楊易 強(qiáng)光林 彭旭

摘? ?要：活塞風(fēng)是真空管道運(yùn)輸內(nèi)流場(chǎng)的主要?dú)鈩?dòng)特征，掌握活塞風(fēng)的基本特征和變化規(guī)律，是合理有效控制管道流場(chǎng)的基礎(chǔ).文中采用計(jì)算流體力學(xué)方法，結(jié)合動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，分析、探討了活塞風(fēng)的產(chǎn)生機(jī)理，氣動(dòng)特性和真空度、阻塞比、行車(chē)速度等作用條件對(duì)活塞風(fēng)的影響.研究發(fā)現(xiàn)管道中的空氣在車(chē)輛行駛過(guò)程中會(huì)被壓縮、膨脹，產(chǎn)生壓縮波和膨脹波并對(duì)車(chē)輛的行車(chē)阻力產(chǎn)生影響;通過(guò)不同真空度、阻塞比和行車(chē)速度的系列組合計(jì)算，發(fā)現(xiàn)車(chē)輛的行車(chē)阻力會(huì)隨著阻塞比的增大、壓強(qiáng)的上升、速度的提高而變大，當(dāng)速度提高到一個(gè)閾值時(shí)，車(chē)輛行車(chē)阻力的上升開(kāi)始變緩.

關(guān)鍵詞：真空管道運(yùn)輸;活塞風(fēng);計(jì)算流體力學(xué);機(jī)理

中圖分類(lèi)號(hào)：U171?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： Piston wind is the main aerodynamic characteristics of the flow field in the evacuated tube，and thus grasping the basic characteristics and variation rules of the piston wind is the basis of a reasonable and effective control of the flow field of the tube. In this paper， the influences of piston air generation mechanism，aerodynamic characteristics and degrees of vacuum，blockage ratios， driving speeds and other conditions on the piston wind were analyzed and discussed by using the methods of computational fluid dynamics and dynamic meshing. This study finds that air in the pipeline is compressed and inflated during the running of the vehicle， producing compression and expansion waves and affecting the vehicle's driving resistance;Through a comprehensive analysis on a series of combined calculations for different degrees of vacuum，blockage ratios and driving speeds，it is found that the vehicle's driving resistance increases with the growth of the blocking ratio，pressure， and speed. Further，when the speed increases to a threshold， the increase of the vehicles driving resistance begins to slow down.

Key words：evacuated tube transportation;piston wind;computational fluid dynamics，mechanism

空氣阻力是限制地面高速交通運(yùn)行速度的決定性制約因素[1].由于氣動(dòng)阻力與運(yùn)行速度的二次方成正比[2]，在地表稠密大氣層中運(yùn)行的高速交通工具很難突破高速的極限及高速帶來(lái)噪音的影響.真空管道高速交通系統(tǒng)將運(yùn)動(dòng)載體放在抽成低氣壓的密閉管道里運(yùn)行，其所處的介質(zhì)發(fā)生變化，由此可以實(shí)現(xiàn)跨音速運(yùn)行.作為一種新型的交通運(yùn)輸模式，真空管道高速交通系統(tǒng)與現(xiàn)有交通模式相比，具有高速度、低能耗、環(huán)保性好、安全性能高等優(yōu)點(diǎn)[3]，將來(lái)在交通運(yùn)輸事業(yè)發(fā)展中必將發(fā)揮巨大作用.

活塞風(fēng)是真空管道內(nèi)流場(chǎng)的主要特征，對(duì)管道內(nèi)車(chē)輛繞流產(chǎn)生深刻的影響[4]. 掌握活塞風(fēng)的基本

特征和確定活塞風(fēng)的變化規(guī)律，是合理有效控制管道流場(chǎng)的基礎(chǔ).國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隧道和地鐵活塞風(fēng)均做了相關(guān)研究工作，但是圍繞真空管道交通系統(tǒng)活塞風(fēng)的研究還缺乏針對(duì)性和系統(tǒng)性.本文基于計(jì)算流體力學(xué)方法，采用移動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)對(duì)真空管道活塞風(fēng)的氣動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，研究不同真空度、阻塞比、行車(chē)速度等作用條件對(duì)活塞風(fēng)的影響，為真空管道交通系統(tǒng)工程應(yīng)用提供參考.

1? ?模型與方法

1.1? ?模型的建立與參數(shù)

本文真空管道車(chē)輛模型與設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)自美國(guó)SpaceX公司發(fā)布的Hyperloop白皮書(shū)，如圖1所示，車(chē)輛的長(zhǎng)度為30 m，高度為1.336 m，車(chē)頭和車(chē)尾的長(zhǎng)度由設(shè)計(jì)造型確定.為了在仿真計(jì)算過(guò)程中有效地減弱壓力波的反射作用，管道的長(zhǎng)度要足夠長(zhǎng)，車(chē)身后邊界與真空管入口的距離為600 m，車(chē)身前邊界到真空管出口的距離為1 470 m，圓形管道的總長(zhǎng)為2 100 m，直徑為2.3 m.管道內(nèi)的壓力變化為100? ～

2 000 Pa.車(chē)輛從靜止加速到140 m/s后保持勻速運(yùn)行，再加速到240 m/s保持勻速運(yùn)行，最后加速到340 m/s保持高速行駛.

1.2? ?基本假設(shè)

1）根據(jù)車(chē)輛的設(shè)計(jì)速度，管道中流場(chǎng)的雷諾數(shù)大于105，因此認(rèn)為流體是湍流[5]. 文中流場(chǎng)仿真使用 k-ω SST湍流模型.

2）當(dāng)馬赫數(shù)（Ma）> 0.3時(shí)，管道內(nèi)的流體一般假定是可壓縮的[6].文中車(chē)輛行駛的速度大于0.3 Ma，因此認(rèn)為管道中流體是可壓縮的.

3）管道內(nèi)的溫度為293 K，并保持恒定.

4）選擇車(chē)輛最大縱截面作為計(jì)算平面[7]，并且假定車(chē)身完全光滑，沒(méi)有間隙或表面缺陷.

5）由于Hyperloop管道車(chē)輛采用氣懸浮或磁懸浮形式，機(jī)械摩擦可以忽略不計(jì)，因此文中僅考慮氣動(dòng)阻力[8].

1.3? ?計(jì)算網(wǎng)格與條件設(shè)置

1.3.1? ?動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)

為了模擬車(chē)輛在管道內(nèi)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況，使計(jì)算得到的結(jié)果能夠準(zhǔn)確地反映物理現(xiàn)象，本文使用了動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)[9].由于計(jì)算網(wǎng)格為三角形網(wǎng)格，采用擴(kuò)散光順與局部重構(gòu)相結(jié)合的方法.

1.3.2? ?網(wǎng)格的劃分

由于管道的直徑很小，故車(chē)身外表面附近的網(wǎng)格尺寸也很小，但車(chē)輛運(yùn)動(dòng)速度很快，車(chē)身邊界會(huì)進(jìn)行大尺度運(yùn)動(dòng). 為避免網(wǎng)格的畸變率過(guò)大，出現(xiàn)負(fù)體積，通常采用的方法是將時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置得很小，但會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率低下，耗費(fèi)計(jì)算資源與時(shí)間[10]. 為解決這一問(wèn)題，本文采用了域盒動(dòng)網(wǎng)格策略，如圖2和圖3所示，在車(chē)身周?chē)⒁粋€(gè)封閉的矩形邊界域盒，對(duì)域盒內(nèi)外的區(qū)域分別進(jìn)行網(wǎng)格劃分. 在計(jì)算時(shí)，域盒內(nèi)部的網(wǎng)格隨著車(chē)身一起運(yùn)動(dòng)，因此域盒內(nèi)部的網(wǎng)格不再進(jìn)行重構(gòu)，只有域盒外部的網(wǎng)格發(fā)生更新與變形.這樣就避免了小尺寸網(wǎng)格更新給計(jì)算帶來(lái)的限制.

1.3.3? ?邊界條件設(shè)置

管道入口的邊界條件設(shè)置為“壓力入口”，管道出口的邊界條件設(shè)置為“壓力出口”.管道車(chē)輛表面和管道內(nèi)壁設(shè)定為固定的無(wú)滑移界面.

2? ?活塞風(fēng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與氣動(dòng)特性

2.1? ?活塞風(fēng)的形成

在管道中運(yùn)行的車(chē)輛，可看作是做縱向運(yùn)動(dòng)的具有一定長(zhǎng)度和阻塞比的活塞.在運(yùn)行的過(guò)程中，車(chē)身與周?chē)諝馔ㄟ^(guò)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)和力的作用關(guān)系，完成了兩者之間的能量轉(zhuǎn)換.空氣獲得能量的表現(xiàn)即為車(chē)輛的增壓效應(yīng)，在車(chē)輛的增壓效應(yīng)下，管道中會(huì)形成縱向氣流，即活塞風(fēng).對(duì)管道中活塞風(fēng)的研究，便于對(duì)車(chē)輛在管道中的運(yùn)行情況有更深入的了解.

2.2? ?活塞風(fēng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

為了觀察車(chē)身周?chē)钊L(fēng)的運(yùn)動(dòng)情況，在管道車(chē)頭的前上方設(shè)立固定測(cè)點(diǎn)，測(cè)點(diǎn)位置如圖4所示.在管道氣壓為1 000 Pa時(shí)，讓車(chē)輛從靜止加速到140 m/s.從圖5可以看到測(cè)點(diǎn)處的氣流運(yùn)動(dòng)方向的波動(dòng).波動(dòng)原因是車(chē)輛在管道里起動(dòng)加速時(shí)，車(chē)身和管道壁面限制了空氣的縱向流動(dòng)和上下流動(dòng)，從而使車(chē)頭前方的空氣受到壓縮而隨車(chē)輛向前移動(dòng)，氣流運(yùn)動(dòng)方向是向前的. 當(dāng)車(chē)輛運(yùn)行到測(cè)點(diǎn)正下方時(shí)，由于車(chē)輛頭部空氣的擠壓，上方的空氣被擠進(jìn)車(chē)身與管道之間的環(huán)隙，克服車(chē)身與管道壁面的摩擦阻力向后運(yùn)動(dòng)，此時(shí)測(cè)點(diǎn)處的氣流是向后運(yùn)動(dòng)的.當(dāng)車(chē)輛運(yùn)行到測(cè)點(diǎn)前方時(shí)，在車(chē)尾部會(huì)形成負(fù)壓區(qū)域，測(cè)點(diǎn)氣流方向會(huì)隨著車(chē)輛運(yùn)動(dòng)從后向到前向轉(zhuǎn)變.

2.3? ?活塞風(fēng)的氣動(dòng)特性

2.3.1? ?壓縮波與膨脹波

當(dāng)管道車(chē)輛運(yùn)動(dòng)時(shí)，如同一個(gè)活塞在打氣筒中運(yùn)動(dòng)一樣，活塞前方空氣被壓縮，后方空氣膨脹，會(huì)在車(chē)頭和車(chē)尾分別形成壓縮波和膨脹波.它們會(huì)沿車(chē)輛運(yùn)行方向傳播，但管道是無(wú)限長(zhǎng)的，兩個(gè)方向上的波都不會(huì)發(fā)生反射.圖8說(shuō)明了隨著車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)，車(chē)輛前后分別形成壓縮波和膨脹波的情況. 圖9所示為車(chē)輛在運(yùn)行了0.5 s、1 s時(shí)，管道內(nèi)的空氣溫度分布圖.從圖中可以看出，隨著壓縮波不斷向前傳播，空氣溫度也逐漸升高，最高溫度達(dá)到360 K.由于溫度升高，流場(chǎng)內(nèi)的音速u(mài)也會(huì)增加，音速隨溫度增加的公式為：

將壓縮波所處流場(chǎng)溫度代入音速公式，可知壓縮波傳播速度大約為371 m/s.

為了觀察啟動(dòng)時(shí)車(chē)尾膨脹波對(duì)車(chē)輛氣動(dòng)阻力的影響，圖10對(duì)膨脹波傳播與車(chē)輛氣動(dòng)阻力的變化進(jìn)行了對(duì)比.車(chē)輛啟動(dòng)后向后傳播的膨脹波在管道入口處產(chǎn)生了反射，在與車(chē)輛相遇后對(duì)氣動(dòng)阻力造成了影響，在5.5 s時(shí)，后方反射回來(lái)的壓縮波與車(chē)尾相遇，使車(chē)尾的正阻力降低.雖然有空氣從車(chē)頭通過(guò)環(huán)隙來(lái)到了車(chē)尾，但是由于管道直徑小導(dǎo)致環(huán)隙也很小，車(chē)頭產(chǎn)生的壓縮波對(duì)車(chē)尾影響不大，車(chē)尾產(chǎn)生的膨脹波對(duì)車(chē)頭施加的影響也很小，故在圖9和圖10中，省略了車(chē)尾產(chǎn)生的膨脹波向車(chē)頭傳播與車(chē)頭產(chǎn)生的壓縮波向車(chē)尾傳播的曲線.

2.3.2? ?環(huán)隙流場(chǎng)的空氣流動(dòng)

除了車(chē)身前后的壓縮波與膨脹波，環(huán)隙空間的氣流流動(dòng)情況也與車(chē)輛的氣動(dòng)特性緊密相關(guān)[11].環(huán)隙的氣流流動(dòng)受到運(yùn)動(dòng)的車(chē)輛壁面、靜止的管道壁面和車(chē)身前后壓差的共同影響. 圖11為速度達(dá)到240 m/s時(shí)，在車(chē)輛正上方位置選取一系列測(cè)點(diǎn)，測(cè)量測(cè)點(diǎn)處的速度大小得到的環(huán)隙流場(chǎng)的速度分布情況.從圖11中可以看到，由于車(chē)輛的高速運(yùn)動(dòng)，離運(yùn)動(dòng)的車(chē)輛壁面較近的測(cè)點(diǎn)速度都較高，越靠近靜止的管道壁面，速度越低，而在靜止的管道壁面附近的測(cè)點(diǎn)速度為負(fù)值，這說(shuō)明部分空氣從車(chē)輛前方通過(guò)環(huán)隙被擠壓進(jìn)車(chē)輛后方.環(huán)隙空間的氣流速度分布受到很多因素的影響，在下節(jié)會(huì)作進(jìn)一步的分析.

3? ?活塞風(fēng)的變化規(guī)律

3.1? ?不同阻塞比下活塞風(fēng)的變化規(guī)律

當(dāng)真空管道內(nèi)壓強(qiáng)為1 000 Pa，車(chē)輛以240 m/s的速度運(yùn)行時(shí)，分析列車(chē)在管道直徑分別為1.91 m、2.23 m、2.67 m、3.34 m，即阻塞比Z分別為0.7、0.6、0.5、0.4時(shí)管道活塞風(fēng)的變化規(guī)律.

圖12為管道內(nèi)壓強(qiáng)和車(chē)輛運(yùn)行速度一定時(shí)，不同阻塞比情況下的車(chē)輛氣動(dòng)阻力數(shù)值圖.從圖12（a）中可以發(fā)現(xiàn)，隨著阻塞比的增大，車(chē)輛的氣動(dòng)阻力呈上升趨勢(shì). 對(duì)比圖12（b），發(fā)現(xiàn)不同阻塞比時(shí)的車(chē)頭車(chē)尾流量差曲線有相似的上升趨勢(shì)，阻塞比增大，車(chē)輛車(chē)頭車(chē)尾的流量差也增大. 這是因?yàn)楫?dāng)車(chē)輛與管道的阻塞比增大時(shí)，能通過(guò)環(huán)隙的空氣變少，導(dǎo)致前后截面的空氣流量差增大，且車(chē)輛阻塞比越大，差值越大.而流量差越大，說(shuō)明堵塞在車(chē)頭前方的空氣越多，車(chē)尾部分的空氣并沒(méi)有隨阻塞比的增大而有多少增加，導(dǎo)致車(chē)頭車(chē)尾的壓差越大，壓差阻力也越大. 圖13是在不同阻塞比的管道中車(chē)輛速度達(dá)到240 m/s時(shí)，環(huán)隙流場(chǎng)的速度分布情況.從圖13中可以看到，隨著阻塞比的增大，往車(chē)輛后方運(yùn)動(dòng)的測(cè)點(diǎn)越來(lái)越少，測(cè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度也更低，這進(jìn)一步驗(yàn)證了前述結(jié)論.

3.2? ?不同真空度下活塞風(fēng)的變化規(guī)律

當(dāng)真空管道的阻塞比為0.6，車(chē)輛以240 m/s的速度運(yùn)行時(shí)，分析車(chē)輛在管道壓強(qiáng)分別為100 Pa、500 Pa、1 000 Pa、2 000 Pa時(shí)管道活塞風(fēng)的變化規(guī)律.

圖14為管道的阻塞比和車(chē)輛運(yùn)行速度一定時(shí)，在不同的管道壓強(qiáng)下，車(chē)輛受到的氣動(dòng)阻力數(shù)值圖.由圖14（a）可看到，在同一速度下，當(dāng)管道內(nèi)氣壓增大時(shí)，車(chē)輛受到的氣動(dòng)阻力上升，且管道內(nèi)氣壓越高，氣動(dòng)阻力上升越顯著.而從圖14（b）中可發(fā)現(xiàn)在不同管道壓強(qiáng)情況下，車(chē)頭車(chē)尾流量差變化有相似的規(guī)律，在同一速度下，當(dāng)管道內(nèi)氣壓增大時(shí)，通過(guò)車(chē)輛前后截面的氣流流量差也增大，且管道內(nèi)氣壓越高，差值越大.兩圖對(duì)比，曲線基本吻合，這是因?yàn)楫?dāng)管道內(nèi)壓強(qiáng)升高時(shí)，通過(guò)車(chē)輛前后截面處的氣流流量差越大，說(shuō)明堵塞在車(chē)頭前方的空氣越多，而車(chē)尾處的空氣密度卻沒(méi)有發(fā)生很大變化，因此車(chē)頭車(chē)尾的壓差越大，壓差阻力也越大.

3.3? ?不同車(chē)速下活塞風(fēng)的變化規(guī)律

根據(jù)Hyperloop白皮書(shū)要求，本文設(shè)定車(chē)輛通過(guò)3次加速，即從靜止分別加速到140 m/s、240 m/s最后達(dá)到340 m/s的勻速運(yùn)行狀態(tài). 在管道阻塞比為0.6，管道壓強(qiáng)為1 000 Pa時(shí)，從圖15（a）可以看到，氣動(dòng)阻力隨車(chē)速增加而提高，但當(dāng)速度到達(dá)340 m/s左右時(shí)，阻力上升趨于平緩.對(duì)比圖15（b），可發(fā)現(xiàn)：在同一真空度下，當(dāng)車(chē)速增大時(shí)，通過(guò)車(chē)輛前后截面的空氣流量差增大，但當(dāng)速度達(dá)到340 m/s左右時(shí)，車(chē)頭前后的流量差基本不再變化.這是因?yàn)楫?dāng)車(chē)輛在管道中高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在一個(gè)最小的車(chē)輛截面積與管道截面積比，如果超過(guò)這個(gè)比例，管道會(huì)被堵住，如同日常生活中見(jiàn)到的針管一樣. 因此管道車(chē)輛運(yùn)行速度超過(guò)一定閾值，由于車(chē)輛頭部對(duì)空氣的壓縮作用，前方的空氣密度增加，車(chē)頭的空氣不能有效流動(dòng)到車(chē)輛尾部，大量的空氣微團(tuán)淤塞在車(chē)輛前方，氣動(dòng)阻力急劇上升，導(dǎo)致Kantrowitz極限現(xiàn)象的出現(xiàn). 但當(dāng)車(chē)輛速度繼續(xù)增加時(shí)，相當(dāng)于加大車(chē)輛驅(qū)動(dòng)力，迫使前方堵塞氣體從車(chē)輛與管道之間流到車(chē)輛后部，導(dǎo)致車(chē)身前后的流量差沒(méi)有再隨速度的提高而上升，甚至有所減小，因此車(chē)頭車(chē)尾的壓差不再上升，阻力基本不變. 圖16是在車(chē)速分別達(dá)到140 m/s、240 m/s、340 m/s時(shí)，環(huán)隙流場(chǎng)的速度分布情況. 從圖中可以看到，車(chē)輛在140 m/s時(shí)，環(huán)隙流向車(chē)尾的氣流最多，340 m/s與240 m/s時(shí)流向車(chē)尾氣流速度相差不大.

4? ?三維模型仿真分析

為了進(jìn)一步了解真空管道車(chē)輛活塞風(fēng)的氣動(dòng)特性，本文采用2016年Hyperloop全球管道車(chē)輛設(shè)計(jì)大賽美國(guó)德州農(nóng)工大學(xué)參賽的三維車(chē)體模型進(jìn)行分析，對(duì)比不同速度下車(chē)輛運(yùn)行時(shí)受到的氣動(dòng)阻力與活塞風(fēng)運(yùn)動(dòng)情況.

在管道阻塞比一定，真空管道壓強(qiáng)為1 000 Pa，車(chē)輛在速度達(dá)到140 m/s 、240 m/s與340 m/s時(shí)車(chē)身受到的阻力如圖17所示. 在三維仿真中，當(dāng)速度上升到340 m/s時(shí)，車(chē)輛氣動(dòng)阻力和車(chē)頭車(chē)尾流量差的上升并沒(méi)有放緩，而當(dāng)列車(chē)速度上升到440 m/s左右時(shí)，車(chē)輛氣動(dòng)阻力和前后流量差值上升才開(kāi)始變緩，這是因?yàn)槿S模型的車(chē)身造型具有減阻效果，使車(chē)輛的氣動(dòng)阻力整體下降，車(chē)頭附近的空氣能夠更流暢地來(lái)到車(chē)尾附近，阻塞在車(chē)頭前方的空氣變少. 圖18為阻塞比一定，管道壓強(qiáng)為100 Pa時(shí)，車(chē)輛車(chē)身周?chē)目諝鈮毫υ茍D，從圖18中看到，隨著速度的提升，車(chē)頭部分壓力峰值增大，但隨著速度的提升，峰值增大的幅度變小.

5? ?結(jié)? ?論

本文通過(guò)計(jì)算仿真對(duì)Hyperloop系統(tǒng)中的管道車(chē)輛的活塞風(fēng)的氣動(dòng)特性與變化規(guī)律進(jìn)行了分析，得出以下結(jié)論：

1）車(chē)輛在管道中運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生壓縮波與膨脹

波，它們的傳播會(huì)影響管道的縱向流場(chǎng).

2）環(huán)隙空間的氣流運(yùn)動(dòng)情況與車(chē)輛的氣動(dòng)阻力相互影響，且氣流流速與車(chē)輛速度、阻塞比等因素有關(guān).

3）真空管道交通系統(tǒng)基本參數(shù)（真空度、運(yùn)行速度、阻塞比）對(duì)車(chē)輛氣動(dòng)阻力影響較大，在選取參數(shù)時(shí)還必須綜合考慮系統(tǒng)安全運(yùn)營(yíng)、旅客舒適度、運(yùn)行速率、建設(shè)成本和運(yùn)營(yíng)成本等諸多因素.

4）隨著車(chē)速的提高，車(chē)頭前方淤塞的空氣增

多，車(chē)輛的氣動(dòng)阻力有一個(gè)顯著上升的過(guò)程.但隨著驅(qū)動(dòng)力的增加，車(chē)輛擠壓效應(yīng)使得車(chē)輛的氣動(dòng)阻力上升趨緩.

Hyperloop白皮書(shū)中所提出的加裝車(chē)載抽吸系統(tǒng)設(shè)想，本文未加以討論.可以預(yù)見(jiàn)，車(chē)載抽吸系統(tǒng)必然對(duì)管道活塞風(fēng)的氣動(dòng)特性和變化規(guī)律產(chǎn)生巨大影響.今后將對(duì)相關(guān)方面進(jìn)行深入的研究.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? 米百剛，詹浩，朱軍. 基于動(dòng)網(wǎng)格的真空管道高速車(chē)輛阻力計(jì)算方法研究[J]. 真空科學(xué)與技術(shù)學(xué)報(bào)，2013，33（9）：877—881.