沈顯慶， 任琳琳

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

隨著人口老齡化的發(fā)展，我國(guó)已經(jīng)成為腦卒中疾病發(fā)生率較高的國(guó)家，同時(shí)腦卒中疾病很容易引發(fā)患者下肢喪失運(yùn)動(dòng)功能。因此，越來(lái)越多的學(xué)者以及科研院所開(kāi)始關(guān)注、研究下肢康復(fù)機(jī)器人的控制方法，希望為患者設(shè)計(jì)出通過(guò)輔助機(jī)器人訓(xùn)練使患者達(dá)到正常行走目的的智能設(shè)備。下肢康復(fù)機(jī)器人輔助患者運(yùn)動(dòng)，需要避免下肢末端未能達(dá)到理想位置，使患者受到二次傷害。因此，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人末端軌跡進(jìn)行研究，同樣具有重要的意義。王雨等[1]采用了多冪次趨近律的滑?？刂破鲗?duì)打磨機(jī)器人的末端進(jìn)行控制，達(dá)到抗干擾能力強(qiáng)且趨近平衡點(diǎn)的速率更快。葉梅燕等[2]通過(guò)建立高斯幾何學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征描述模型，提出了機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)特征的分析方法，為研究機(jī)器人末端控制提供了理論基礎(chǔ)。劉延芳等[3]針對(duì)機(jī)器人末端負(fù)載的不確定性，采用迭代最小二乘法對(duì)機(jī)器人末端負(fù)載的質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)，由自抗擾控制器進(jìn)行補(bǔ)償，具有一定的穩(wěn)定性。筆者利用雙曲面正切函數(shù)的陡度調(diào)節(jié)滑?？刂频那袚Q，設(shè)置調(diào)節(jié)趨近速度的指數(shù)項(xiàng)，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的末端進(jìn)行直接控制，以提高機(jī)器人的控制效果。

1 結(jié)構(gòu)空間坐標(biāo)變換

文中以下肢康復(fù)機(jī)器人末端為研究對(duì)象，建立機(jī)器人末端空間坐標(biāo)，設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?duì)其進(jìn)行直接控制。根據(jù)下肢康復(fù)機(jī)器人末端節(jié)點(diǎn)的控制率與機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的力矩之間的關(guān)系[4]，求解實(shí)際為機(jī)器人末端提供的力矩，并對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的末端軌跡進(jìn)行分析。下肢康復(fù)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)[5]，如圖1所示。

圖1 下肢康復(fù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)Fig. 1 Structure of lower limb rehabilitation robot

利用機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，從而求解關(guān)節(jié)角度q1和q2，由圖1可得下肢康復(fù)機(jī)器人的末端工作空間位置以及角度：

根據(jù)余弦定理，可得

則

因此，

由此可得，表示下肢康復(fù)機(jī)器人末端點(diǎn)的速度與機(jī)器人關(guān)節(jié)角速度之間關(guān)系的雅可比矩陣：

(1)

2 關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型

一般的機(jī)器人關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型為

(2)

式中：M(q)——n×n階轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；

G(q)——n×1階重力向量；

q——關(guān)節(jié)變量的向量,q∈Rn；

τ——執(zhí)行機(jī)構(gòu)施加的關(guān)節(jié)控制扭矩向量,τ∈Rn；

τd(t)——外界干擾量。

為了實(shí)現(xiàn)下肢康復(fù)機(jī)器人末端位置的精確控制，需要將一般機(jī)器人關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為基于末端位置的動(dòng)力學(xué)方程。根據(jù)虛功原理，可得機(jī)器人末端的力矩T與關(guān)節(jié)力矩τ之間的關(guān)系[6]：

Τ=J-T(q)τ,

(3)

由式(1)，可得

則

(4)

將式(4)代入式(2)，并結(jié)合式(3)可得

可得下肢康復(fù)機(jī)器人末端模型為

(5)

式中：Mx=J-T(q)M(q)J-1(q)；

Gx=J-T(q)G(q)；

3 控制器設(shè)計(jì)

定義

e(t)=xd(t)-x(t)，

(6)

(7)

式中：xd(t)——理想軌跡；

x(t)——實(shí)際軌跡；

Λ——正定矩陣。

設(shè)計(jì)滑模函數(shù)為

(8)

傳統(tǒng)的滑?？刂坡蔀?/p>

(9)

將式(9)代入式(5)可得

(10)

由式(6)～(8)，可得

(11)

結(jié)合式(10)，可得

采用雙曲面正切函數(shù)的滑?？刂破?/p>

結(jié)合式(5)和(11)，可得

4 穩(wěn)定性證明

取李亞普諾夫函數(shù)為

對(duì)于雙曲面正切函數(shù)的控制器有

ks-εsgns+τx)。

根據(jù)引理[8-9]可得：

其中，μ=0.278 5。

則

ξμε≤-2λV+b，

式中：λmin(k)——k的最小特征值；

λmax(Mx)——Mx的最大特征值；

b——常數(shù)項(xiàng),b=ξμε。

則

由此可知，系統(tǒng)屬于漸進(jìn)收斂，且收斂的速度跟精度取決于ξ、ε、λ。

5 仿真分析

5.1 參數(shù)設(shè)置

為了更切和實(shí)際，以一男子為例對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算[11]，該男子體重為 61 kg、身高1 667 mm、d1為462 mm、d2為 393 mm。為了更好地對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，根據(jù)GB 10000—88《國(guó)家成年人人體尺寸》可以計(jì)算該男子各段質(zhì)量，可得m1=8.512 2 kg，m2=2.552 6 kg，則可得下肢康復(fù)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)為[5]：

取理想的跟蹤軌跡為

初始條件設(shè)為

x=[1,0,1,0]，

τx=5sint控制器增益矩陣為

ξ=20，ε=0.1進(jìn)行仿真。

5.2 結(jié)果與分析

圖2～6為采用不同的控制器時(shí)，下肢康復(fù)機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)的仿真結(jié)果。圖2～5中的a圖為采用傳統(tǒng)的滑?？刂破鞯玫降姆抡鎴D。由圖2a、3a可以看出，在下肢康復(fù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)器人末端位置和速度跟蹤出現(xiàn)較大波動(dòng)，但是在2 s之前，下肢康復(fù)機(jī)器人的末端位置與速度跟蹤值，都能達(dá)到理想的跟蹤軌跡。由圖4a、5a可知，機(jī)器人末端的控制力矩出現(xiàn)了抖振現(xiàn)象以及軌跡收斂的速度比較慢。

圖2 下肢康復(fù)機(jī)器人末端位置跟蹤Fig. 2 End position tracking of lower limb rehabilitation robot

圖3 下肢康復(fù)機(jī)器人末端速度跟蹤Fig. 3 Velocity tracking at end of lower limb rehabilitation robot

圖4 下肢康復(fù)機(jī)器人末端控制力矩Fig. 4 Terminal control torque of lower limb rehabilitation robot

圖5 下肢康復(fù)機(jī)器人末端軌跡Fig. 5 Distal trajectory of lower limb rehabilitation robot

圖6 下肢康復(fù)機(jī)器人末端跟蹤軌跡誤差分析Fig. 6 Error analysis of end tracking trajectory of lower limb rehabilitation robot

圖2～5中的b圖為采用雙曲面正切函數(shù)的滑?？刂破鞯玫降姆抡娼Y(jié)果。由圖2b、3b可以看出，下肢康復(fù)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)器人末端的位置和速度，能夠在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到理想的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖4b、5b以及圖6可以看出，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的末端，采用雙曲面正切函數(shù)的滑?？刂疲黠@的削弱了控制輸入的抖振現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的收斂速度，并且縮小了系統(tǒng)存在的誤差。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)的控制器對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人末端軌跡跟蹤控制存在的收斂速度較慢，以及輸入的力矩存在的抖振現(xiàn)象，提出了一種采用雙曲正切函數(shù)的滑?？刂品椒?，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的末端進(jìn)行直接控制。在Matlab/Simulink的環(huán)境下，利用S-Function函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。采用雙曲正切函數(shù)的滑?？刂破鲗?duì)機(jī)器人末端控制的效果更好、收斂速度更快，顯著減少了機(jī)器人末端輸入力矩的抖振。該研究可為下肢康復(fù)機(jī)器人的跟蹤問(wèn)題提供理論依據(jù)。