鮑四元 曹津瑞 周靜

摘要：基于非局部理論，對任意彈性邊界Euler-Bernoulli梁的橫向振動特性進行分析。在結構兩端邊界引人橫向位移彈簧和旋轉約束彈簧，通過設置其剛度大小來模擬從自由到固支的各種邊界條件。計算中先將梁的位移函數以改進傅里葉級數形式表示，然后采用基于Lagrange泛函的瑞利一里茲法建立關于改進傅里葉級數系數的線性方程組。根據此方程組有非零解的條件，通過求解廣義特征值問題得到梁的固有頻率和振型曲線。算例結果表明所提方法具有合理性且具有良好的精度，并進一步探究非局部影響系數與彈性邊界約束剛度對非局部梁振動的影響。

關鍵詞：結構振動;橫向振動;非局部理論;譜幾何法;彈性邊界條件

中圖分類號：0327;0343文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）02-0276-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.02.007

引言

自從Iijima1991年發(fā)現碳納米管以來，工程結構逐漸向微型化、智能化的方向發(fā)展，而納米梁作為重要構件在微機電系統(tǒng)、生物傳感器和原子力顯微鏡等領域得到日益廣泛的應用。在研究微尺度結構力學性能的諸多方法中，實驗研究由于對試樣、儀器和測試方法的嚴苛要求，以及對精度控制的困難性而備受局限。分子動力學模擬因程序計算量巨大，計算效率較低而難以進行。在微納米尺度下，材料特征長度尺寸接近材料顆粒尺寸，結構的尺度效應不可忽略，傳統(tǒng)連續(xù)介質理論已無法準確預測微納米尺度結構的力學性能。因此，考慮尺度效應的非局部理論成為微納米力學領域的一個研究重點。

作為在經典連續(xù)介質理論基礎上的擴充與發(fā)展，非局部理論能夠計及微觀尺度效應，為解決考慮到內部微觀或細觀結構的問題奠定了理論基礎。非局部理論的基本思想是某點的應力狀態(tài)不僅與該點的應變狀態(tài)有關，同時與整個域內所有點的應變狀態(tài)有關。研究人員給予非局部理論極大的關注，非局部理論體系也正在逐步完善。如，戴天民對連續(xù)統(tǒng)場理論進行了大量的工作，先后提出連續(xù)統(tǒng)場論、微極連續(xù)耦合場論，極性連續(xù)統(tǒng)理論的基本原理等，并對該理論進行了詳盡的論述。Aydogdu基于非局部彈性理論，研究了不同邊界條件下非局部直桿幾何參數和非局部特征參數對縱振固有頻率的影響。Numanoglu等研究不同邊界條件下非局部一維納米結構的自由振動特性，得出了附加質量會引起納米桿縱向頻率減小的結論。Loghmani等基于波傳播法對非局部桿含裂紋等多種不連續(xù)問題做了綜合性研究。張大鵬等。利用傳遞函數法研究非局部黏彈性地基梁的振動特性問題。黃偉國等基于非局部理論研究了壓桿穩(wěn)定性及軸向振動，推導了3種常見邊界條件下桿臨界壓力和固有頻率的非局部理論解。Pisano等獲得了非局部彈性直桿靜力問題中應變場的封閉解。Thai等在連續(xù)力學模型基礎上進行了梁與板的尺度效應分析。由此可見，非局部理論在彈性力學、黏彈性力學等方面的研究中取得了許多成果，解決了一系列經典連續(xù)介質力學無法解決的問題。

目前國內外對非局部梁橫向振動特性的研究方法主要有解析法、數值法、微分求積法、傳遞函數法、改進傅里葉級數法等。如Reddy等推導了Eul-er-Bernoulli和Timoshenko梁理論的運動方程，該方程可以用來校核非局部梁在不同邊界條件下的靜力彎曲、振動和屈曲響應。Shen等運用傳遞函數法求解了非局部彈性梁在經典邊界條件下橫向振動的模態(tài)及頻率。De Rosa等利用DQM（微分求積法）研究了嵌入介質的單壁碳納米管的非局部振動頻率。Kiani分別應用非局部Euler-Ber-noulli梁（NEB）、非局部Timoshenko梁（NTB）和非局部高階梁（NHOB）理論研究單壁碳納米管的橫向自由振動頻率。Lu等基于Hamilton原理推導了尺度效應梁振動的控制微分方程及邊界條件，用Navier方法獲得了簡支納米梁的固有頻率解析解。Li等對非局部應變梯度梁，采用直接求解控制方程預測了桿在簡支邊界條件下的臨界屈曲力和后屈曲撓度。

由于數學處理上存在一定難度，這方面的研究主要局限于經典邊界條件，即固定、簡支、自由等。事實上，邊界條件作為影響結構振動特性的重要因素，已有的研究較少，制約了人們對此類問題的全面認識。

針對已有研究的不足，本文基于非局部彈性理論建立彈性邊界約束梁結構橫向振動分析模型，任意經典邊界及其組合可以通過設置邊界約束剛度系數得到。使用基于改進傅里葉級數的譜幾何方法研究非局部Euler-Bernoulli梁的振動特性。其中譜幾何法來源于改進傅里葉級數法，它能有效避免傳統(tǒng)傅里葉級數方法的邊界不連續(xù)、收斂速度慢等問題。該方法由Li提出并進行梁結構彎曲振動的分析。其中梁的撓曲位移被表示為傅里葉級數和一個輔助多項式的線性組合，使得彈性約束邊界條件能夠得到精確滿足，結合梁結構的振動微分方程，根據系統(tǒng)的系數特征值矩陣使梁自由振動問題得到了很好地求解。數值計算表明該方法具有良好的收斂性和精確性。在改進傅里葉級數基礎上，譜幾何法作為一種新型方法在結構的振動分析中取得了若干進展。如石先杰等研究了環(huán)板結構的面內自由振動;Shi等研究了正交矩形薄板的彎曲振動;Bao等進行了環(huán)扇形板和矩形板的面內振動問題的研究。

本文研究思路如下：采用譜幾何法假設非局部單跨梁橫向振動位移函數的傅里葉級數展開式。在梁的兩端設置橫向位移彈簧與旋轉約束彈簧，通過改變彈簧剛度來模擬彈性邊界條件。利用瑞利一里茲方法，給出梁總勢能和總動能的表達式，得到梁的Lagrange能量泛函，從而獲得非局部彈性梁振動特征矩陣，通過求解矩陣的特征值問題得到固有頻率和振型等振動特性。

1理論推導

本文在梁兩端設置橫向和旋轉彈簧，通過調整邊界彈簧的剛度來模擬不同邊界條件。如圖1所示，k1和k2為梁端旋轉約束彈簧的剛度，k3和k4為位移約束彈簧的剛度，通過調節(jié)兩組彈簧的剛度，可以模擬從自由到固定的任意邊界條件。在后續(xù)計算中k2和ks模擬x=0處的邊界條件，k1和k4模擬x=L處的邊界條件。如位移約束彈簧與旋轉約束彈簧的剛度均設置為無窮大時可模擬固定端條件。

1.1梁的非局部理論

工程梁理論大多是通過假設將三維動力學方程近似化，即使用有限個基本變量描述整個物體的力學狀態(tài)，其中Euler-Bernoulli梁理論僅僅考慮彎曲變形，忽略軸向變形和剪切變形的影響，適用于研究細長梁的橫向振動。

本文基于非局部理論研究Euler-Bernoulli梁。與經典連續(xù)介質理論不同，非局部理論認為梁中任意一點的應力與這一點以及周圍區(qū)域的應變均有關，并使用核函數來表征這種關系。當核函數形式選為常用的指數型衰減核函數時，梁的單軸本構關系可通過如下微分形式表示為

1.2橫向位移函數的譜幾何法表達

常用的位移容許函數有多項式和三角函數等。采用多項式函數時，多項式的階次會對結果產生很大影響，高階多項式會導致數值結果不穩(wěn)定，而低階多項式則無法求解高階振動。采用傳統(tǒng)傅里葉級數時，位移函數可能在邊界處不連續(xù)，會導致在除簡單

本文模型可模擬在CC（兩端固定）、CS（一端固定一端簡支）、CF（一端固定一端自由）、SS（兩端簡支）、FF（兩端自由）五種經典邊界條件下的梁的橫向振動，并可進一步調整邊界約束剛度模擬彈性邊界條件。經典邊界條件下需設定無量綱彈簧剛度取無窮大，實際計算中此無窮大數取值至少為10⁶。取值時采用10⁶的普適性和合理性參見文獻[20，23]。

本節(jié)首先討論譜幾何法求解非局部Euler-Ber-noulli梁時的數值收斂性，然后探討非局部參數與彈性邊界約束剛度對梁自由振動頻率的影響。

2.1收斂性研究

在計算過程中，位移函數的截斷數影響著結果的收斂性，因此需要先驗證收斂性。選擇簡支一簡支（ss）的邊界條件，使用本文方法計算中取邊界位移約束對應無量綱的彈簧剛度為10⁶，邊界旋轉約束彈簧剛度為0，非局部系數R=eoa/L=0.005，得到不同截斷數下非局部梁的前9階無量綱自振頻率如表1所示。

文獻[26]附錄部分給出求解固定一固定（CC）邊界與固定一自由（CF）邊界非局部Euler-Bernoulli梁固有頻率的方程，本文根據該頻率方程求解各種邊界條件下的無量綱頻率，其值分別列于表2和3中。

由表1可以看出隨著截斷數增大，各階頻率計算結果趨近于精確值，而且較小的截斷數即可獲得精度較高的結果。因此文中方法具有合理性與良好的數值穩(wěn)定性。計算表明，當截斷數n取10以上時所得結果與收斂結果較為接近。為保證計算的精度，在后面的計算中，若無特別說明，截斷數取n=15。

2.2經典邊界條件下非局部Euler-Bernoulli梁橫向自由振動分析

表4列出簡支一簡支（SS）邊界條件下本文非局部Euler-Bernoulli梁橫向自由振動預測頻率與文獻[25]結果的比較，計算中取非局部系數R分別為0.005和0.005√2。

表2給出固定一固定（CC）邊界條件下Euler—Bernoulli梁的非局部無量綱頻率。而表3給出固定一自由（CF）邊界條件下Euler-Bernoulli梁的非局部無量綱頻率。

從表2-4可以看出，本文計算方法所預測的結果與文獻[25，27]的解能夠很好地吻合，最大誤差為0.07%，因而驗證本文方法的正確性。

在求解結構的特征值問題時可以得到梁的振動頻率，還可得對應的特征向量。將各階特征向量代人式（2），即可繪制對應階的振動模態(tài)曲線。

2.3非局部系數對Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響

以簡支梁為例，表5給出不同非局部系數下簡支一簡支（ss）邊界Euler-Bernoulli梁的固有頻率，并與解析解對比，結果較為吻合。當非局部系數R=0.05和0.1時，本文方法分別使用截斷數為15和40兩種參數計算，比較發(fā)現截斷數為40時，結果更加接近解析解，誤差在0.8%以內。這也說明當非局部系數變大時，采用本文方法計算，截斷數宜選擇較大值來趨近精確解。

當非局部系數R一0時非局部梁即退化為經典局部梁。從表5可以看出，非局部效應使得Euler-Bernoulli梁固有頻率變小。隨著非局部系數的增大，非局部Euler-Bernoulli梁的振動頻率減小的趨勢越發(fā)明顯。同時，相對于低階振動頻率而言，非局部效應對高階頻率的影響更大。

2.4彈性邊界約束剛度對非局部Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響

為更好地表現邊界彈性約束對非局部Euler-Bernoulli梁的固有頻率影響規(guī)律，以一種廣義簡支梁為例，即采用不同邊界橫向約束剛度的廣義簡支一廣義簡支（記為“S1S1”）邊界非局部Euler-Bernoulli梁進行計算比較。表6列出邊界位移約束剛度變化時梁的前6階固有頻率。

邊界約束剛度對非局部Euler-Bernoulli梁的固有頻率有很大影響，由圖2可以明顯地反映出在不同的非局部系數下，邊界約束剛度增大到一定值后對非局部兩端簡支Euler-Bernoulli梁固有頻率的影響趨于一致。當無量綱約束剛度取為10⁴以下值時，固有頻率變化明顯，為彈性約束剛度對固有頻率影響的敏感段。當無量綱約束剛度取為10⁴以上時，固有頻率的變化不再明顯且不斷趨于一個定值。

3結論

本文在梁的非局部效應基礎上，對彈性邊界約束的梁的橫向振動特性進行了分析，在譜幾何方法的框架下進行計算。對計算結果進行分析，得到如下結論：

（1）基于改進傅里葉級數方法的譜幾何方法除了能夠有效改善傳統(tǒng)傅里葉級數在邊界處的位移或導數的不連續(xù)現象，還可以有效提升收斂速度與計算效率。

（2）對于非局部梁固有頻率，本文方法所預測的結果與文獻結果對比，誤差一般在0.5%以內，表明文中方法具有良好的精度與結果穩(wěn)定性。

（3）邊界約束的剛度對梁的固有頻率具有重要影響。隨著剛度增大，這種影響則趨于緩和，且存在一個頻率對于剛度變化的敏感區(qū)域。

（4）非局部效應使得梁的固有頻率變小，隨著非局部系數的增大，這種影響也越來越明顯。相對于低階頻率而言，高階頻率受非局部效應影響更大。

（5）本文方法具有較為廣泛的適應性。在梁參數與邊界條件發(fā)生變化時，無需重新編制程序計算，只需改變計算參數，有利于結構的參數化研究，從而有效提升效率。