文王曉華

方程與不等式是初中代數(shù)的核心知識，在復(fù)習(xí)時我們不僅要明確相關(guān)概念，掌握求解方法，而且還要學(xué)會利用方程與不等式解決實(shí)際問題。其中，方程是用來表示數(shù)量間的相等關(guān)系；不等式是用來表示數(shù)量間的不等關(guān)系。解題時，同學(xué)們要學(xué)會把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，通過建立相應(yīng)的方程或不等式模型加以解決。

一、二元一次方程（組）的應(yīng)用

例1 （2019·山東煙臺）亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作。某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位。

（1）計(jì)劃調(diào)配36 座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？

（2）若同時調(diào)配36 座和22 座兩種車型，既保證每人有座，又保證每輛車不空座，則兩種車型各需多少輛？

解：（1）設(shè)該大學(xué)共有y名志愿者，計(jì)劃調(diào)配36 座新能源客車x輛，則需調(diào)配22座新能源客車（x+4）輛，

答：計(jì)劃調(diào)配36 座新能源客車6 輛，該大學(xué)共有218名志愿者。

（2）設(shè)需調(diào)配36 座客車m輛，22 座客車n輛，依題意，得：36m+22n=218，

又∵m，n均為正整數(shù)，∴

答：需 調(diào) 配36 座 客 車3 輛，22 座 客車5輛。

四是為到國外，特別是為到美國留學(xué)、旅游或探親的中國人提了一個醒。各國各地都有當(dāng)?shù)氐姆煞ㄒ?guī)，人們應(yīng)該入鄉(xiāng)隨俗，無論是中國旅客，合法居留在當(dāng)?shù)氐娜A僑，還是已經(jīng)入籍的華人，都應(yīng)該遵守。由于國情、制度、風(fēng)俗不一樣，在這一個國家合理、合紀(jì)、合法的事情，到另一個國家就不見得合理、合紀(jì)、合法。例如，在中國，小孩坐轎車并不強(qiáng)制要坐安全椅，然后系上安全帶。但在美國如果不坐，不系安全帶，就肯定違法。在韓國吃狗肉既不違法，也不違背風(fēng)俗習(xí)慣；但在國外其他許多國家，如果吃狗肉，就肯定違犯當(dāng)?shù)亟桑踔练阜ā?/p>

【點(diǎn)評】列方程解應(yīng)用題時要抓住關(guān)鍵詞，找出已知量、未知量之間的相等關(guān)系。當(dāng)涉及的量比較多，關(guān)系比較復(fù)雜時，我們也可以通過列表、畫圖的方式理清關(guān)系。而對于一個二元一次方程，通常有無數(shù)個解，但其正整數(shù)解往往是有限的，所以有些方案設(shè)計(jì)題就利用二元一次方程整數(shù)解的有限性求解。

二、一元二次方程的應(yīng)用

例2 （2019·江蘇徐州）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm。在其四角各剪去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2？

解：設(shè)剪去正方形的邊長為xcm，則做成無蓋長方體盒子的底面長為（30-2x）cm，寬為（20-2x）cm，高為xcm，依題意，得：2×［（30-2x）x+（20-2x）x］=200，

整理，得：2x2-25x+50=0，解得：x1=2.5，x2=10。當(dāng)x=10 時，20-2x=0，不 合 題意，舍去。

答：當(dāng)剪去正方形的邊長為2.5cm 時，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2。

【點(diǎn)評】用方程解決幾何問題時，我們要學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析。在找準(zhǔn)等量關(guān)系的前提下，列出一元二次方程并求解。另外對于得到的兩個解，不要忘了根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍。

三、方程與不等式的綜合應(yīng)用

例3 （2019·四川瀘州）某出租汽車公司計(jì)劃購買A型和B型兩種節(jié)能汽車：若購買A型汽車4 輛，B型汽車7 輛，共需310 萬元；若購買A型汽車10 輛，B型汽車15輛，共需700萬元。

（2）該公司計(jì)劃購買A型和B型兩種汽車共10輛，費(fèi)用不超過285萬元，且A型汽車的數(shù)量少于B型汽車的數(shù)量，請你給出最節(jié)約的方案，并求出該方案所需費(fèi)用。

解：（1）設(shè)A型汽車每輛的進(jìn)價為x萬元，B型汽車每輛的進(jìn)價為y萬元，

答：A型汽車每輛的進(jìn)價為25 萬元，B型汽車每輛的進(jìn)價為30萬元。

（2）設(shè)購進(jìn)A型汽車m輛，購進(jìn)B型汽車（10-m）輛，根據(jù)題意得：

解得：3≤m＜5。

∵m是整數(shù)，∴m=3或4。

當(dāng)m=3 時，該方案所用費(fèi)用為：25×3+30×7=285（萬元）；

當(dāng)m=4 時，該方案所用費(fèi)用為：25×4+30×6=280（萬元）。

答：最節(jié)約的方案是購買A型汽車4輛，B型汽車6 輛，該方案所需費(fèi)用為280萬元。

【點(diǎn)評】審題時要抓住“超過”“不足”“大于”“不少于”等關(guān)鍵詞，列出不等式（組）。此題根據(jù)不等式組的整數(shù)解得出相應(yīng)的方案。在研究最省方案時，可以分別把各個方案對應(yīng)的費(fèi)用算出，再比較。但是如果遇到方案較多的情況，建議用函數(shù)的增減性加以說明。