梁 燕，孫煜婷，劉凡凡，劉一平，岑 剡

(1．中國科學技術大學 物理實驗教學中心，安徽 合肥 230026；2．復旦大學 物理學系 物理教學實驗中心，上海 200433)

因此，本文提出考慮平行板電容器兩極的平行性、邊緣效應和分布電容的修正模型，并介紹通過實踐總結出的易操作的調(diào)試兩極板間距的零點實驗方法，可使真空電容率ε0的實驗值偏差降至0.6%以下，提高了真空電容率ε0的測量精度.

1 實驗原理

從理論上考慮平行板電容器兩極板的非平行性、邊緣效應和分布電容的修正模型. 設兩極板是邊長為L的正方形，由于極板大小有限，需考慮其邊緣效應；兩極板難以完全調(diào)節(jié)平行，需考慮其非平行性，實驗調(diào)節(jié)其兩極間的夾角為θ，如圖1所示. 對于該模型可根據(jù)文獻[12]的理論，先用保角變換將非平行板電容器變換成復平面空間里的平行板電容器，再對其運用施瓦茲-克里斯多菲(Schwarz-Christoffel)變換進行計算[13]. 若兩極板間電勢差為V0，則可根據(jù)上述方法計算得到邊長為L，上下極板最小間距為d時的正方形極板上所帶總電荷Q為

(1)

式中ε0為真空電容率，d為極板間距離.

圖1 極板非平行時的電容模型

由于變換前后極板間電勢差與極板所帶電荷量不變，則電容為

(2)

在此基礎上，考慮到測量過程中分布電容C′存在，式(2)進一步修改為

(3)

上述電容器模型的建立考慮了兩極板的不平行、極板面積大小有限以及測量過程中帶來的分布電容，此模型更加接近實際的平板電容器，用它測量計算真空電容率更接近客觀值.

2 實驗方法及儀器

實驗中所用平行板電容器由美國南衛(wèi)理工會大學(Southern Methodist University，SMU)葉競波教授團隊設計(圖2)，該平行板電容器由上下金屬極板構成，其中下極板通過鼓輪Z向(垂直極板方向)做高低調(diào)整，這樣整個下極板可以平行上下移動，以方便改變上下極板之間的距離d，四邊4個立柱高低可調(diào)，以方便改變極板間角度.

實驗中為了準確測量電容C需要將平行板電容器和電容表分別短路放電，從而保證極板和電容表內(nèi)沒有凈電荷. 兩極板的間距d可通過電容突變法測量鼓輪零點來確定. 具體測量方法為：先緩慢縮小極板間距直至兩極板正好接觸，可觀察到電容表讀數(shù)為無窮大，此時記錄鼓輪讀數(shù)為鼓輪零點TT0. 兩極板的間距d可通過測量鼓輪讀數(shù)TT減去鼓輪零點TT0獲得.

圖2 實驗所用平板電容示意圖

(4)

實驗研究了夾角θ分別為0.002,0.004,0.006,0.008,0.010 rad時，板間距d和電容值C的對應關系，由于實驗中調(diào)節(jié)了夾角φ為0，因此可通過式(3)計算真空電容率ε0，而式(4)則用于不確定度分析.

3 實驗結果與討論

首先做出實驗數(shù)據(jù)散點圖，再根據(jù)式(3)建立非線性擬合曲線模型，以板間距d為自變量，以電容C為因變量，以其他量為參量進行擬合，結果如圖3和表1所示.

(a)θ=0.002 rad

(b)θ=0.004 rad

(c)θ=0.006 rad

(d)θ=0.008 rad

(e)θ=0.010 rad圖3 當兩極板間夾角θ不同時，電容C和板間距d的關系擬合圖

表1 不同極板夾角對應的真空電容率實驗結果

θ/radd/mmε0/(10-12F·m-1)R2Er0.0021.4～7.08.81±0.060.999 520.45%0.0041.4～7.08.88±0.050.999 620.34%0.0061.4～7.08.86±0.060.999 490.11%0.0081.4～7.08.83±0.060.999 360.22%0.0101.4～7.08.80±0.040.999 570.56%

圖3中紅線是實驗數(shù)據(jù)擬合的曲線，藍線是根據(jù)不考慮分布電容的式(2)畫出，綠線是根據(jù)考慮分布電容的式(3)畫出，可以看出根據(jù)式(3)的理論模型的綠線與實測數(shù)據(jù)擬合的紅線有很好的的擬合程度，其中相關系數(shù)R2與1非常接近，見表1. 在相同夾角下，紅線與藍線差值在各個d上基本一致，說明分布電容的存在，在數(shù)據(jù)處理中必須要考慮，由表1中看出，實驗值的最好結果與國際科學協(xié)會公布的基礎物理學常量中的真空電容率ε0相對偏差僅為0.11%.

圖3和表1的結果說明：1)建立的理論模型和實際吻合度高，合理解釋了實際情況；2)測量過程中分布電容需考慮，反映在非線性擬合函數(shù)最后會有待定參數(shù)項；3)在本科實驗教學中，能夠通過簡單的模型搭建，可行的實驗方法可以得到準確度較高的真空電容率，可以用此方法拓展，設計實驗方法測量電介質(zhì)的相對電容率.

實驗中對板間距d的測量范圍進行了限制，這是通過對ε0進行不確定度分析得到的. 對ε0進行不確定度分析可以獲得各測量量對不確定度的影響，從而減小因?qū)嶒灉y量造成的ε0的不確定度.

由式(4)可知，夾角θ的不確定度u(θ)、夾角φ的不確定度u(φ)、板間距d的不確定度u(d)、電容C的不確定度u(C)和分布電容C′的不確定度u(C′)對真空電容率ε0的不確定度u(ε0)都有影響，而該影響可通過標準不確定度的傳遞公式進行計算，形式如下：

(5)

為便于描述不同物理量的不確定度對于u(ε0)的貢獻，可利用

將式(5)改寫成

u2(ε0)=Δε02(d)+Δε02(θ)+Δε02(φ)+

(6)

通過式(6)的計算，可以得到當角分別度為0.002～0.010時，由d,θ,φ,C,C′的不確定度(圖4中對應的不同顏色曲線)引起的對應真空電容率計算值的變化量Δε0隨板間距d變化的關系圖，如圖4所示.

(a)θ=0.002 rad

(b)θ=0.004 rad

(c)θ=0.006 rad

(d)θ=0.008 rad

(e)θ=0.010 rad圖4 當兩極板間夾角θ不同時，由d，θ，φ，C，C′的不確定度引起的真空電容率計算值的變化量Δε0隨板間距d變化的關系圖

4 結束語

考慮到邊緣效應和分布電容的非平行板電容公式模型，提出了更為精準的測量真空電容率ε0的方法，并指出了是否考慮非平行、邊緣效應和分布電容是影響測量精度的主要原因. 進一步修正了模型，并提出了通過分析不確定度以限定板間距測量范圍的方法，從而進一步提高實驗結果的精度，使真空電容率測量相對偏差下降到0.6%以下.