(tǒng)?S和?S。由定理1 的第一部分可知，當(dāng)(λ,(u,v))∈S∩Oε時(shí)，有u＞0且v＞0或u＜0且v＜0，于是，取∩Oε，?S分別由正解和負(fù)解組成。再由引理2 以及分歧的定義可知，和在τ1處無(wú)窮分歧。定理1 證畢。

定理2假設(shè)（h1）—（h3）成立。

定理3假設(shè)（h1）—（h3）成立。

證明由于定理2 和定理3 的證明類似，所以，現(xiàn)只給出定理2 的證明。

上式化簡(jiǎn)為

將上面2 個(gè)式子相加，有

現(xiàn)在分兩步來(lái)說(shuō)明式（17）是不正確的。

第一步證明存在，使得下面不等式成立：

第二步說(shuō)明式（17）是不成立的。

由式（21）并結(jié)合Fatou 引理可得

現(xiàn)在需要驗(yàn)證不等式（i），（ii），（iii）。不等式（i）可由Fatou 引理得到，不等式（iii）是本文的假設(shè)條件，接下來(lái)，說(shuō)明不等式（ii）成立。設(shè)n固定，則由式（20）可得

從而看出（i），（ii），（iii）是成立的，進(jìn)而得到式(17)與式(23)是矛盾的。于是，定理2 中a 的（a）是成立的。

在定理2 中，關(guān)于結(jié)論b 的證明，類似地，即對(duì)αn＜0以及充分大的n，有

從而可以得到與式（18）～（22）類似的結(jié)論。再根據(jù)假設(shè)式（7），運(yùn)用Fatou 引理得到與式（21）類似的不等式，進(jìn)而得到矛盾。這樣就完成了定理2 的證明。