摘?要：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題是近年來(lái)解析幾何問(wèn)題中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，尤其是與圓錐曲線有關(guān)的相交弦問(wèn)題，此類問(wèn)題計(jì)算量偏大，屬于難點(diǎn).基于圓的特性及橢圓和圓的內(nèi)在聯(lián)系，可以利用伸縮變換將橢圓變換為單位圓，把直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“橢圓問(wèn)題圓解決”，使問(wèn)題的運(yùn)算量下降、難度降低.本文就“化橢為圓”法解決直線與橢圓相交問(wèn)題舉例說(shuō)明.

關(guān)鍵詞：化橢為圓;轉(zhuǎn)化與化歸;伸縮變換

橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0，經(jīng)伸縮變換φ：x′=xa，y′=yb，得到x′2+y′2=1，有如下結(jié)論[1]：

（1）伸縮變換前后，坐標(biāo)成比例變換;

（2）伸縮變換前后，直線斜率成比例變換：伸縮變換前，橢圓上任意兩點(diǎn)AxA，yA，BxB，yB，連線的斜率（假定存在）k=yA-yBxA-xB，則伸縮變換后，k′=ab·k;

（3）伸縮變換前后，直線與曲線的位置關(guān)系不變：設(shè)變換前直線與橢圓方程聯(lián)立消去y所得一元二次方程的判別式為Δ，則伸縮變換后Δ′=a2b2Δ;

（4）伸縮變換前后，面積成比例變換：S′=1abS.

題1?已知橢圓E：x236+y29=1和點(diǎn)P4，2，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程.

分析?此問(wèn)題是直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題，解決此問(wèn)題的方法有：①借助根與系數(shù)的關(guān)系，采用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想;②代點(diǎn)相減法（點(diǎn)差法）;③利用直線的參數(shù)方程法[2];④利用“化橢為圓”法.

解析?利用伸縮變換φ：x′=x6，y′=y3，將橢圓E：x236+y29=1變換為圓E′：x′2+y′2=1，點(diǎn)P4，2變換為點(diǎn)P′23，23，所以kO′P′=1 .

因?yàn)辄c(diǎn)P為直線與橢圓E相交弦AB的中點(diǎn)，所以P′23，23為圓E′的弦A′B′的中點(diǎn).

利用圓的性質(zhì)可得kO′P′·kA′B′=-1.

所以kA′B′=-1.

即kA′B′=-1=2kAB.

所以kAB=-12.

所以直線的方程為y-2=-12（x-4）.

即y=-12x+4.

通過(guò)上述解答可以得到一般的結(jié)論：

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1和點(diǎn)Px0，y0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為k=-b2a2·x0y0.

證明?利用伸縮變換φ：x′=xay′=yb將橢圓E：x2a2+y2b2=1變換為圓E′：x′2+y′2=1，點(diǎn)P（x0，y0）變換為點(diǎn)P′（x0a，y0b），所以kO′P′=y0bx0a=ay0bx0.

因?yàn)辄c(diǎn)P為直線與橢圓E相交弦AB的中點(diǎn)，所以P′（x0a，y0b）為圓E′的弦A′B′的中點(diǎn).

利用圓的性質(zhì)可得kO′P′·kA′B′=-1.

所以kA′B′=-bx0ay0.

所以kA′B′=-bx0ay0=abkAB .

所以kAB=-b2a2·x0y0.

評(píng)注?此解法采用伸縮變換“化橢為圓”的方法，基于圓的特性及橢圓和圓的內(nèi)在聯(lián)系，利用伸縮變換將橢圓變換為單位圓，把直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“橢圓問(wèn)題圓解決”，使問(wèn)題的運(yùn)算量下降，難度降低.

題2?已知點(diǎn)A0，-2，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為233，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)ΔOPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

分析?第（2）問(wèn)求當(dāng)ΔOPQ的面積最大時(shí)l的方程，其常規(guī)解法是：設(shè)出直線的方程，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)以及點(diǎn)到直線的距離;再得出ΔOPQ面積的函數(shù)表達(dá)式;最后利用函數(shù)思想處理最值問(wèn)題.雖然思路比較清晰，但是在這一過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)能力有較高的要求，同時(shí)還要求學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.為了簡(jiǎn)便一些，下面就利用“化橢為圓”法求解此題.

解析?（1）設(shè)Fc，0，直線AF的斜率為233，所以2c=233，解得c=3.

又ca=32，所以a=2，b2=a2-c2=1.

故橢圓的方程為x24+y2=1.

（2）令φ：x′=x2，y′=y， 則橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換φ后得單位圓x′2+y′2=1.

設(shè)θ為線段OP與OQ的夾角，則變換后△OPQ的面積S′=12sinθ≤12，當(dāng)且僅當(dāng)θ=π2時(shí)等號(hào)成立.

此時(shí)，圓心到直線的距離為22.

顯然，當(dāng)l⊥x軸時(shí)不符合題意.

所以可設(shè)l′：y′=k′x′-2，則2k′2+1=22.

則k′=±7=y′1-y′2x′1-x′2=y1-y2x12-x22=2（y1-y2）x1-x2=2k.

所以k=±72.

所以SΔOPQ=abS′=2×1×12=1.

此時(shí)，直線l的方程為y=±72x-2.

評(píng)注?此解法采用“橢圓化圓”法求解，與常規(guī)法相比“橢圓化圓”充分利用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，降低了題目的思維難度，簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的優(yōu)越性，同時(shí)也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

題3?設(shè)A，B為橢圓x22+y2=1上滿足ΔAOB的面積為64的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P，設(shè)OP=tOE，求實(shí)數(shù)t的值.

分析?此題的常規(guī)解法是：設(shè)直線AB的方程y=kx+b，將其代入橢圓方程，利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得到弦長(zhǎng)AB;利用點(diǎn)到直線的距離公式求得ΔAOB的面積表達(dá)式;利用12AB·d=64得到k，b之間的關(guān)系;再由題設(shè)E為線段AB的中點(diǎn)，OP=tOE，點(diǎn)P在橢圓C上，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo);最后代入橢圓方程可得到k，b，t的關(guān)系式，再與上面得到的關(guān)系式聯(lián)立即可得到t的值.很明顯，常規(guī)解法涉及到的變量較多，運(yùn)算量較大且不易求解，尤其是涉及k，b，t的關(guān)系，進(jìn)而求t的值.下面利用“化橢為圓”法求解此題，以體現(xiàn)其優(yōu)越性.

解法1?令φ：x′=x2，y′=y， 則橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換φ后得單位圓x′2+y′2=1.

SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34.

即SΔA′O′B′=12·21-d2·d=34 .

所以d2=14或34.即d=12或d=32 .

所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d .

所以t=2或233.

解法2?令φ：x′=x2，y′=y， 則橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換φ后得單位圓x′2+y′2=1.

SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34 .

所以∠A′O′B′=π3或2π3.

所以d=OE=rsinπ6=12或d=OE=rsinπ3=32.

所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d=2或233.

評(píng)注?此解法采用“化橢為圓”法求解，與常規(guī)法相比“化橢為圓”充分利用了“數(shù)形結(jié)合”的思想，降低了題目的思維難度，簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程，其優(yōu)越性不言而喻.

橢圓與圓之間存在著許多內(nèi)在聯(lián)系，在學(xué)習(xí)和研究橢圓問(wèn)題時(shí)，若能有意識(shí)地挖掘橢圓與圓之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用伸縮變換將橢圓變換為單位圓，把直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“橢圓問(wèn)題圓解決”.圓與橢圓的相互轉(zhuǎn)化可以使我們領(lǐng)略知識(shí)之間并不是孤立的，這就促使我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化，善于在知識(shí)之間建立合理的聯(lián)系，善于將復(fù)雜問(wèn)題合理地向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，“化橢為圓”讓學(xué)生多了一種選擇，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促使其形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)之下，通過(guò)自己的獨(dú)立思考悟出來(lái)的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法.數(shù)學(xué)之美，在于發(fā)現(xiàn)，因此有效挖掘題中所給信息，不僅是解題的需要也是優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、訓(xùn)練思維、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要.

參考文獻(xiàn)：

[1]侯寶坤.伸縮變換——兼談化橢圓為圓問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（04）：31-33.

[2]王海軍.聚焦“中點(diǎn)”多樣解題[J].理科考試研究，2019，26（03），20-21.

（收稿日期：2019-10-28）