袁永祺，賈 真

(成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院，四川 成都 610059)

1 引 言

界面深度反演是重力異常定量地質(zhì)解釋的常用方法，被廣泛應(yīng)用于沉積盆地基底起伏和莫霍面形態(tài)的相關(guān)研究。根據(jù)算法的具體實(shí)現(xiàn)途徑可以將界面深度反演方法劃分為頻率域反演和空間域反演。頻率域方法最早是由Oldenburg[1]基于Parker[2]推導(dǎo)的頻率域重力異常正演公式提出的。該方法最早是針對(duì)二維界面深度的反演。后來(lái)，Granser[3]、Chai 和 Hinze[4]利用指數(shù)密度深度函數(shù)將該方法推廣到三維沉積盆地深度反演中。

關(guān)于空間域密度界面深度反演方法，Bott于1960年提出了一種根據(jù)重力異常計(jì)算二維沉積盆地基底深度的方法[5]。該方法以無(wú)限大均勻水平物質(zhì)層重力異常公式為基礎(chǔ)，通過迭代不斷調(diào)整數(shù)據(jù)點(diǎn)正下方的物質(zhì)層的深度，使得模型響應(yīng)逐次逼近觀測(cè)重力異常。后來(lái)，一些學(xué)者考慮到了在實(shí)際地質(zhì)條件下由于壓實(shí)作用造成密度隨深度變化，提出了變密度界面深度反演算法，并給出了不同的密度模型，包括指數(shù)衰減模型[6-9]、雙曲函數(shù)衰減模型[8,10,11]、線性模型[12-15]、二次函數(shù)模型[16-18]以及多項(xiàng)式模型[19,20]。由于階梯狀的棱柱模型不能精確地刻畫界面的精確形態(tài)，Guspí[19]采用了相對(duì)光滑的多邊形截面二度體作為反演模型。針對(duì)這種模型，后來(lái)，Zhou[21]提出了密度隨深度和水平位置變化的反演方法。

由于盆地基底實(shí)際上更接近于分段的連續(xù)三維表面，二維假設(shè)并不總是成立的。Cordell和Henderson[22]提出了一種三維界面反演方法。為了加快計(jì)算速度，重力異常計(jì)算點(diǎn)正下方界面單元為直立長(zhǎng)方體，其他位置的界面單元為有限長(zhǎng)的線質(zhì)量。此后，在討論三維和2.5維反演的文獻(xiàn)中，學(xué)者們都是以直立長(zhǎng)方體作為構(gòu)造界面模型的基本單元[22-25]，相應(yīng)的反演方法以Bott法[22,25,26]和非線性反演[22-24]為主。另外，還有學(xué)者提出利用擬退火算法[27]進(jìn)行界面反演。

盡管截至目前學(xué)術(shù)界已經(jīng)提出過多種界面深度反演方法，但對(duì)不同方法的比較分析還相對(duì)較少。因此，本文基于模型試驗(yàn)對(duì)Bott法和非線性反演的計(jì)算效率和適用性進(jìn)行了詳細(xì)的討論和分析。

2 密度界面深度反演數(shù)學(xué)原理

2.1 密度界面模型及其重力異常的計(jì)算

作為研究對(duì)象的密度界面位于密度均勻的基底和密度隨深度變化的蓋層之間。密度界面是用相同大小的矩形來(lái)刻畫的，每個(gè)矩形對(duì)應(yīng)著一個(gè)直立長(zhǎng)方體(圖1)。在長(zhǎng)方體內(nèi)部，密度隨深度按以下函數(shù)關(guān)系變化[24]：

(1)

式(1)中，z為深度(km);Δρ0和Δρ(z)分別為地表和深度z上的剩余密度(g/cm3);α為常數(shù)。Δρ(z)和α的具體取值需要通過其他先驗(yàn)信息(例如測(cè)井)確定。關(guān)于密度隨深度按照式(1)變化的直立長(zhǎng)方體產(chǎn)生的重力異常，Chakaravarthi等人[24]給出了具體的計(jì)算方法，即將所有直立長(zhǎng)方體的貢獻(xiàn)累加起來(lái)，就可以得到整個(gè)密度界面的重力異常。

2.2 反演算法

對(duì)于重力異常的界面反演，學(xué)者采用了兩種反演策略。一種是基于無(wú)限水平薄板的迭代算法，無(wú)需求解線性代數(shù)方程組，另一種是通過將非線性問題線性化并增加正則化因子保證方程穩(wěn)定的傳統(tǒng)非線性問題求解方法。

2.2.1 Bott法

在Bott法的反演計(jì)算過程中，界面單元中心點(diǎn)必須與重力數(shù)據(jù)點(diǎn)位于同一水平位置(圖2a)。

圖2 兩種反演方法對(duì)密度界面單元與觀測(cè)點(diǎn)之間關(guān)系的要求Fig.2 Prerequisite for the position of the gravity station and the interface elements

界面初始深度由(2)式確定[24]：

(2)

式中，(xi,yi)為第i個(gè)界面深度點(diǎn)和重力數(shù)據(jù)點(diǎn)的水平位置；gobs為觀測(cè)重力異常；Δρ0和α的含義同式(1)。求出界面深度初始值之后，再按照式(3)迭代求取界面深度：

(3)

式(3)中，G=6.67×1011N,m2/kg，為萬(wàn)有引力常數(shù)；Δgcalc為界面密度模型的重力異常響應(yīng);zk和zk+1分別為第k次迭代前后的界面深度。如果達(dá)到指定的迭代次數(shù)，或者模型響應(yīng)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合差低于預(yù)先定義的閾值，則終止迭代[10]。

2.2.2 非線性反演

不同于Bott法，非線性反演方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的水平位置沒有特殊要求(圖2b)。該方法以界面深度為反演變量。為了保證反演過程的穩(wěn)定性需要引入額外的約束條件。本文采用的數(shù)學(xué)手段是吉洪諾夫正則化。引入約束條件后的反演問題可以表示為下面的最優(yōu)化問題[28-30]:

(4)

式(4)中，z為所有界面節(jié)點(diǎn)深度構(gòu)成的向量;d和g分別為觀測(cè)異常和模型響應(yīng);λ>0為控制約束條件的正則化系數(shù);z0為界面深度初始值。由于界面深度與重力異常是非線性關(guān)系，式(4)所表示的最優(yōu)化問題可以通過高斯牛頓法求解。模型修正量通過式(5)計(jì)算：

Δzi=[JTJ+λITI]-1JT[d-g(zi)]

(5)

式(5)中，Δzi為第i次迭代計(jì)算后得到的模型增量，J為雅可比矩陣，I為單位矩陣。更新后的界面深度可以通過式(6)計(jì)算：

zi+1=zi+Δzi

(6)

式(6)中，zi+1和zi分別為第i次迭代前后的界面深度。

3 合成模型測(cè)試

為了對(duì)兩種算法進(jìn)行對(duì)比分析，本文采用了一個(gè)水平尺度為300 km×400 km的界面模型(圖4a)，并按照2.1節(jié)中介紹的方法計(jì)算了重力異常 (圖4b)。界面以上的剩余密度按式(1)隨深度變化。這里，Δρ0=-0.5 g/cm3，α=0.171 1(圖3)。

圖3 剩余密度隨深度的變化Fig.3 Remnant density variation with depth

圖4 密度界面模型及其深度反演結(jié)果(剖面位置見(a)、(c)、(d))Fig.4 Density interface model and depth inversion results

圖4中展示了分別采用兩種反演算法所得到的計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，兩種方法的反演效果十分接近。這里，x和y方向的界面節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別取40和56。反演過程以模型響應(yīng)與觀測(cè)異常之間的擬合差(2-范數(shù))小于100 mGal作為循環(huán)終止條件。在該條件下，Bott法和非線性方法的迭代次數(shù)分別為5次和3次(圖5)。這表明：若單獨(dú)以迭代次數(shù)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，則非線性方法的收斂速度優(yōu)于Bott法。但是，在擬合差不變的情況下，Bott法反演的總耗時(shí)卻小于非線性方法，暗示后者單次迭代耗時(shí)比前者要多。

圖5 Bott和非線性方法收斂速度的比較Fig.5 Comparison of convergences speed between Bott′s and nonlinear methods

圖6 Bott法與非線性方法的耗時(shí)對(duì)比Fig.6 Computation of time comparison belotween Bott′s and nonlinear methods

為了對(duì)比兩種方法單次迭代的計(jì)算開銷，作者將反演次數(shù)設(shè)置為1次，并統(tǒng)計(jì)了包括初值計(jì)算在內(nèi)的初次迭代時(shí)間隨界面節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化(圖6)。這里，x與y方向上的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相等。例如，圖6中橫軸上的數(shù)字25表示x和y方向的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)均為5，即25=5×5，依此類推。顯然，Bott法在計(jì)算效率上相對(duì)于非線性方法而言具有跨數(shù)量級(jí)的優(yōu)勢(shì)，這是因?yàn)樵诜蔷€性方法的每次迭代過程中都需要求解線性代數(shù)方程組，而與之相應(yīng)的矩陣求逆需要耗費(fèi)大量時(shí)間。與之相比，在利用Bott法進(jìn)行反演的過程中，模型修正量的計(jì)算過程則相當(dāng)簡(jiǎn)單，時(shí)間主要消耗在模型響應(yīng)的計(jì)算上。

4 結(jié) 論

針對(duì)重力異常界面深度反演，本文基于合成模型對(duì)Bott法和非線性方法展開了詳細(xì)的對(duì)比，并得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1)兩種方法的反演結(jié)果沒有明顯差異。

2)若單獨(dú)以迭代次數(shù)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，則非線性方法的收斂速度要優(yōu)于Bott法。

3)Bott法在單次迭代耗時(shí)和反演計(jì)算總時(shí)間均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于非線性方法。

然而，需要指出的是，盡管Bott法在計(jì)算效率上具有優(yōu)勢(shì)，但該方法要求重力數(shù)據(jù)點(diǎn)位與界面節(jié)點(diǎn)的水平位置——對(duì)應(yīng)，且位于水平面上。與之相比，非線性反演對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置則沒有特殊要求。在實(shí)際勘探中，可根據(jù)研究區(qū)的客觀條件(例如地形起伏幅度)選擇合適的方法。