尹慧慧，許衛(wèi)麗

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

在平面中，傳統(tǒng)的曲線流方程為：

其中初始曲線為F (u ,0)= F0(u )，且01λ≤≤，因此得到以下的定理．

定理 1 假設(shè) F0(u)是平面中的一個(gè)光滑閉曲線， F = F (u,t)是（2）式的一個(gè)解．而且F = F (u,t)對(duì)于所有的 t ∈ [ 0,∞ )都存在，并保持凸性．當(dāng)曲線面積 A (t)不減時(shí)，曲線長(zhǎng)度 L (t)不增．當(dāng)t→+∞時(shí)，曲線 F (u,t)按照 C0范數(shù)收斂到一個(gè)圓．

觀察到，（2）式中常數(shù)λ取值不同將會(huì)得到不同的曲線流：

1 預(yù)備知識(shí)

由于改變曲線流方程的切向分量只會(huì)影響曲線的參數(shù)表示，所以選擇一個(gè)合適的切向分量ρ來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算．

考慮下面的等價(jià)方程：

假設(shè)θ是x軸正方向與切向量T之間的夾角，可得到以下有關(guān)（3）式的演化方程：

發(fā)現(xiàn)L和A不依賴于ρ．一般來(lái)說(shuō)，θ是u和t的一個(gè)函數(shù)．為了讓?duì)炔灰蕾囉趖，讓得到

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，用參量(,)θ?來(lái)代替參量),(tu，則曲率滿足：

接下來(lái)，將研究以下的與（3）式等價(jià)的曲線流問(wèn)題：

2 曲線長(zhǎng)度和面積的單調(diào)性

定理2 曲線流（2）中，當(dāng)曲線的長(zhǎng)度減小時(shí)，所圍成的封閉圖形的面積增加．

推論1 如果初始曲線是凸的且在演化過(guò)程中沒(méi)有奇點(diǎn)，那么等周差L2-4Aπ單調(diào)遞減，且當(dāng)+∞→t時(shí)，收斂于0．

證明：

因此L2-4Aπ單調(diào)遞減．對(duì)不等式兩邊積分得到：

當(dāng)t→+∞時(shí)，保持24π L A-→0．

3 凸性和長(zhǎng)時(shí)間存在性

引理1 曲線流（6）的曲率演化方程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的熱方程，其解始終存在．

引理2 根據(jù)（6）式建立一個(gè)封閉凸曲線，在此過(guò)程中曲線保持凸性不變．

證明：因?yàn)榍?k0(θ) 在區(qū)間[0,2π]上有界，因此在區(qū)間[0,2π]上也有界．

假設(shè)在區(qū)間[0,2π]上，有δ ＜W (θ ,0)＜M ．

又因?yàn)榍蔾是連續(xù)函數(shù)，初始曲線的曲率 k ＞ 0 ，故

即曲線在演化過(guò)程中保持凸性．

由于支撐函數(shù)是光滑的，且在任意時(shí)刻都有定義，所以利用此性質(zhì)可推導(dǎo)出曲線流的全局存在性．

引理3 支撐函數(shù)滿足以下類(lèi)型的熱方程

已知),(tuθ是上述方程的唯一解，可得到：

4 定理1的證明

如果曲線是根據(jù)等式（2）建立的，由定理 2可知，當(dāng)曲線的長(zhǎng)度減小時(shí)，曲線所圍成的封閉圖形的面積增加．由引理2可知，曲線保持凸性．由引理4和5可知，支撐函數(shù)一直存在．因此，曲線流（6）與（2）式是一致的．

由引理1可知，曲率k在C∞中是可微的．從推論1可知，當(dāng)t→+∞，L2- 4 Aπ→ 0 時(shí)，等周差L2-4Aπ是單調(diào)遞減的．由Bonnesen不等可得即曲線流在 C0范數(shù)下收斂到有限圓．

于是完成了證明．