王國學(xué) 黃 浩

(廣東省深圳市光明中學(xué)，518107)

核心素養(yǎng)是學(xué)生最為重要的素質(zhì)和學(xué)習(xí)品質(zhì).在當(dāng)前要求發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大背景下，教師應(yīng)從教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界等方面入手，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).本文將以“基本不等式(第一課時(shí))”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例,探索主要教學(xué)過程如下:

一、動(dòng)手操作,幾何引入——用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

圖1是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的,該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明,體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的.

探究1在這張“弦圖”中，能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?

由圖2可知，S2>S1,即a2+b2>2ab.

設(shè)計(jì)意圖由弦圖引入重要不等式,可以培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象”.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.這樣的設(shè)計(jì)注重利用圖形分析、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,從而讓學(xué)生打開解題思路.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

探究2①a,b取一些特殊值進(jìn)行探路:

ababa+b2ab與a+b2的大小關(guān)系121814516<1411258<164810<2222=32323232=…………

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生以特例探路，猜想結(jié)論.這種將數(shù)學(xué)的文本形式轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)家最初思維的過程，通過暴露數(shù)學(xué)家艱難探索、推理過程的方式，既讓學(xué)生了解到知識的來龍去脈，感悟到數(shù)學(xué)的魅力所在，又能誘發(fā)學(xué)生深入思考問題，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)、研究的方法——從特殊到一般是科學(xué)探求未知的有效手段.

二、嚴(yán)格證明,得出結(jié)論——用數(shù)學(xué)的思維思考世界

在前面探究的基礎(chǔ)上，教師使用幾何畫板,通過展示圖形動(dòng)畫,使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件,從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論:

(1)若a,b∈R+，則a2+b2≥2ab;

1.代數(shù)證明,體會(huì)本質(zhì)

證法1(作差法):

∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,

∴a2+b2≥2ab,當(dāng)a=b時(shí)取等號.

(在該過程中，可發(fā)現(xiàn)a,b的取值可以是全體實(shí)數(shù))

2.幾何證明,相得益彰

當(dāng)且僅當(dāng)C與圓心O重合時(shí)，即a=b時(shí)等號成立.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用作差法和分析法，給出這兩個(gè)不等式的證明，最后用圓中半徑和半弦的關(guān)系，闡明基本不等式的幾何意義.這樣讓學(xué)生知其然，而又知其所以然，落實(shí)到數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升了學(xué)生的抽象思維能力.在教學(xué)過程中，教師并不是將基本不等式等號成立的條件強(qiáng)加給學(xué)生，而是通過幾何畫板的演示，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).在得到基本不等式之后，又引導(dǎo)學(xué)生給出了嚴(yán)格的證明，使學(xué)生懂得一個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，要能被廣泛地應(yīng)用，就必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，這正是數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性的體現(xiàn).而通過圓給出基本不等式的幾何意義，則是教師深入挖掘教材當(dāng)中隱含的數(shù)學(xué)思想，并把挖掘出的數(shù)學(xué)思想，滲透到相應(yīng)的內(nèi)容之中，讓學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)知識、有效地提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在引導(dǎo)學(xué)生探究基本不等式證明的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師一步步地引導(dǎo)，一層層地揭示，讓學(xué)生體會(huì)到基本不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的的思維去思考問題.

三、應(yīng)用舉例,鞏固提高——用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

例(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短？最短的籬笆是多少?

(2)一段長為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬為多少時(shí),菜園的面積最大？最大面積是多少?

(通過講解,總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征，實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化)

對于x,y∈R+,

(鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)后,同組交流反思)

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.這樣設(shè)計(jì)能讓學(xué)生進(jìn)一步了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識的實(shí)際意義和作用，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本過程，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用意識，提高對數(shù)據(jù)的觀察、分析、處理及從中獲取有益信息的能力.學(xué)生既能將所學(xué)知識運(yùn)用于生活實(shí)際，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，又能在交流中總結(jié)反思自己對公式理解的不足之處，最終形成對公式應(yīng)用的口訣:“一正、二定、三相等”.這樣的反思總結(jié)不僅能加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解，也有助于對公式的活學(xué)活用，更能提升學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

總而言之,數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)也是制定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù):會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，就需要我們這些一線數(shù)學(xué)教師們能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的問題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，與他人交流，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).