宋 靜, 邱 坤

(1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 成都 610213； 2.農(nóng)業(yè)農(nóng)村部沼氣科學(xué)研究所， 成都 610041)

1 數(shù)學(xué)建模方法簡介

1.1 回歸模型

回歸模型主要研究多個影響因素對目標(biāo)函數(shù)的影響(研究變量之間的關(guān)系)。具體的做法是：首先收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選(畫出散點(diǎn)圖)，剔除無效數(shù)據(jù)；對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計進(jìn)行分析(首先確定選擇函數(shù)公式的類型)，利用最小二乘法建立數(shù)學(xué)模型(方程組)并求解得到回歸方程的表達(dá)式，之后再對回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(相關(guān)系數(shù)檢驗、F檢驗法、殘差分析等)；上述步驟也可采用SPSS統(tǒng)計軟件、MATLAB等數(shù)學(xué)、統(tǒng)計軟件進(jìn)行?；貧w模型包括：線性回歸模型(一元線性回歸模型、多元線性回歸模型)和非線性回歸模型(一元非線性回歸模型、多元非線性回歸模型)[1]。

以多元線性回歸模型為例：設(shè)因變量為y，影響因變量的因素(自變量)為x1,x2,x3,…,xn，誤差項為ε，建立方程：

y=a0+a1x1+a2x2+…+anxn+ε

(1)

式中：a0,a1,a2,…,an為模型參數(shù)

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1986年，由Rumelhart和McClelland提出的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過采用一種誤差反向傳播算法(BP算法)，算法的原理為：利用輸出后的得到誤差來估計輸出前面一層的誤差，再用這個誤差估計更前一層的誤差，按照此規(guī)律進(jìn)行，一層層傳遞下去，從而獲得所有各層的誤差估計，我們可以根據(jù)各層的誤差來修正各層的權(quán)值[2]。通過多次迭代計算，實現(xiàn)實際輸出與期望輸出的差別在可以接受的誤差范圍內(nèi)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程包括： 1)正向傳播：樣本輸入→輸入層→各隱層→輸出層； 2)判斷是否轉(zhuǎn)入反向傳播階段； 3)誤差反傳——通過各層的誤差，修正各層的權(quán)值。下面以簡單BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(3層)為例(見圖1)：

圖1 3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)范例圖

建模方程：

(2)

1.3 層次分析法結(jié)合模糊綜合評價

層次分析法是指對決策問題按照總目標(biāo)、各層子目標(biāo)進(jìn)行分解；也可按影響決策問題的影響因素(元素)進(jìn)行逐層分解；通過調(diào)研問卷、查閱文獻(xiàn)、數(shù)據(jù)分析等方式對每一層中的元素進(jìn)行比較(兩兩之間的重要性進(jìn)行比較)，給出重要性標(biāo)度(以定量的方式)，并以矩陣的形式表示。結(jié)合數(shù)學(xué)軟件MALTAB計算出每層各元素的權(quán)重。運(yùn)用層次分析法(計算出各層元素的權(quán)重)結(jié)合模糊綜合評價(對各層元素建立評判集)，通過計算得出對總體目標(biāo)的定量評價[3]。

具體以對某個旅游景點(diǎn)的收益評價為例。

確定3個重要影響因素(例如：游客量、門票價、維護(hù)成本)，重要性標(biāo)度為p1，p2，p3，特別說明：重要性標(biāo)度的值越大說明越重要。以矩陣的形式給出：

2 數(shù)學(xué)建模方法在沼氣工程中的應(yīng)用

引用已發(fā)表文獻(xiàn)中的相關(guān)數(shù)據(jù)[4]，研究3種因素(pH值，接種量,C/N)對沼氣日均產(chǎn)氣量的影響。發(fā)酵材料選用新鮮豬糞，接種物取自沼氣池，是以豬糞為原料富集培養(yǎng)的混合微生物種群，數(shù)據(jù)見表1。

表1 3種因素對沼氣日均產(chǎn)氣量的影響

2.1 多元回歸模型在沼氣工程中的應(yīng)用

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，我們研究pH值、接種量和C/N對日均產(chǎn)氣量的影響，令pH值，接種量和C/N這3種因素為自變量分別為xi(i=1,2,3)，日均產(chǎn)氣量為因變量為y。運(yùn)用線性回歸模型建立函數(shù)關(guān)系式：y=a0+a1x1+a2x2+a3x3，并用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求解，得到：

y=0.014x1-0.5706x2+0.5703x3

(3)

特別說明，在采用此方法之前，筆者對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩查，剔除掉異常點(diǎn)(在實際的計算過程中，筆者發(fā)現(xiàn)9組數(shù)據(jù)中沒有異常數(shù)據(jù)，見圖2)，再用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編寫相關(guān)程序得到我們的結(jié)果，計算出的參數(shù)a0,a1,a2,a3均在置信區(qū)間范圍內(nèi)。

MATLAB程序：

n=9;m=3;

y=[0.7180 0.7408 0.6064 0.5265 0.5294 0.6486 0.7518 0.6230 0.7325];

x1=[6.0 6.0 6.0 6.5 6.5 6.5 7.0 7.0 7.0];

圖2 參數(shù)信度圖

x2=[24 29 34 24 29 34 24 29 34];

x3=[25 30 35 25 30 35 25 30 35];

X=[ones(n,1),x1',x2',x3'];

[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);

s1=sum(r.^2) /(

n-m-1);

b,bint,s,s1

rcoplot(r,rint)

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在沼氣工程中的應(yīng)用

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可以運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測在不同條件下(pH值、接種量和C/N 3種因素確定)的日均產(chǎn)氣量，從而可以研究不同因素條件下對日均產(chǎn)氣量的影響(見表2)。

表2 不同因素條件下對日均產(chǎn)氣量的影響

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)計算：當(dāng)pH值=7.5，接種量=24%，C/N=25時，預(yù)測得到日均產(chǎn)氣量=0.6633。

MATLAB程序：

P=[6.0 6.0 6.0 6.5 6.5 6.5 7.0 7.0 7.0;24 29 34 24 29 34 24 29 34;25 30 35 25 30 35 25 30 35];

T=[0.7180 0.7408 0.6064 0.5265 0.5294 0.6486 0.7518 0.6230 0.7365];

[p1,minp,maxp,t1,mint,maxt]=premnmx(P,T);

net=newff(minmax(P),[3,2,1],{'tansig','tansig','purelin'},'trainlm');

net.trainParam.epochs=5000;

net.trainParam.goal=0.0000001;

[net,tr]=train(net,p1,t1);

a=[7.5;24;25];

a=premnmx(a);

b=sim(net,a);

c=postmnmx(b,mint,maxt);

c

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果圖

特別說明：如圖3，運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，隱藏層神經(jīng)元為2，網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)5000次，期望誤差0.00000001，在實際程序的運(yùn)行過程中第3070次迭代中的計算結(jié)果已經(jīng)在誤差范圍內(nèi)。

2.3 層次分析法結(jié)合模糊綜合評價在沼氣工程中的應(yīng)用

引用已發(fā)表文獻(xiàn)中的相關(guān)數(shù)據(jù)[5]，研究農(nóng)戶滿意度指標(biāo)體系，鑒于本文側(cè)重于介紹數(shù)學(xué)模型(層次分析法結(jié)合模糊綜合評價)在沼氣工程中的應(yīng)用，因此，建立層次結(jié)構(gòu)模型時僅選用部分指標(biāo)。

圖4 農(nóng)戶對沼氣項目評價多層次結(jié)構(gòu)分析圖

根據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型及參考文獻(xiàn)中的相關(guān)數(shù)據(jù)，建立各項指標(biāo)評判集及滿意度評價表。

農(nóng)戶滿意度評價集(元素集)：

W={w1-w2-w3w4}=

{農(nóng)戶期望度、感知質(zhì)量、感知效果、農(nóng)戶忠誠度}

每一個一級指標(biāo)下設(shè)立二級指標(biāo)，并對每個二級指標(biāo)的滿意度進(jìn)行評價，詳見表3。

特別說明，在選擇表中數(shù)據(jù)時的依據(jù)更多根據(jù)文獻(xiàn)中各項指標(biāo)的得分率。例如，文獻(xiàn)中提到農(nóng)戶愿意繼續(xù)使用的得分率為90.4%，因此，評價“好”與“較好”兩者的比例和為90%。鑒于文獻(xiàn)可用數(shù)據(jù)較少，文章更側(cè)用于介紹數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，后面3項“一般”、“較差”、“差”的比例的和滿足為10%(通過估計算得出)。此外，每項指標(biāo)的比例參照上述方法估算得到。

表3 農(nóng)戶滿意度評價表

對各級指標(biāo)的權(quán)重進(jìn)行定義，建立模糊評價矩陣，并計算矩陣的權(quán)重：

一級指標(biāo)：農(nóng)戶期望度、感知質(zhì)量、感知效果、農(nóng)戶忠誠度建立模糊評價矩陣：

計算矩陣的權(quán)重W：

這里可考慮：

計算出的權(quán)重：

即：各種因素(同層次)的重要性均是一樣的。

對于某些實際問題，特別是在各因素權(quán)重不同時，也可采用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)，通過運(yùn)行相關(guān)程序，輸入權(quán)重矩陣，即可計算出各因素的權(quán)重。

MATLAB程序：

clc;

clear;

disp('請輸入判斷矩陣A');

A=input('A=');

[m,n]=size(A);

RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];

R=rank(A);

[V,D]=eig(A);

tz=max(D);

B=max(tz);

[row, col]=find(D==B);

C=V(:,col);

CI=(B-n) /(

n-1);

CR=CI/RI(1,n);

if CR<0.10

disp('CI=');disp(CI);

disp('CR=');disp(CR);

disp('對比矩陣A通過一致性檢驗，各向量權(quán)重向量Q為：');

Q=zeros(n,1);

for i=1∶n

Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(∶,1));

end

Q

else

disp('對比矩陣A未通過一致性檢驗，需對對比矩陣A重新構(gòu)造');

end

根據(jù)表3中的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到評價矩陣：

結(jié)合二級權(quán)重矩陣，通過計算得到二級模糊評級矩陣：

B1=W11×R11=0.31 0.62 0.07 0 0

B2=W12×R12=0.2333 0.2833 0.4 0.0833 0

B3=W13×R13=0.3 0.45 0.2367 0.0133 0

B4=W14×R14=0.3 0.46 0.2 0.025 0.015

得到R：

因此，R=W×R=[0.2858 0.4533 0.2267 0.0304 0.0037]，得到一級模糊評價矩陣。

通過上述例子可以看出，農(nóng)戶對于沼氣工程的滿意度從農(nóng)戶期望度、感知質(zhì)量、感知效果、農(nóng)戶忠誠度四個方面進(jìn)行評價，28.58%認(rèn)為很好，45.33%認(rèn)為較好，22.67%認(rèn)為一般，認(rèn)為較差和很差的分別僅占3.04%和0.37%。

3 小結(jié)

數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用有助于解決沼氣工程中的許多問題。包括研究產(chǎn)氣量與各因素之間的關(guān)系；預(yù)測在某些已知參數(shù)條件下的沼氣工程的產(chǎn)氣量；對沼氣工程進(jìn)行定性和定量的評價等。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，可以讓我們的結(jié)論更具有說服力，同時，也可根據(jù)模型的一些結(jié)果反推去解決沼氣工程中出現(xiàn)的一些技術(shù)問題，查找理論與實際值出現(xiàn)差異的原因。本文主要介紹了常用的3種數(shù)學(xué)模型在沼氣工程中的應(yīng)用(重點(diǎn)在于方法的介紹與應(yīng)用)，由于選用的部分文獻(xiàn)提供的數(shù)據(jù)有限，部分?jǐn)?shù)據(jù)根據(jù)已有數(shù)據(jù)估算得到，模型與實際結(jié)果存在一定的差異性。