苗兵

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院,北京 100049)

量子電動(dòng)力學(xué)中的卡西米爾力是真空零點(diǎn)能的體現(xiàn).廣義的卡西米爾力則依賴于漲落介質(zhì)的類型廣泛地出現(xiàn)于物理中,包括量子,臨界,戈德斯通模,以及非平衡卡西米爾力.長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的漲落介質(zhì)和約束是產(chǎn)生卡西米爾力的兩個(gè)條件.本文通過(guò)回顧卡西米爾物理的發(fā)展,討論了不同類型的卡西米爾力,幾種正規(guī)化方法,并對(duì)卡西米爾物理的進(jìn)一步發(fā)展做了展望.

1 引 言

在一個(gè)具有長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的漲落介質(zhì)中引入外加約束,由于約束對(duì)于介質(zhì)漲落模式的修改,因而在介質(zhì)之間產(chǎn)生一種有效的相互作用力,即卡西米爾力(Casimir force)[1].在物理中,存在多種機(jī)制可產(chǎn)生長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的漲落介質(zhì).例如,在量子場(chǎng)論中,規(guī)范對(duì)稱性要求零質(zhì)量波色子,其傳遞的相互作用是長(zhǎng)程的,這樣,零質(zhì)量波色子場(chǎng)是滿足卡西米爾力產(chǎn)生要求的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)漲落介質(zhì),典型的例子是量子電動(dòng)力學(xué)中的電磁場(chǎng)(光子場(chǎng)).在統(tǒng)計(jì)物理中,調(diào)整參數(shù)至連續(xù)相變的臨界點(diǎn)時(shí),序參量的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散,序參量臨界漲落的關(guān)聯(lián)函數(shù)是長(zhǎng)程衰減的冪函數(shù),這樣,序參量場(chǎng)提供了產(chǎn)生卡西米爾力的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)漲落介質(zhì);另一方面,即使不在臨界點(diǎn),對(duì)于具有連續(xù)對(duì)稱的統(tǒng)計(jì)模型,由戈德斯通定理(Goldstone theorem)可知,破缺連續(xù)對(duì)稱可以產(chǎn)生零質(zhì)量的戈德斯通粒子,因此戈德斯通場(chǎng)也提供了卡西米爾力產(chǎn)生的背景介質(zhì),典型的例子如鐵磁相變的n-矢量模型、超流相變、液晶、薄膜或界面、聚合物等.在非平衡體系中,動(dòng)力學(xué)滿足的流守恒可以在非平衡體系中產(chǎn)生長(zhǎng)程關(guān)聯(lián),從而可以產(chǎn)生卡西米爾力.由此可見(jiàn),卡西米爾物理是一個(gè)涵蓋廣泛的研究題目[2].

本文從卡西米爾力最初在量子電動(dòng)力學(xué)中的提出,到廣義的卡西米爾力,對(duì)卡西米爾效應(yīng)進(jìn)行考察,最后對(duì)卡西米爾物理在未來(lái)的發(fā)展進(jìn)行展望.

2 量子場(chǎng)論

2.1 發(fā) 現(xiàn)

量子場(chǎng)論中的卡西米爾力最早是由荷蘭物理學(xué)家Hendrik Casimir在1948年發(fā)現(xiàn)的[3].由于量子力學(xué)的不確定性原理,真空非空,而是充滿了量子漲落.量子漲落導(dǎo)致非零的真空能量,物理上稱為真空零點(diǎn)能(zero point energy of vacuum).卡西米爾力是真空零點(diǎn)能存在的一個(gè)直接結(jié)果[4].

Casimir考慮在真空中引入兩個(gè)平行的中性理想導(dǎo)電金屬平板,要求平板是無(wú)窮大和無(wú)窮薄的.金屬板的存在修改了真空中電磁場(chǎng)的漲落模式.Casimir分別計(jì)算了自由真空的零點(diǎn)能和加板約束后真空的零點(diǎn)能,發(fā)現(xiàn)兩者都有紫外發(fā)散,然而通過(guò)計(jì)算兩者之差,Casimir得到了一個(gè)隨著板間距離變化的有限能量,進(jìn)一步計(jì)算該能量對(duì)板間距離的變化率,則得到兩板之間的一個(gè)吸引力,即著名的卡西米爾力,公式如下:

(1)式是兩板之間單位板面積的力,即卡西米爾壓力.式中,a是板間距離,?和c分別是普朗克常數(shù)和光速.由(1)式可以發(fā)現(xiàn):(1)式中不出現(xiàn)金屬板的細(xì)節(jié)性質(zhì),而是僅依賴于物理學(xué)基本常數(shù) ?,c,以及板間距離 a,因此卡西米爾力具有普適性;對(duì)于 ?和c的依賴說(shuō)明卡西米爾力的產(chǎn)生是由于量子效應(yīng)和相對(duì)論效應(yīng);卡西米爾力是隨板間距離以冪率(—4)衰減的長(zhǎng)程力;負(fù)號(hào)表明這里的卡西米爾力是吸引力.

由于卡西米爾力的普適性,可以基于簡(jiǎn)單的量綱分析(dimensional analysis)迅速得出(1)式的冪率關(guān)系.考慮兩塊平行的金屬板(Casimir平板),由于卡西米爾力P歸因于量子效應(yīng)和相對(duì)論效應(yīng),因此P與 ?c成比例.由量綱[?c]=E·L,[P]=E/L3； 本問(wèn)題里唯一剩下的長(zhǎng)度尺度是板間距離a；由量綱分析得出: P ～?c/a4.可是,簡(jiǎn)單的量綱分析無(wú)法得出卡西米爾力普適常數(shù)的大小和符號(hào),確定普適常數(shù)需要做具體的計(jì)算.在下文中我們將給出卡西米爾力基于真空零點(diǎn)能的計(jì)算.

2.2 與范德瓦耳斯力的關(guān)系

本節(jié)敘述卡西米爾力的研究背景,講述其如何起源于對(duì)分子間范德瓦耳斯力(van der Waals force)在長(zhǎng)程或者retarded情形下的計(jì)算[5],以及卡西米爾力在后來(lái)的發(fā)展中遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了范德瓦耳斯力的范疇.

對(duì)膠體穩(wěn)定性問(wèn)題的研究啟發(fā)了Casimir關(guān)于卡西米爾力的計(jì)算.膠體體系的不穩(wěn)定性是由分子間相互作用力驅(qū)動(dòng)的.理想氣體的狀態(tài)方程由于沒(méi)有考慮分子間相互作用而不能描述氣體的凝聚相變(氣-液相變).荷蘭物理學(xué)家 van der Waals將理想氣體方程修改為van der Waals方程,可以描述相變.在這個(gè)修正中,van der Waals引入了氣體分子的尺寸(排除體積效應(yīng))和氣體分子間相互作用力(范德瓦耳斯力).對(duì)于中性的氣體分子,范德瓦耳斯力是一種短程的吸引力,它將驅(qū)動(dòng)氣體狀態(tài)的失穩(wěn)而凝聚成液態(tài).兩個(gè)中性(可極化)分子間范德瓦耳斯力的量子力學(xué)計(jì)算是由London完成的,稱為色散力(dispersion force),其原因是計(jì)算里需要考慮極化率(polarizability).

London的計(jì)算發(fā)現(xiàn): 兩個(gè)中性分子間的色散力表現(xiàn)為一個(gè)以 r-6衰減的吸引相互作用勢(shì),其中r是分子間距.粗略來(lái)理解,指數(shù)為—6是由于: 該力是分子的誘導(dǎo)偶極-誘導(dǎo)偶極相互作用,由于量子漲落,分子1產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極,誘導(dǎo)偶極產(chǎn)生的誘導(dǎo)電場(chǎng) E ～1/r3,分子2在電場(chǎng)E作用下產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極 p ～αE～1/r3,這里α是分子的極化率,相互作用能 V ～-p·E～-1/r6.

Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek(DLVO)將London的色散力引入了他們的膠體穩(wěn)定性理論.當(dāng)膠體間由分子色散力帶來(lái)的吸引大于由靜電帶來(lái)的排斥時(shí),膠體體系將失去穩(wěn)定性而發(fā)生凝聚.在膠體穩(wěn)定性的研究中,Verwey和Overbeek發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)中分子之間的吸引力比1/r6衰減的更快,實(shí)際上應(yīng)該是 1 /r7.Verwey和Overbeek 因此評(píng)論說(shuō),這是因?yàn)樵贚ondon理論里,沒(méi)有考慮相對(duì)論效應(yīng),而膠體的間距(微米尺度)相對(duì)于微觀的分子尺度很大,因此需要考慮相對(duì)論修正.

Casimir接受了這個(gè)建議,與Polder合作,重新研究了London理論,加入了相對(duì)論效應(yīng)帶來(lái)的所謂 retardation 效應(yīng),推導(dǎo)出了分子間的Casimir-Polder相互作用,是 r—7的色散吸引力.之后,Casimir認(rèn)為Casimir-Polder分子間力的計(jì)算過(guò)于復(fù)雜,他希望簡(jiǎn)化計(jì)算.在與玻爾(Bohr)談?wù)摃r(shí),玻爾評(píng)論這個(gè)力應(yīng)該與零點(diǎn)能有關(guān).受到啟發(fā)后,Casimir完成了兩宏觀平板之間卡西米爾力的計(jì)算,通過(guò)計(jì)算真空零點(diǎn)能得到了著名的卡西米爾力公式(1)式.

卡西米爾力被提出的時(shí)候,并沒(méi)有引起很大的關(guān)注.這可能是因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們已經(jīng)知道了兩個(gè)中性分子之間的色散吸引力,因此當(dāng)中性分子變成兩個(gè)宏觀中性板時(shí),其間會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)程吸引力似乎并不值得過(guò)于驚訝.然而,我們需要指出,卡西米爾力為什么是吸引力,至今仍然沒(méi)有完全令人滿意的解釋.在后來(lái)的發(fā)展中,人們發(fā)現(xiàn)取決于漲落介質(zhì)的類型,邊界條件,約束的性質(zhì)和幾何,卡西米爾力可以是排斥力.實(shí)際上,對(duì)于一個(gè)具體的體系,在未做計(jì)算前,人們不能判斷卡西米爾力是吸引還是排斥力.因此,在卡西米爾物理的發(fā)展中,卡西米爾力雖起源于分子間范德瓦耳斯力的研究,然而其發(fā)展已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了分子間力的研究范疇.并且,在討論宏觀或者介觀物體之間的力時(shí),人們通常將卡西米爾力和范德瓦耳斯力進(jìn)行區(qū)分: 范德瓦耳斯力是短距離,近程的作用力,依賴于作用物體的分子細(xì)節(jié);卡西米爾力是長(zhǎng)程作用力,長(zhǎng)程特點(diǎn)將分子細(xì)節(jié)平均掉,表現(xiàn)出普適性.

下面,我們不做具體的量子力學(xué)計(jì)算,而是利用標(biāo)度討論(scaling argument)得出兩個(gè)中性分子之間的色散力,包含London的不包含相對(duì)論效應(yīng)的non-retarded情況和Casimir-Polder的考慮相對(duì)論修正的retarded情況[1].

考慮兩個(gè)體積分別為V1和V2的中性分子,其電子運(yùn)動(dòng)的特征頻率是ω0.基于標(biāo)度分析,間距為r的兩分子間相互作用勢(shì)能應(yīng)采取如下形式:

其中,負(fù)號(hào)是因?yàn)槲?r-6是基于兩個(gè)體積乘積的量綱,? ω0是體系的特征能量,c/ω0是體系的特征距離,f(x)是一個(gè)無(wú)量綱標(biāo)度函數(shù),用于在non-retarded和retarded兩種情形之間進(jìn)行過(guò)渡.

I)在短距離時(shí),即 r ＜(c/ω0),兩分子之間的信號(hào)傳遞時(shí)間小于特征時(shí)間,不需要考慮相對(duì)論效應(yīng),取 f(x)=(常數(shù),這)樣就得到London的結(jié)果:V(r)≈ -?ω0V1V2/r6.

II)在長(zhǎng)距離時(shí),即r ＞(c/ω0),兩分子之間的信號(hào)傳遞時(shí)間大于特征時(shí)間,需要考慮相對(duì)論效應(yīng).此時(shí)相互作用勢(shì)應(yīng)不再依賴于表征特征時(shí)間的 ω0,為了抵消掉 ω0,取 f(x)=1/x(,這樣就)得到Casimir-Polder的結(jié)果: V(r)≈-?cV1V2/r7,其中,光速c的出現(xiàn)體現(xiàn)了相對(duì)論效應(yīng).

3 計(jì) 算

本節(jié)給出幾個(gè)用零點(diǎn)能計(jì)算卡西米爾力的算例,并且對(duì)其中處理發(fā)散的正規(guī)化方法(regularization)進(jìn)行介紹.

3.1 一維空間標(biāo)量場(chǎng)

首先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的情形: 一維空間的零質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng),受限于兩點(diǎn)之間,取狄利克雷邊界條件(Dirichlet boundary condition)引入約束,點(diǎn)間距為a.

由量子場(chǎng)論,量子化的標(biāo)量場(chǎng)可看作為一組振動(dòng)的諧振子.由量子力學(xué),基態(tài)或真空態(tài)下,頻率為ω的諧振子具有零點(diǎn)能 ? ω/2 .標(biāo)量場(chǎng)的零點(diǎn)能為所有頻率諧振子的零點(diǎn)能之和.受限情形下,由邊界條件知道,允許的頻率為: ωn=ckn,這里,kn=(nπ)/a,n=1,2,3,…

計(jì)算標(biāo)量場(chǎng)真空能量:

顯然,該無(wú)窮級(jí)數(shù)求和發(fā)散.為了處理發(fā)散,需要對(duì)(3)式進(jìn)行正規(guī)化.有多種正規(guī)化的方法,這里,我們采取以下兩種方法.

3.1.1 衰減函數(shù)法

引入衰減函數(shù)f(n,x)=exp(-kn/Λ),這里,x=Λ-1＞ 0 .函數(shù)滿足:f(n,0)=1;f(n,x ／=0)→0,當(dāng) kn? Λ.因此有:

對(duì)于x≠0,(4)式給出正規(guī)化的有限大小真空能量.在正規(guī)化方法里,令x → 0,顯然首項(xiàng)發(fā)散,第二項(xiàng)是有限項(xiàng),而高階 O(x2)→0 .

如何處理發(fā)散的首項(xiàng)呢？需要減去標(biāo)量場(chǎng)的自由真空能,這是重整化操作(renormalization).下面計(jì)算自由真空能.

顯然積分發(fā)散,現(xiàn)引入衰減函數(shù)f(k,x)=exp(-xk)做正規(guī)化,這里 x ＞ 0.有

其中,Γ(x)是伽馬函數(shù).因此,在有限區(qū)間內(nèi)的自由真空能為

可發(fā)現(xiàn),該結(jié)果正等于受限真空能(4)式的首項(xiàng)發(fā)散項(xiàng).現(xiàn)在計(jì)算正規(guī)化卡西米爾能量:

取極限x → 0,得到卡西米爾能量:

計(jì)算卡西米爾力:

這是一個(gè)長(zhǎng)程吸引力.由該結(jié)果可以看出:

1)結(jié)果僅依賴于基本常數(shù) ?和c,以及約束間距a,與微觀細(xì)節(jié)無(wú)關(guān),因此卡西米爾力具有普適性;

2)由于普適性,標(biāo)度關(guān)系a-2可由量綱分析直接得到,因?yàn)?[ ? c]=E ·L,[ F ]=E/L,a是本問(wèn)題的唯一長(zhǎng)度尺度,故有 F ≈?c/a2;

3)常數(shù)項(xiàng)的大小和符號(hào),需要具體計(jì)算,這里的結(jié)果是常數(shù)項(xiàng)為負(fù),故為吸引力,我們指出,依賴于場(chǎng)的類型、邊界條件、空間維度等,卡西米爾力可為排斥或吸引,需要進(jìn)行具體的計(jì)算.

3.1.2 zeta 函數(shù)正規(guī)化

做正規(guī)化:

在正規(guī)化方法中取s → 0.利用解析延拓后黎曼 zeta函數(shù)的性質(zhì)有ζ(-1)=-1/12,得 到同(9)式通過(guò)衰減函數(shù)正規(guī)化方法得到的結(jié)果一致.可以說(shuō),zeta 函數(shù)(不限于黎曼 zeta 函數(shù))正規(guī)化是一種最優(yōu)雅的正規(guī)化方法[6].

3.2 三維空間電磁場(chǎng)

本節(jié)研究Casimir對(duì)于真空中受限電磁場(chǎng)的計(jì)算.不同于Casimir采用的Euler-Maclaurin方法,我們用zeta函數(shù)正規(guī)化方法迅速得到結(jié)果.

在量子場(chǎng)論中,電磁場(chǎng)表現(xiàn)為一組諧振子自由度,真空中充滿了這些漲落模式.在真空中放入兩個(gè)Casimir平板,板面積為A,板間距為a.板的存在將漲落模式修改為:其中,n=0,±1,±2,··· .注意,不同于標(biāo)量場(chǎng)的情況,這里n需要同時(shí)取正負(fù)整數(shù),這是為了考慮電磁場(chǎng)漲落(光子)的兩個(gè)極化自由度,同時(shí),模式(k⊥,0)可以被激發(fā),即允許n=0.

計(jì)算受限的真空能:

舍去與板間距a無(wú)關(guān)的項(xiàng),得到Casimir 能量:

顯然,(13)式發(fā)散.現(xiàn)在引入正規(guī)化因子s,推導(dǎo)正規(guī)化的Casimir能量如下:

在(14)式的推導(dǎo)中,應(yīng)用了黎曼zeta函數(shù)的級(jí)數(shù)定義,由級(jí)數(shù)定義的收斂性要求 R e(s)＞2 .并且在求無(wú)窮積分時(shí)假定了 R e(s)＞3/2 .

現(xiàn)在在正規(guī)化能量(14)式中取極限s→0,利用黎曼zeta函數(shù)的解析延拓,可得 ζ(-3)=1/120 .代入(14)式,得到單位面積的Casimir能量:

則Casimir力為

即(1)式.這樣就利用真空零點(diǎn)能推導(dǎo)出卡西米爾力,得到普適常數(shù)的數(shù)值.

4 臨界卡西米爾力

在連續(xù)相變的臨界點(diǎn),序參量漲落的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散,因此序參量場(chǎng)具有長(zhǎng)程關(guān)聯(lián),引入外加約束可以產(chǎn)生臨界卡西米爾力.1978年,Fisher和de Gennes考慮在兩元混合液體中引入兩個(gè)Casimir平板,即兩個(gè)平行的宏觀平板,調(diào)整參數(shù)至混合液體相分離的臨界點(diǎn),此時(shí)序參量(液體濃度)具有長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的臨界漲落,關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度ξ → ∞.由于兩板存在,漲落譜被修改,Fisher和de Gennes[7]認(rèn)為兩板間產(chǎn)生臨界卡西米爾力.

臨界卡西米爾力具有普適性,我們?cè)俅斡昧烤V分析研究該問(wèn)題.由于溫度的存在,取代能量,需要研究體系的自由能F(a).自由能是一個(gè)廣延量,因此與板面積A成比例.序參量漲落是熱漲落,因此特征能量是熱能kBT.由于關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度在臨界點(diǎn)發(fā)散,問(wèn)題里只剩一個(gè)長(zhǎng)度尺度,即板間距a.由量綱分析,立即可以寫出:

其中C是普適常數(shù).

上述論證還可以按照統(tǒng)計(jì)物理中的Blob方法估算得出: 本問(wèn)題的序參量漲落是熱漲落,因此可定義熱Blob,其能量為特征能量kBT;由于關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散,所以體系有唯一的特征尺寸a,故熱Blob的體積是a3;體系的Blob數(shù)目為g=(Aa)/a3=A/a2;體系的自由能為 F ≈gkBT=kBTA/a2.

和量子場(chǎng)論的情況一樣,普適常數(shù)C的數(shù)值需要通過(guò)具體的計(jì)算得出.一般來(lái)說(shuō),臨界卡西米爾力普適常數(shù)的計(jì)算比第3節(jié)中量子電動(dòng)力學(xué)卡西米爾力的計(jì)算要復(fù)雜,這是因?yàn)殡姶爬碚撌且粋€(gè)線性理論,而這里的相變問(wèn)題則是一個(gè)非線性的場(chǎng)論.計(jì)算過(guò)程需要使用臨界現(xiàn)象理論里發(fā)展出的d=4 — ε展開(kāi)等技術(shù).在兩維體系,由于體系在臨界點(diǎn)不僅具有標(biāo)度不變性,并且進(jìn)而有共形不變性,因此可以用共形場(chǎng)論的方法計(jì)算普適常數(shù).另外我們指出,依賴于兩板上施加的邊界條件類型,臨界卡西米爾力可以是吸引或排斥力,即普適常數(shù)C可正可負(fù)[8].

5 戈德斯通模

由戈德斯通定理可知,體系在破缺連續(xù)對(duì)稱性時(shí),將產(chǎn)生戈德斯通粒子(Goldstone particle)或戈德斯通模(Goldstone mode),這是一種零質(zhì)量的模式,因此是長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的.擾動(dòng)戈德斯通模也會(huì)產(chǎn)生卡西米爾力.

統(tǒng)計(jì)力學(xué)里,戈德斯通模通常采用具有O(n)對(duì)稱的n-矢量模型進(jìn)行展示.體系的序參量:ψ=(ψ1,ψ2,···,ψn).體系的哈密爾頓量對(duì)于序參量具有連續(xù)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.經(jīng)歷相變后,體系發(fā)生自發(fā)對(duì)稱破缺,即序參量破缺哈密爾頓量的連續(xù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱,在n-矢量空間中自發(fā)選出一個(gè)方向排列,體系進(jìn)入有序態(tài).序參量的漲落模被分成1個(gè)平行于有序方向的縱向模式(軟模)和(n-1)個(gè)垂直于有序方向的橫向模式(戈德斯通模).由于戈德斯通模不需要耗能,因此是長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的漲落.需要指出,縱向的軟模導(dǎo)致了體系的有序,其只在臨界點(diǎn)質(zhì)量為零,軟模漲落導(dǎo)致的正是前面討論的臨界卡西米爾力.然而,不限于臨界點(diǎn),零質(zhì)量的戈德斯通模存在于整個(gè)臨界點(diǎn)以下.

下面以幾個(gè)軟物質(zhì)物理中的例子來(lái)說(shuō)明戈德斯通模誘導(dǎo)產(chǎn)生的卡西米爾力.1)液晶.液晶體系通常由棒狀分子組成,這一分子特點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中引入了取向自由度,即可以研究體系的連續(xù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.如上所述,這就為問(wèn)題提供了戈德斯通模,進(jìn)而戈德斯通?？梢哉T導(dǎo)產(chǎn)生卡西米爾力.2)薄膜或界面.由于薄膜或界面平面具有連續(xù)平移對(duì)稱性,因此破缺該對(duì)稱性會(huì)導(dǎo)致戈德斯通模,這里就是聲子(phonon),聲子導(dǎo)致薄膜或界面的毛細(xì)漲落(capillary fluctuations).在薄膜或界面上引入外界約束物,將修改體系的漲落譜,因而可以誘導(dǎo)產(chǎn)生卡西米爾力.3)聚合物.聚合物統(tǒng)計(jì)力學(xué)里的一個(gè)重要結(jié)果是de Gennes認(rèn)識(shí)到聚合物的排除體積問(wèn)題(對(duì)應(yīng)于自回避無(wú)規(guī)行走)可以用自旋n-矢量模型的n → 0極限描述[9].如上所述,n-矢量模型有(n-1)個(gè)戈德斯通模,若考慮在聚合物熔體中引入兩個(gè)Casimir平板,計(jì)算戈德斯通模誘導(dǎo)的卡西米爾力:

因此,聚合物漲落背景誘導(dǎo)的卡西米爾力與一般的卡西米爾力反號(hào),如果一般的卡西米爾力是吸引力,則聚合物誘導(dǎo)卡西米爾力是排斥力[10,11].

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

自量子電動(dòng)力學(xué)的卡西米爾力在1948年提出后,引發(fā)了一系列的實(shí)驗(yàn)工作來(lái)驗(yàn)證卡西米爾力.先計(jì)算一下卡西米爾力的大小,由(1)式可寫出: P≈—1.3×10—5atm×(1 μm/a)4(1 atm=101.325 kPa).因此,當(dāng)板間距a=1 μm時(shí),卡西米爾力大約為1.3 mPa,這已經(jīng)是一個(gè)宏觀的數(shù)值了.減小板間距離至微米以下,卡西米爾力以a—4方式增大.

經(jīng)過(guò)這個(gè)估算,實(shí)驗(yàn)上應(yīng)該在微米尺度測(cè)量卡西米爾力.早期有一些定性的探測(cè)卡西米爾力的實(shí)驗(yàn)工作[12]和一些高精度的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[13,14].此后,由于卡西米爾力在微米尺度是不能忽視的作用力,因此出現(xiàn)了應(yīng)用卡西米爾力的工作,主要是在微米尺度的一些金屬機(jī)器的制造上,稱為微米電力系統(tǒng)(microelectromechanical systems,MEMS)[15-17],這些微米尺度機(jī)器的應(yīng)用研究導(dǎo)致的兩個(gè)重要的問(wèn)題是: 1)由于卡西米爾力是吸引力,器件將被粘附在一起而無(wú)法正常工作,那么,如何實(shí)現(xiàn)卡西米爾排斥力;2)由于器件有不同的形狀,那么,如何計(jì)算超越Casimir平板的不同形狀器件之間的力.

臨界卡西米爾力的重要驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)包括研究液氦薄膜在經(jīng)歷超流相變時(shí)膜厚的變薄過(guò)程[18]和研究在兩元混合液體臨界點(diǎn)附近膠體與表面的相互作用[19].超流實(shí)驗(yàn)有意思的地方在于臨界卡西米爾力和戈德斯通卡西米爾力將一起影響膜厚.在超流相變臨界點(diǎn)(Tλ)附近,序參量漲落變成零質(zhì)量的臨界漲落,該漲落在液氦薄膜的兩個(gè)表面(固體銅片表面和液氣界面)之間誘導(dǎo)臨界卡西米爾吸引力,導(dǎo)致膜厚降低.在臨界點(diǎn)Tλ以下,臨界漲落消失,膜厚回升.可是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),膜厚沒(méi)有回到臨界點(diǎn)以上的數(shù)值,而是相對(duì)偏小,原因有兩個(gè): 1)超流相變的序參量(位相角)漲落導(dǎo)致戈德斯通模,戈德斯通模誘導(dǎo)的卡西米爾吸引力使Tλ以下膜厚較臨界點(diǎn)以上偏小;2)薄膜的下表面是氦的液氣界面,在超流態(tài),黏度為零,界面漲落的戈德斯通模(毛細(xì)漲落)誘導(dǎo)產(chǎn)生兩表面間的卡西米爾吸引力,進(jìn)一步減小膜厚.兩種因素的聯(lián)合作用解釋了實(shí)驗(yàn)的觀察結(jié)果[1].

7 一些發(fā)展

在卡西米爾力的處理中,有一些重要的假定.1)將外加約束與漲落介質(zhì)的相互作用以施加的邊界條件處理.這種處理是基于體系中時(shí)間尺度的分離,即外界約束運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于介質(zhì)漲落的特征時(shí)間.該處理本質(zhì)上是在一個(gè)介質(zhì)和約束的體系中,將約束的運(yùn)動(dòng)作為慢變量而固定,得到一個(gè)關(guān)于漲落介質(zhì)的有效模型,而約束慢變量則影響介質(zhì)的漲落譜.顯然,這種處理中,只有約束對(duì)于介質(zhì)的作用,而沒(méi)有介質(zhì)對(duì)于約束的反作用.2)在Casimir平板的邊界條件中,平板無(wú)窮薄,因此沒(méi)有考慮介質(zhì)的穿透效應(yīng).

在卡西米爾力理論的發(fā)展中,針對(duì)不同的假定有后續(xù)的發(fā)展.Lifshitz[20]和Woods等[21]發(fā)展了Lifshitz理論,該理論將卡西米爾力推廣到實(shí)際材料體系,利用漲落耗散定理推導(dǎo)了麥克斯韋能動(dòng)量張量,從而得出不同溫度下兩個(gè)平行的介電材料之間的相互作用力.Schwinger[22]利用自己的量子場(chǎng)論non operator版本,即源理論(source theory),重新推導(dǎo)了卡西米爾力,在該推導(dǎo)中沒(méi)有出現(xiàn)真空的零點(diǎn)能.隨著理論物理的發(fā)展,人們認(rèn)識(shí)到產(chǎn)生卡西米爾力的約束,可以是來(lái)自外加邊界條件,也可以是在溫度場(chǎng)論中通過(guò)松原理論(Matsubara formulation)將溫度引入場(chǎng)論時(shí)帶來(lái)的周期性條件約束.在宇宙學(xué)中,還可以是在處理非歐空間(non Euclidean)時(shí)由無(wú)邊界空間的拓?fù)湫再|(zhì)(topology)引入的“Identification”約束等.另一方面,在長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)漲落介質(zhì)的尋找上,人們發(fā)現(xiàn)在非平衡統(tǒng)計(jì)體系里,動(dòng)力學(xué)守恒率可以使非平衡體系產(chǎn)生冪率衰減的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)行為,這使得非平衡體系,包括顆粒體系、活性物質(zhì)等,成為另一個(gè)研究卡西米爾力的重要情形[23],需要指出,與平衡體系相比,非平衡體系的卡西米爾力不具有普適性.這些進(jìn)展都是卡西米爾物理發(fā)展的精彩篇章.

8 結(jié)論和展望

本文討論了廣義的卡西米爾力.通過(guò)考察具有長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的不同漲落介質(zhì),包括電磁場(chǎng)、臨界場(chǎng)論、戈德斯通模,以及非平衡體系,可以看出,卡西米爾物理涵蓋了物理學(xué)里寬泛的研究方向.在未來(lái)卡西米爾力的研究中,從基礎(chǔ)物理的角度,通過(guò)研究約束的不同實(shí)現(xiàn)和處理方法,以及研究不同種類的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)漲落場(chǎng)的產(chǎn)生,卡西米爾力將會(huì)有一個(gè)更為寬廣的研究方向,并有希望通過(guò)卡西米爾力的概念,在不同的研究題目和方向之間建立聯(lián)系.從應(yīng)用的角度,量子電動(dòng)力學(xué)里的卡西米爾力是量子效應(yīng)的宏觀反映,在微米以下器件的設(shè)計(jì)中,必須考慮卡西米爾力,并通過(guò)對(duì)其進(jìn)行調(diào)控實(shí)現(xiàn)不同的應(yīng)用功能,而臨界、戈德斯通、非平衡等熱卡西米爾力也可以用來(lái)調(diào)控統(tǒng)計(jì)體系中結(jié)構(gòu)和序的形成.