謝莉

摘?要：我們換一個(gè)新的視角考察表達(dá)式kα+β（k為任意整數(shù)，α，β為常數(shù)），定義β為初始值，k的系數(shù)α稱(chēng)為周期值，可以發(fā)現(xiàn)xx=kα+β，k∈Z表示的是以β為起點(diǎn)，其余各個(gè)x的值每隔α出現(xiàn)一次，且與β相差α的整數(shù)倍的實(shí)數(shù)集.從初始值和周期值的角度理解此表達(dá)式，可以巧妙地解決一類(lèi)集合關(guān)系、三角函數(shù)任意角等問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：初始值;周期值;集合關(guān)系;任意角

高中數(shù)學(xué)課程中，在學(xué)習(xí)集合和三角函數(shù)時(shí)，會(huì)經(jīng)常接觸到表達(dá)式kα+β，其中k為任意整數(shù)，α，β為常數(shù).如x=k4+12，k∈Z.當(dāng)我們?nèi)=-3，-2，-1，0，1，2，3，…時(shí)，可得x=-14，0，14，12，34，1，54，….經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間均相差14，x的值以12為起點(diǎn)，每個(gè)x的值與12均相差14的整數(shù)倍.因此，對(duì)于一般的表達(dá)式x=kα+β，k∈Z，可以定義β為初始值，它是一個(gè)固定值，定義k的系數(shù)α為周期值， kα即表示與初始值β相差k個(gè)周期.從“周期”的角度理解此表達(dá)式，可以簡(jiǎn)單快捷地解決以下兩類(lèi)數(shù)學(xué)題.

1?“打點(diǎn)法”解集合關(guān)系問(wèn)題

集合的關(guān)系問(wèn)題是集合內(nèi)容的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在高考和平時(shí)練習(xí)中均有這種類(lèi)型的習(xí)題.

例1?（2002年廣東卷）設(shè)集合M={x|x=k2+14，k∈Z};N={x|x=k4+12，k∈Z}，則（?）.

A.M=NB.MNC.MND.M∩N=

通常有兩種方法：分類(lèi)討論和列舉法. 但這兩種方法各有其缺點(diǎn).分類(lèi)討論比較抽象，部分學(xué)生難以理解為什么這樣分類(lèi);列舉法涉及到計(jì)算，容易出錯(cuò)并且需要花費(fèi)不少時(shí)間.下面介紹一種新方法——打點(diǎn)法，它能有效避免以上兩個(gè)問(wèn)題.

1.1?確定初始值和周期值

對(duì)集合x(chóng)x=kα+β，k∈Z，k為整數(shù)，k的系數(shù)α稱(chēng)為周期值;β為初始值，它與周期無(wú)關(guān).

1.2?確定數(shù)軸的最小刻度

已知兩個(gè)集合A=xx=α1k+β1，k∈Z;B=xx=α2k+β2，k∈Z，取α1，β1，α2，β2四者的最小值（0除外）為數(shù)軸的最小刻度.

1.3?在數(shù)軸上列舉出集合的一些點(diǎn)

如對(duì)集合A=xx=α1k+β1，k∈Z，先在數(shù)軸上標(biāo)出初始值β1，再在β1兩側(cè)每隔α1個(gè)周期打一個(gè)點(diǎn).如此，在數(shù)軸上便標(biāo)記有集合A的若干個(gè)點(diǎn).同理，用不同的符號(hào)在同一數(shù)軸上標(biāo)記集合B=xx=α2k+β2，k∈Z的若干個(gè)點(diǎn).通過(guò)在數(shù)軸上打的點(diǎn)對(duì)比，就能分辨集合A，B的關(guān)系.

例如采用“打點(diǎn)法”解決上述高考題.

解?集合M的初始值為14，周期值為12;

集合N的初始值為12，周期值為14.

因此取14為數(shù)軸的最小刻度，并在數(shù)軸上用“”表示集合M的點(diǎn)：先在數(shù)軸上標(biāo)記出初始值為14，然后每隔12打一點(diǎn)“”;同理，用“△”在同一數(shù)軸上標(biāo)記出集合N的點(diǎn)，如圖1.

從圖中顯然可見(jiàn)MN.

例2?（1984年全國(guó)）數(shù)集X={（2n+1）π，n∈Z}與數(shù)集Y={（4k±1）π，k∈Z}之間的關(guān)系是（?）.

A.XYB.XYC.X=YD.X≠Y

解?集合X的初始值為π，周期值為2π;

集合Y的初始值為π和-π，周期值為4π.

因此取π為數(shù)軸的最小刻度，并在數(shù)軸上用“”表示集合X的點(diǎn)：先在數(shù)軸上標(biāo)記出初始值π，然后每隔2π打一點(diǎn)“”;集合Y有兩個(gè)初值，先用“”表示初始值π，并在π的兩側(cè)每隔4π打一點(diǎn)“”;用“△”標(biāo)志初值-π，并在-π的兩側(cè)每隔4π打一點(diǎn)“△”，如圖2.

從圖中顯然可見(jiàn)X=Y.

打點(diǎn)法的本質(zhì)是列舉法，由于其結(jié)合了數(shù)形結(jié)合思想，所以可避免繁復(fù)的運(yùn)算和抽象的分類(lèi).實(shí)踐證明，這是一種被大部分不同基礎(chǔ)的學(xué)生所接受的辦法.

2?任意角的象限問(wèn)題

從“周期”的角度，可由給出的角的集合輕松作出角的終邊，或者由給定的終邊寫(xiě)出角的表達(dá)式.

例3?已知α是第二象限角，則α2是第象限角.

解?由于α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z.所以π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z.

先把π4+kπ的終邊作出.在坐標(biāo)系中先畫(huà)出π4的終邊，該終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)過(guò)π時(shí)畫(huà)一條射線，可以發(fā)現(xiàn)，π4+kπ表示一、三象限的角平分線（圖3）.同理可作出π2+kπ的終邊.于是α2表示終邊在圖中陰影部分的角（圖4）.因此α2是第一或第三象限角.

例4?終邊在直線y=±x上的角的集合是.

解?終邊在y=x上且在第一象限的角為π4，令它作為初始值β，觀察發(fā)現(xiàn)每隔π2出現(xiàn)一個(gè)終邊，故周期值α為π2，代入表達(dá)式kα+β，故終邊在直線y=±x上的角的集合是{x|x=kπ2+π4，k∈Z}.

{x|x=kα+β，k∈Z}的本質(zhì)是以β為初始值，α為周期的數(shù)集.在這個(gè)視角下，后續(xù)課程中出現(xiàn)的三角函數(shù)周期、誘導(dǎo)公式、復(fù)數(shù)的根式方程的根的個(gè)數(shù)等問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單易懂了.

參考文獻(xiàn)：

[1]歐陽(yáng)光中，陳傳璋，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

（收稿日期：2019-12-15）