張重陽

（上海市張堰中學，上海 201514）

1.緒論

1.1 研究背景及意義

太陽系中有八大行星，按距離太陽由近到遠的順序分別是：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，但其中只有土星和天王星具有圍繞其自身中心天體旋轉(zhuǎn)的環(huán)狀結(jié)構(gòu)。隨著對土星環(huán)幾百年來的不斷觀測研究，人類已經(jīng)對土星環(huán)有了較為全面的認識：土星環(huán)寬度從30km ～30 萬km 不等，距離土星從近到遠按被發(fā)現(xiàn)的順序分別命名為D、C、B、A、F、G 和E 環(huán)。其中，B 環(huán)最寬、最亮，總質(zhì)量也最大。A、B、C 三個較為明亮密集的環(huán)被稱為主環(huán)。其他環(huán)相比之下則暗淡并且分散得多，基本都是被飛掠土星的人造探測器所發(fā)現(xiàn)。對比太陽系內(nèi)的其他行星，僅土星與天王星具有類似的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，故而推測土星環(huán)的形成并非偶然，其背后必定蘊含著豐富的物理學原理。本文將通過物理建模，對土星環(huán)的形成機理進行了初步探究，通過理論計算驗證了土星具備形成環(huán)狀結(jié)構(gòu)的必要條件，從而為土星環(huán)的形成提供了科學支撐。

1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

對天體力學理論及其觀測研究已有很多相關(guān)研究工作，周濟林、孫義燧通過計算行星引力勢[1]，并考慮土星環(huán)內(nèi)部小天體之間的碰撞對土星環(huán)動力學進行了研究，并歸納了行星環(huán)的分析方法。陳健,夏芳等對雙星觀測計算方法進行了改進[2]，以牛頓二體模型作為理論基礎(chǔ)，通過立體幾何改進了雙星的觀測方法，從而解決了傳統(tǒng)方法對透鏡效應的忽略，文章將理論結(jié)果與實際觀測數(shù)據(jù)進行了擬合對比，結(jié)果表明所提出的方法極大地改良了原有模型，具有一定的使用價值。劉林，湯靖師等對地球與月球系統(tǒng)平動點軌道的特征問題進行了研究[3]，對軌道由于不穩(wěn)定特性引起的誤差傳播問題進行了詳細的理論研究，并給出了高精度軌道預報方法，并利用實際測量資料對定軌結(jié)果進行了檢驗。夏睿奇對地球特洛伊天體穩(wěn)定性進行了研究[4]，指出共振對地球特洛伊天體的穩(wěn)定區(qū)域的分布情況存在重要作用。何加川對天體力學的發(fā)展歷史以及近代以來的關(guān)鍵性成果進行了綜述[5]，并將天體力學的研究范疇劃分為：自轉(zhuǎn)理論、天體形狀、多體問題、天文動力學、數(shù)值方法以及攝動理論6 個方向，在對天體力學的成果進行歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上提出了相應的展望，為未來研究指明方向。

本文對土星環(huán)的形成機理進行了研究，經(jīng)過簡單的建模并通過引力計算，得出了兩個重要的崩解臨界，并進一步指出土星環(huán)可能由大質(zhì)量的天體落入崩解半徑后分解成小碎塊兒，從而繞土星旋轉(zhuǎn)形成土星環(huán)。

2.土星環(huán)運動方程

2.1 土星與土星環(huán)的基本概況

土星主要是由氫氣構(gòu)成的氣態(tài)行星，其赤道半徑達到6 萬多km，在太陽系行星中并非質(zhì)量最大的一顆，其質(zhì)量僅在太陽系行星中位列第二。但除了常見的衛(wèi)星以外，土星還具有奇特的環(huán)狀結(jié)構(gòu)稱為土星環(huán)。據(jù)天文觀測數(shù)據(jù)，土星環(huán)主要由水、冰、石塊兒等小顆粒組成。有研究表明與形成于45 億年前的土星相比，土星環(huán)的形成歷史相對短暫，它形成于約1000 萬年～1 億年前。在天文望遠鏡下，土星環(huán)分布在土星周圍具有非常明亮的光澤，環(huán)中有不計其數(shù)的小顆粒，其大小橫跨微米級到米級，在土星引力的作用下圍繞土星運轉(zhuǎn)。

2.2 土星與土星環(huán)的相互作用力

土星環(huán)作為有質(zhì)量的物體，在土星周圍將受到土星的引力作用，其大小與土星和土星環(huán)質(zhì)量的乘積成正比，而與它們之間距離的平方成反比。

其中，G 為萬有引力常數(shù)，由卡文迪許使用扭秤裝置測出，其值約為6.67×10-11N·m2/kg2。M 和m 分別表示土星與土星環(huán)的質(zhì)量，r 表示土星與組成土星環(huán)的天體間的距離，則F 即為土星與土星環(huán)之間相互作用的引力。

考慮到土星環(huán)與太陽和其他天體的距離很遠，而引力與距離呈平方反比衰減，故而在研究過程中可忽略其他天體對土星環(huán)引力作用，而僅考慮土星與土星環(huán)之間的相互作用力。

2.3 土星環(huán)運動的軌道參數(shù)

土星環(huán)以土星為中心天體，在土星引力的作用下圍繞土星運動。由開普勒行星運動定律可知，土星環(huán)繞土星運動的軌跡為橢圓，且土星位于橢圓的焦點。但考慮到土星環(huán)繞土星運動的偏心率很小，可將土星環(huán)軌道簡化為正圓軌道。根據(jù)圓周運動的基本規(guī)律，由萬有引力提供向心力得：

其中：M 和m 分別表示土星與土星環(huán)的質(zhì)量；r 表示土星環(huán)與土星之間的距離，ω 為土星環(huán)繞土星運動的角速度，v 為土星環(huán)繞土星運動的線速度，T 為土星環(huán)的運動周期。

由式(2)可得：

可見土星環(huán)的運動情況與其距土星的距離相關(guān)，離土星距離越近的環(huán)其運動的線速度、角速度越大，周期越短。

由式(3)可知，土星環(huán)內(nèi)側(cè)與外側(cè)運動角速度之差：

其中：M 表示土星的質(zhì)量；r1與r2分別表示土星環(huán)內(nèi)側(cè)與外側(cè)與土星之間的距離，Δω 為土星環(huán)內(nèi)側(cè)與外側(cè)的角速度差，d 為土星環(huán)寬度。

可見，土星環(huán)寬度越大，土星環(huán)內(nèi)側(cè)與外側(cè)的角速度差越大。若土星環(huán)為一個整體圓盤，則其內(nèi)外側(cè)角速度應當相同，但根據(jù)實際觀測可知，土星環(huán)內(nèi)側(cè)與外側(cè)繞土星運動的角速度具有明顯差異，從而說明土星環(huán)并非是一個整體圓盤模型，而是由眾多小質(zhì)點構(gòu)成的相互離散的系統(tǒng)。

3.土星環(huán)形成機理建模

3.1 土星環(huán)起源假說

在太陽8 大行星中，僅土星和天王星存在環(huán)狀結(jié)構(gòu)，可見類似的環(huán)狀結(jié)構(gòu)在太陽系天體中不是普遍現(xiàn)象，其形成應當具備一定的條件。土星在太陽系中質(zhì)量與體積均位列木星之后，但木星以及其他行星卻未形成環(huán)狀結(jié)構(gòu)，故而猜測土星的環(huán)狀結(jié)構(gòu)來源有：

（1）土星眾多的衛(wèi)星中，曾經(jīng)有一顆含水量豐富的小衛(wèi)星。它在運行過程中受到內(nèi)側(cè)的土星和外側(cè)其它衛(wèi)星的多方向引力作用，最終崩解碎裂。

（2）土星系統(tǒng)中衛(wèi)星眾多，引力環(huán)境復雜，這使土星的衛(wèi)星們始終處于不規(guī)則的引力拉扯中。它們的內(nèi)部不斷因形變摩擦而升溫，最終形成劇烈的間歇泉噴發(fā)（噴發(fā)物以水為主）形成了土星環(huán)。

3.2 土星環(huán)形成的機理建模

為簡化問題分析，本文對土星環(huán)形成的崩解假說建立了兩類理論模型，所建立的模型從外來天體的構(gòu)成區(qū)分，分別為由引力結(jié)合的雙體模型以及由質(zhì)點群結(jié)合的單體模型。并研究了在土星引力的作用下，外來天體模型受到土星引力而崩解的情況，進而推導出各自的崩解臨界。

3.2.1 由引力結(jié)合的雙體模型

由引力結(jié)合的雙體模型考慮外來天體是由兩個質(zhì)量均為m 半徑為r 的規(guī)則球體組成，其自身僅依靠彼此的引力相互結(jié)合。如圖1 所示。

圖1 由引力結(jié)合的雙體模型示意圖

由圖1 可知，對于由引力結(jié)合的雙體模型中的任一天體A、B 而言，其均受到兩個引力的作用，即土星的引力以及自身另一天體的結(jié)合引力。其中，土星引力的作用是將雙體模型分離，而A 與B 自身的引力將其牢牢結(jié)合。隨著雙體模型逐漸靠近土星，土星對雙體模型中天體A 的引力逐漸增強，而A 與B 的結(jié)合引力由于它們的距離不變，該結(jié)合引力為常數(shù)：

其中，F(xiàn)AB即為A 與B 的結(jié)合引力，G 為萬有引力常數(shù)，m，r 分別為雙體模型內(nèi)部兩個天體的質(zhì)量與半徑。

隨著雙體模型逐漸靠近土星，土星對雙體模型的引力逐漸增大，式(6)當土星對雙體模型中天體A 的引力大于A 與B 的結(jié)合引力時，雙體模型將會發(fā)生崩解，從而使得雙體模型的每一部分成為繞土星運動的土星環(huán)。

其中，F(xiàn)土表示土星對天體A 的引力，G 為萬有引力常數(shù)，M 和m 分別表示土星的質(zhì)量與雙體模型中天體A的質(zhì)量，R 與r 分別為土星到天體A、B 切點之間的距離以及天體A 的半徑。當F土大于FAB時，雙體模型中天體A、B 發(fā)生崩解，聯(lián)立式(5)與式(6)可知：

求解上式可得：

其中：M 和m 分別表示土星的質(zhì)量與雙體模型中天體A 的質(zhì)量，R 與r 分別為土星到天體A、B 切點之間的距離以及天體A 的半徑。

當雙體模型離土星足夠近時，由于土星對天體A 的引力大于雙體模型AB 之間的結(jié)合引力，故而導致天體A 受到土星引力而與天體B 分離，即雙體模型崩解形成土星環(huán)的一部分。

由式(8)可以看出，雙體模型崩解極限半徑R 與雙體模型內(nèi)天體A、B 的半徑成正比，體積越大的天體越容易受天體引力作用而發(fā)生崩解。同樣的，雙體模型崩解極限半徑R 與雙體模型內(nèi)天體A、B 的質(zhì)量成負相關(guān)，雙體模型內(nèi)天體的質(zhì)量越大，其結(jié)合引力越強，越不容易受到行星引力作用發(fā)生崩解。另外，崩解極限半徑還與行星質(zhì)量相關(guān)，行星質(zhì)量越大，其對雙體模型內(nèi)天體的“撕扯”作用越強，越容易使雙體模型發(fā)生崩解。

若雙體模型內(nèi)天體密度均勻，考慮到雙體模型內(nèi)天體A、B 半徑遠小于行星半徑，則式(8)可進一步近似為：

可見，雙體模型的崩解半徑與其平均密度及尺寸呈負相關(guān)，而與行星質(zhì)量呈正相關(guān)。質(zhì)量越大的行星越具備形成行星環(huán)的可能。

3.2.2 由質(zhì)點群結(jié)合的單體模型

雙體模型較為簡單，便于進行理論分析，但雙體模型與實際天體的崩解方式可能存在差異。為此，本文建立了由質(zhì)點群結(jié)合的單體模型，用來模擬外來天體受行星引力發(fā)生崩解的物理過程，如圖2 所示。

圖2 由質(zhì)點群結(jié)合的單體模型示意圖

在質(zhì)點群模型中，各質(zhì)點分別受到來自土星的引力以及自身其他質(zhì)點產(chǎn)生的結(jié)合引力。當質(zhì)點群離行星較遠時，其自身結(jié)合引力大于行星引力，從而使質(zhì)點群保持穩(wěn)定結(jié)合。然而，隨著質(zhì)點群模型逐漸靠近土星，土星對模型內(nèi)各質(zhì)點的引力逐漸增大，當土星對質(zhì)點群內(nèi)質(zhì)點的引力大于其自身的結(jié)合引力時，質(zhì)點群模型將會發(fā)生崩解，成為繞土星運動的土星環(huán)。

在質(zhì)點群模型內(nèi)部眾多質(zhì)點中，P 點離行星最近受行星引力影響最大，因而也發(fā)生崩解，計算P 點的加速度：

其中，ap為P 點加速度，G 為萬有引力常數(shù)，m，r分別為質(zhì)點群構(gòu)成的球體總質(zhì)量與半徑，R 為土星到質(zhì)點群質(zhì)心的距離。

可見，質(zhì)點P 的加速度決定于質(zhì)點群質(zhì)心到行星的距離。在行星引力的作用下，質(zhì)點群質(zhì)心的加速度為：

隨著質(zhì)點群模型逐漸靠近土星，ap逐漸增大，當ap＞ao時，質(zhì)點P 脫離質(zhì)點群模型內(nèi)其他質(zhì)點的引力束縛發(fā)生崩解，即：

化解可得：

考慮到R 遠大于r，上式可進一步寫成：

可見，對于質(zhì)點群模型而言，其崩解極限半徑與質(zhì)點群所組成的球體尺寸成正比，而與質(zhì)點群總質(zhì)量成反比，這是因為質(zhì)點群尺寸越大結(jié)合就越松散，土星引力更容易將其“撕碎”。式(14)所得崩解半徑與行星質(zhì)量呈正相關(guān)，這與雙體模型得出的結(jié)論是一致的，即質(zhì)量越大的行星越容易形成行星環(huán)。

3.3 模型的局限性

本文3.2 節(jié)通過引力理論對土星環(huán)的成因進行了分析，建立了由引力結(jié)合的雙體模型以及由質(zhì)點群結(jié)合的單體模型兩個簡易機理模型，并推導了相應模型的崩解極限。本文假設(shè)條件較為理想，模型在幾何形狀上為規(guī)則的球體，且模型內(nèi)在的結(jié)合力為天體自身的引力。實際上的外來天體形狀多樣，諸如啞鈴型、橢球形等，其內(nèi)在的結(jié)合力也不單純?yōu)橐?，還存在物質(zhì)之間的化學鍵作用，從而使其結(jié)合力更強，實際的崩解半徑比本文理論模型計算所得更小。

4.結(jié)論

土星作為太陽系最獨特的行星之一，其周圍具有一圈繞行星本體運動的行星環(huán)。本文利用萬有引力理論對土星環(huán)的形成機理進行了初步探究，通過研究土星環(huán)圍繞土星的運動情況，提出土星環(huán)可能由大質(zhì)量外來天體在土星引力作用下崩解而形成，進而建立了相應的崩解模型，推導了兩個理論崩解極限半徑。理論計算結(jié)果表明，平均密度越小、體積越大的外來天體更易發(fā)生崩解，而中心天體質(zhì)量越大則其形成行星環(huán)的概率也就越大，通過建立簡易物理模型對土星環(huán)形成的機理從理論上作出了科學解釋。