姚永輝 陸雨

摘要：在大型工程計(jì)算分析當(dāng)中，最難解決的是構(gòu)建的計(jì)算數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)聯(lián)問題，以及如何對(duì)離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改?；谝陨蠁栴}，設(shè)計(jì)離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度檢測(cè)算法，構(gòu)建出一個(gè)檢測(cè)離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度的方法。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，設(shè)計(jì)的檢測(cè)方法能夠更加精準(zhǔn)的檢測(cè)出離散數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)度，且通過檢測(cè)方法對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)能夠得出與實(shí)際系統(tǒng)關(guān)聯(lián)度更高的最優(yōu)模型。

關(guān)鍵詞：離散;數(shù)學(xué)模型;關(guān)聯(lián)度;檢測(cè)

中圖分類號(hào)：0158 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）06-0261-03

將一個(gè)實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型得到相應(yīng)的理論方程時(shí)，其主要的目的是為了讓理論數(shù)學(xué)模型可以對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體的分析以及運(yùn)算。離散數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是在某一特定的前提條件下提出的，且在構(gòu)建過程中不考慮其非線性問題的存在，僅僅利用線性完成對(duì)模型的構(gòu)建。伴隨著現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)于客觀事實(shí)的計(jì)算能力已經(jīng)得到了質(zhì)的飛躍，因此具備了構(gòu)建離散數(shù)學(xué)模型的能力，并且能夠通過數(shù)學(xué)模型做到對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的模擬，以此可以在最大限度上，滿足實(shí)際工程中的應(yīng)用需求。

1檢測(cè)算法設(shè)計(jì)

1.1相空間重構(gòu)算法設(shè)計(jì)

在力學(xué)當(dāng)中，相空間是一種抽象的數(shù)學(xué)空間。在動(dòng)力系統(tǒng)當(dāng)中，相空間是由一組一階方程構(gòu)成，系統(tǒng)中每一個(gè)分量的改變都會(huì)與其他分量產(chǎn)生相互的作用。在對(duì)離散數(shù)學(xué)模型的關(guān)聯(lián)度進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，最重要的一步是將檢測(cè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)矢量，即相空間重構(gòu)。選擇同一時(shí)間間隔對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣其時(shí)間序列可表示為：

公式（1）中，x（t）表示為在t時(shí)刻，數(shù)學(xué)模型的動(dòng)態(tài)學(xué)性能;e表示為數(shù)學(xué)模型嵌入空間的維數(shù);τ表示為數(shù)學(xué)模型的延遲時(shí)間。通過公式（1）的計(jì)算，可建立由相空間R^E到對(duì)應(yīng)的R^e的映射。通過對(duì)相空間重構(gòu)的結(jié)果進(jìn)行分析，可以看出在數(shù)學(xué)模型中保留了其中原有的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以及幾何性質(zhì)。因此可以說明，相空間的重構(gòu)是時(shí)間序列當(dāng)中的基礎(chǔ)。相空間重構(gòu)的方法有很多，本文選用一種延遲坐標(biāo)的方法對(duì)相空間進(jìn)行重構(gòu)。其重構(gòu)的主要因素是利用對(duì)數(shù)學(xué)模型延遲時(shí)間r和嵌入維數(shù)e兩個(gè)因素決定。選取延遲坐標(biāo)完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的重構(gòu)，嵌入維數(shù)e表示為能夠完成在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中構(gòu)成的最小吸引子的維數(shù)大小。在進(jìn)行實(shí)際檢測(cè)的過程當(dāng)中，周圍環(huán)境產(chǎn)生的噪聲會(huì)對(duì)重構(gòu)結(jié)果造成一定的影響，而時(shí)序中的噪聲水平越高越會(huì)對(duì)重構(gòu)效果造成更大的影響。假設(shè)d表示為生成時(shí)序向量X（t）數(shù)學(xué)模型的一個(gè)分維數(shù)，在重構(gòu)環(huán)境中存在噪聲的情況下，要保證重構(gòu)的相空間e滿足e≥2d+l，該公式表示為嵌入維數(shù)大于吸引子維數(shù)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)。因此通過上文研究，從數(shù)學(xué)角度上，證明了狀態(tài)空間重構(gòu)的有效性。

1.2動(dòng)力系統(tǒng)算法設(shè)計(jì)

2離散數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度檢測(cè)方法設(shè)計(jì)

2.1相空間重構(gòu)參數(shù)設(shè)定

通過對(duì)離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行上述計(jì)算得出相應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，再將其與實(shí)際的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)對(duì)比，構(gòu)建一個(gè)新的相空間，從而獲取到兩個(gè)序列結(jié)構(gòu)的向量，通過對(duì)動(dòng)力信息的數(shù)據(jù)進(jìn)行提取以及對(duì)離散數(shù)學(xué)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析，從而完成對(duì)離散型數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度的檢測(cè)。數(shù)學(xué)模型數(shù)據(jù)序列的主要特征包括：在同一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)當(dāng)中，數(shù)據(jù)序列的響應(yīng)能夠代表一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在某一特定的狀態(tài)，從理論角度分析該狀態(tài)屬于一個(gè)無窮的序列，但在實(shí)際檢測(cè)的過程中數(shù)據(jù)序列的數(shù)目是有限的。同時(shí)，該數(shù)據(jù)序列與數(shù)學(xué)模型的離散程度有著密切的聯(lián)系;其次，在數(shù)據(jù)序列當(dāng)中，其本身隱藏著一個(gè)與該動(dòng)力系統(tǒng)具有密切聯(lián)系的信息，并且在信息當(dāng)中還含有大量的噪聲影響因素;在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中的向量與從數(shù)據(jù)序列中選擇的起始點(diǎn)有關(guān)，因此需要添加一步位移運(yùn)算將其消除。

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)模型的時(shí)間序列a1，a2，a3，…，an+（e-1）通過重構(gòu)相空間算法，計(jì)算出引人恰當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)和時(shí)間延遲，構(gòu)成一個(gè)完整的矩陣或向量。其表達(dá)式為：

公式（2）中，A表示為構(gòu)造向量;e表示為嵌入維數(shù);τ表示為時(shí)間延遲。通過該表達(dá)式對(duì)被檢測(cè)的數(shù)據(jù)固定時(shí)間進(jìn)行延遲，從而構(gòu)成一個(gè)多維度狀態(tài)的空間。通過不斷的重復(fù)提取出在不同時(shí)刻下各個(gè)延遲量，從而產(chǎn)生對(duì)e維相空間相點(diǎn)的變化軌跡。對(duì)數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢測(cè)方法流程設(shè)計(jì)圖，如圖1所示。

在對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行瞬態(tài)激勵(lì)作用下，動(dòng)態(tài)響應(yīng)的是數(shù)學(xué)模型整體的動(dòng)態(tài)信息，因此維數(shù)要盡可能選用數(shù)值較大的，才能保證恢復(fù)其實(shí)際的動(dòng)力系統(tǒng)信息，同時(shí)也可以有效保證數(shù)據(jù)模型數(shù)據(jù)的噪聲干擾以及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)信號(hào)完整。

2.2有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法設(shè)計(jì)

有限元結(jié)構(gòu)的基本前提是將連續(xù)的求解域進(jìn)行離散處理，從而構(gòu)成一個(gè)有限個(gè)數(shù)單元的組合體。通過構(gòu)建的組合體，可以對(duì)數(shù)據(jù)模型的區(qū)域進(jìn)行求解。而另一種方法，是利用每一個(gè)單元中的假設(shè)近似函數(shù)，將其表示為全部待求解的未知函數(shù)。離散數(shù)學(xué)模型的有限元分析可分為如下幾個(gè)步驟：

第一步，對(duì)數(shù)據(jù)模型中的連續(xù)區(qū)域進(jìn)行離散處理;

第二步，根據(jù)數(shù)據(jù)模型中的數(shù)據(jù)樣本構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)牟逯岛瘮?shù);

第三步，構(gòu)建一個(gè)具有單元特性的矩陣，一個(gè)具有數(shù)學(xué)模型整體特性的矩陣;

第四步，將整個(gè)數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行方程導(dǎo)出，其方程可表示為：

方程（3）中，[M]表示為質(zhì)量矩陣;[c]表示為阻尼矩陣;[K]表示為剛度矩陣;[P（t）]表示為整個(gè)數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行模式;

第五步，通過計(jì)算，求出數(shù)學(xué)模型的運(yùn)行方程。

2.3有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析具體流程

利用有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法對(duì)數(shù)學(xué)模型中的有限元?jiǎng)恿憫?yīng)進(jìn)行求解，求解方法如下所示：

在進(jìn)行求解前，首先要在程序中構(gòu)建一個(gè)全新的文件，并將其對(duì)應(yīng)的初始參數(shù)設(shè)置為0，從而為后續(xù)的計(jì)算保留出足夠的計(jì)算空間和存儲(chǔ)空間。

步驟1：在處理分析程序的初始模塊中，計(jì)算出數(shù)學(xué)模型中所有的有限單元，同時(shí)預(yù)設(shè)計(jì)算過程中的相關(guān)參數(shù)，再利用有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析軟件中的建模工具，構(gòu)建一個(gè)與其相符的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于造成數(shù)學(xué)模型影響不大的條件，例如載荷、約束等，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。以所需分析的問題作為基礎(chǔ)，選取合適的網(wǎng)格劃分方法，對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行劃分處理，在完成一系列操作后，退出該模塊;