董善清 李德安

經(jīng)過(guò)對(duì)近幾年高考試題及各地模擬試題的研究與分析，不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題在函數(shù)單調(diào)性的討論、函數(shù)零點(diǎn)、極值點(diǎn)、不等式證明和恒成立（或有解）等問(wèn)題上出現(xiàn)的頻率越來(lái)越高。以上這些考點(diǎn)的呈現(xiàn)，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)再熟悉不過(guò)了，但得分卻較低。究其原因，它既考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程與不等式等思想，也考查放縮法證明不等式、構(gòu)造函數(shù)法解決問(wèn)題等。同時(shí)，對(duì)同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、融會(huì)貫通的能力要求較高。本文選取各地有代表性的高三模擬題或模擬題的改編形式，對(duì)導(dǎo)數(shù)壓軸題的部分類型進(jìn)行剖析，并分析其本質(zhì)所在，以饗讀者。

一、利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問(wèn)題

總結(jié)反思：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立、不等式證明方面的應(yīng)用，第（l）問(wèn)采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)最值問(wèn)題，若不分離參數(shù)，也可以直接帶參分類討論進(jìn)行解答，讀者可自行嘗試解答。第（2）問(wèn)的難點(diǎn)是如何能將參數(shù)m特殊化，以及對(duì)x的賦值，結(jié)合第（l）問(wèn)與第（2）問(wèn)要證明的結(jié)論，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，合理的賦值是關(guān)鍵。

二.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

分析：（l）本題要由導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶導(dǎo)函數(shù)公式，同時(shí)還要特別注意常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，這樣就很容易求出原函數(shù)的解析式。再利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式即可。

總結(jié)反思：對(duì)于第（2）問(wèn)的證明，我們要有意識(shí)地利用第（l）問(wèn)的結(jié)論，還要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有意識(shí)地掌握記憶一些能夠用作放縮依據(jù)的結(jié)論，比如當(dāng)x>O時(shí)，有x>sinx，能看到這一點(diǎn)，我們只需構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可證明。

三、利用導(dǎo)數(shù)求解存在性問(wèn)題

分析：（l）我們知道，要求函數(shù)的最值，要么根據(jù)特殊類型函數(shù)值域的求法，要么知道函數(shù)的單調(diào)性，而對(duì)于由基本初等函數(shù)構(gòu)成較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題，通常先確定函數(shù)的單淵性，而求單調(diào)性的常用方法是求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。本題先求得導(dǎo)數(shù)f'（x），然后對(duì)a進(jìn)行分類討論，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，再求，f（x）的最小值。

總結(jié)反思：第（l）問(wèn)屬于常規(guī)題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，很容易求解;第（2）問(wèn)要注意區(qū)分恒成立和存在性問(wèn)題的不同之處，同時(shí)也要進(jìn)一步熟悉求參數(shù)范圍的方法，一是帶著參數(shù)討論，二是分離參數(shù)。當(dāng)然，若在第（l）問(wèn)的基礎(chǔ)上不分離參數(shù)，直接求…f（x）+a的最小值亦可。由第（l）問(wèn)可知，f（x）^{min=-e_a-3，故f（x）+a的最小值為-e_a-3+a，從而只需-e_a-3+a a-3，因?yàn)閍>0，所以In a1，In 5<2，可知a≥5。}

四、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

分析：（l）利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單淵性，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用分類討論法求出函數(shù)，f（x）的單調(diào)性。

（2）本題可以先分離常數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題迎刃而解?？偨Y(jié)反思：本題第（l）問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單淵性;第（2）問(wèn)通過(guò)分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再利用分類討論思想研究函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，意在加強(qiáng)同學(xué)們的化歸與轉(zhuǎn)化能力。

五、利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、放縮法證明不等式

分析：（l）涉及函數(shù)唯一零點(diǎn)問(wèn)題，我們很容易想到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，再借助于函數(shù)單調(diào)性，問(wèn)題可解。

（2）關(guān)鍵在于如何由f（x¹）=f（x²）轉(zhuǎn)換到構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-slnx，再利用放縮法去掉“sin x”，這需要我們?cè)谄綍r(shí)多注意積累，能意識(shí)到正弦函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在一起是很難化簡(jiǎn)運(yùn)算的。

總結(jié)反思：第（l）問(wèn)考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，同時(shí)也要注意多觀察端點(diǎn)值的正負(fù)，這是一項(xiàng)很重要的基本功;第（2）問(wèn)關(guān)鍵是利用放縮法去掉“sin、x”，再構(gòu)造函數(shù)證明不等式，考查同學(xué)們的轉(zhuǎn)化與化歸思想。放縮得到 。下面證明 即可。其中 平均數(shù)，該不等式為對(duì)數(shù)平均不等式，是應(yīng)用較廣的不等式，其證明方法也是證明不等式的常用策略。

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的綜合問(wèn)題是常見的、有效的途徑，如何有效地利用是難點(diǎn)所在，其突破的關(guān)鍵是要有撥云去霧顯現(xiàn)…本質(zhì)的能力。解題的核心是能夠構(gòu)造出“合理”的函數(shù)，而這一“合理”的函數(shù)如何構(gòu)造？可以分離參數(shù)構(gòu)造，可以適當(dāng)放縮后構(gòu)造，可以選取變量構(gòu)造，亦可以圍繞零點(diǎn)或極值點(diǎn)建立等式構(gòu)造等，要在解題綜合運(yùn)用過(guò)程中加以領(lǐng)會(huì)體悟。唯有如此，才能真正地發(fā)揮出導(dǎo)數(shù)的力量。

（責(zé)任編輯 王福華）