王娟霞

勾股定理是人類(lèi)最早發(fā)現(xiàn)、最基本的、應(yīng)用最廣泛的一個(gè)定理，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。古代科學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派證明了勾股定理，為紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘根據(jù)勾股定理設(shè)計(jì)并發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。勾股定理是每年中考命題的必選內(nèi)容，命題形式千變?nèi)f化?，F(xiàn)舉幾例，供同學(xué)們賞析。

一、幾何問(wèn)題

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）若BC=12，AC=9，求AB的長(zhǎng);

（2）若AC+AB=8，BC=4，求AC、AB的長(zhǎng);

（3）在（2）的條件下AD=13， BD=12 ，求四邊形ACBD的面積。

【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理直接求出AB=15;

（2）根據(jù)條件設(shè)AC=x，則AB=8-x，利用勾股定理列方程4²+x²=（8-x）²，解得x=3，故AC=3，AB=5;

（3）由勾股定理的逆定理可知，△ABD是直角三角形，分別算出兩直角三角形的面積，從而得四邊形ACED的面積為36。

【小結(jié)】直角三角形中利用勾股定理，已知任兩邊就能求第三邊，已知一邊和另兩邊的關(guān)系也能求出各邊長(zhǎng)。

二、航海問(wèn)題

例2 已知如圖2，一輪船以12海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以9海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口1小時(shí)后，則兩船相距（）。

A.25海里 B.20海里

C.10海里 D.15海里

【解析】根據(jù)s=vt，算出AB=12，AC=9，連接BC，根據(jù)勾股定理求出BC。故選D。

【思考】離開(kāi)港口3h后，兩船相距多少海里？（提示：三邊同時(shí)擴(kuò)大3倍。）

【小結(jié)】本題涉及方位角，同學(xué)們要能把實(shí)際問(wèn)題中的角度轉(zhuǎn)化到圖形中，利用勾股定理求解。

三、“最短”問(wèn)題

例3 如圖3，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

【解析】應(yīng)走7米路，實(shí)際走了5米（由勾股定理得），少走了2米，故僅僅少走了4步。

例4 編制一個(gè)底面周長(zhǎng)為a、高為b的圓柱形花架，需用沿圓柱側(cè)面繞織一周的竹條若干根，如圖4中的A₁C₂B₁，A₂C₁B₂，則每一根這樣的竹條的長(zhǎng)度最少是_____。

【解析】在求解幾何體表面兩點(diǎn)間最短距離的問(wèn)題時(shí)，通常是將幾何體表面雇開(kāi)，然后求展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間的距離，但在展開(kāi)過(guò)程中一定要弄清所要求的是哪兩點(diǎn)之間的距離，以及這兩點(diǎn)在展開(kāi)圖中相應(yīng)的位置。

由于竹條需要沿圓柱側(cè)面繞織一周，所以可以把圓柱側(cè)面沿棱A₁B₁展開(kāi)，得到一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a和b的矩形，如圖5所示，對(duì)角線A₁B'₁的長(zhǎng)度就是竹條的最短長(zhǎng)度。在Rt△A₁A'₁B'₁中，由勾股定理

【小結(jié)】求解幾何問(wèn)題時(shí)，我們通常將方體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。涉及最值問(wèn)題時(shí)，一般依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”構(gòu)造直角三角形解決。

四、折竹問(wèn)題

例5 在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面1米，一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，問(wèn)這里水深多少？

【解析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，如圖6。

設(shè)水深BC為x米，BD=AB=x+1，依據(jù)勾股定理列方程，2²+x²=（x+1）²，解得x=1.5。故水深為1.5米。

【小結(jié)】首先要讀懂題意，畫(huà)出相應(yīng)圖形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)勾股定理建立方程，從而解決問(wèn)題。

五、折疊問(wèn)題

1.三角形中的折疊。

例6 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，折疊△ABC使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AD，求AD的長(zhǎng)。

【解析】設(shè)AD=x，由折疊可知：AD=BD=x，則CD=3-x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，1²+（3-x）²=x²，解得x=5/3·故AD=5/3。

2.四邊形中的折疊。

例7 如圖8，折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，若AB=8，AD=10。求EC的長(zhǎng)。

【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理，先求出BF=6，設(shè)EC=x，在Rt△CEF中根據(jù)勾股定理列方程，求出EC=3。

例8 如圖9，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD，BE、BC于點(diǎn)P、O、Q，連接BP、EQ。

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形;

（2）若AB=6，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，OF+OB=9，求PQ的長(zhǎng)。

【解析】（l）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明QB=QE;由“ASA”證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形;最后根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論。（2）由題意可知OF是△ABE的中位線，則AE=2OF，又BE=2OB，∴AE+BE=2（OF+OB）=18，依據(jù)勾股定理建立方程，先求PE，再根據(jù)菱形面積的兩種求法就能得到PQ=7.5。（注：也可以根據(jù)勾股定理先求出PO，再求出PQ。）

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)段玉裁中學(xué)）