福建省莆田市教師進修學院 (351100) 林 偉

1.什么是數(shù)學閱讀

在當今數(shù)學教學中，對于數(shù)學閱讀沒有嚴格的概念界定，但國內(nèi)外專家對數(shù)學閱讀的內(nèi)涵做了很多研究.國外學者貝爾[1]認為數(shù)學閱讀和一般閱讀不大相同，數(shù)學閱讀要求精確、條理、靈活和精力集中.在閱讀課本時，讀者必須了解每個數(shù)學術語和符號的精確含義，沒有含蓄、猜測的余地.邵光華[2]認為數(shù)學閱讀過程同一般閱讀過程一樣，是一個完整的心理活動過程，但由于數(shù)學語言的符號化、邏輯化及嚴謹性、抽象性等，數(shù)學閱讀有不同于一般閱讀的特殊性.辛志強[3]認為數(shù)學閱讀理解能力是發(fā)揮數(shù)學潛能的重要前提，但它有自己的特殊性，數(shù)學課應該重視閱讀理解教學，具體教學對策包括建構結構化的知識、適當?shù)脑J知訓練等.綜上，筆者認為數(shù)學閱讀是指：在一般閱讀中，由于閱讀材料包含著數(shù)學符號、數(shù)據(jù)圖表、遞推關系等數(shù)學的語言，必須通過抽象概括、數(shù)據(jù)分析、推理論證等一系列數(shù)學活動才能洞悉理解的閱讀.因而數(shù)學閱讀教學是強化數(shù)學應用意識，拓展數(shù)學思維，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要途徑.

2.數(shù)學閱讀的意義

2.1 數(shù)學閱讀是踐行數(shù)學文化育人的植入點

數(shù)學教學中應當創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì).以數(shù)學文化為背景的數(shù)學閱讀，既體現(xiàn)了數(shù)學與生活、科技的聯(lián)系，又凸顯了數(shù)學文化的美，體現(xiàn)了數(shù)學文化育人的價值.在數(shù)學課程新教材中常見“閱讀與思考”，“探究與發(fā)現(xiàn)”等閱讀教學的內(nèi)容.

例1 祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積[4]

祖暅，字景爍，祖沖之之子，范陽郡薊縣(今河北省淶源縣)人，南北朝時代的偉大科字家，祖暅在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上，于5世紀末提出下面的體積計算原理:祖暅原理:“冪勢既同，則積不容異”.“勢”即是高，“冪”是面積.意思是,如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等,那么這兩個幾何體的體積相等……

利用祖暅原理推導球的體積(圖2.1.3)，取一個底面半徑和高均為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，利用祖暅原理可得，所得的幾何體體積和半球的體積相等.

分析：通過材料的閱讀讓學生到領悟在數(shù)學文化中蘊含著數(shù)學的思想和方法.利用祖暅原理探究空間立體幾何圖形的體積，首先對概念的認識要有數(shù)形結合的數(shù)學思想，夾在兩個平行平面間的幾何體(圖2.1.1)形象描述了概念的內(nèi)容；其次對概念的理解隱含著化整為零，以直代曲的數(shù)學思想，對比一摞堆放在桌面上的紙所形成的不同幾何體(圖2.1.2)形象解釋了概念的內(nèi)涵；最后對祖暅原理的運用體現(xiàn)化歸與轉化的數(shù)學思想，構造與半球球體積相等的幾何體(圖2.1.3)是圓柱的中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐,所得的幾何體.

圖2.1.3

2.2 數(shù)學閱讀是深化數(shù)學應用意識的著力點

數(shù)學是源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學與人類生活和社會發(fā)展有著緊密的聯(lián)系.數(shù)學的應用更是滲透到各個自然科學，融入到現(xiàn)代的生活和人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€領域.通過數(shù)學閱讀能幫助學生認識科技應用，掌握現(xiàn)代化生活，深化學生數(shù)學應用的意識.

例2 二維碼有用盡的那一天嗎？

進入21世紀，智能手機和互聯(lián)網(wǎng)技術飛速發(fā)展，讓中國的支付方式邁進了移動支付時代，如今移動支付已成為市民消費的新習慣.我們越來越習慣“掃碼支付”，“掃碼入群”，“掃碼領紅包”…這些都離不開對二維碼的讀取，那么二維碼會有用盡的一天嗎？

首先我們來了解二維碼的基本生成，常見的二維碼是矩陣形式，通過算法中的二進制來進行信息的存儲.如圖2.2.1在分割的小正方形中通過黑、白像素進行編碼，黑點表示二進制“1”，白點表示二進制的“0”.

圖2.2.1 圖2.2.2

當然一個標準合格的二維碼不僅僅只有代表二進制的數(shù)據(jù)碼，其中還設置了定位碼、校驗碼、糾錯碼等.有的二維碼還設置了特殊的多邊形圖案用來增強二維碼的識別性能.比如筆者微信生成的一個二維碼(圖2.2.2)，以上面這種規(guī)格的二維碼為例，里面可以涂成黑白色的格子至少有1000個.這1000個方格任意涂成黑白色的涂法總共有21000種.我們保守估計數(shù)據(jù)碼只占其中的20%，這相當于是這1000個方格中只有200個格子作為數(shù)據(jù)碼！那么，二維碼數(shù)據(jù)碼就至少相當于是200個方格任意涂成黑白色，而這種涂法總共有2200種.因此，這種規(guī)格的標準合格的二維碼的數(shù)量至少是2200=160693804425899027554196209234116260252220299 3782792835301376個.假設全地球人平均每人每天生成1萬個二維碼，那么用盡這種規(guī)格的二維碼需要至少100000000,00000000,00000000,00000000年.

分析：在日常生活的一般閱讀中，往往也滲透著數(shù)學閱讀.隨著現(xiàn)代化科技發(fā)展，計算機二維碼的產(chǎn)生原理中融入了數(shù)學二分法的思想.“二維碼會有用盡的一天嗎？”用數(shù)理的運算來回答這個問題，有理有據(jù).通過文章的閱讀，數(shù)理的推算也隱含著函數(shù)的性質(zhì)，認識到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，感受到指數(shù)函數(shù)的“爆炸式”增長.

2.3 數(shù)學閱讀是融入數(shù)學高考試題的關注點

隨著新課標的實施，數(shù)學高考試題更加的貼近生活實際，編入了體現(xiàn)弘揚數(shù)學傳統(tǒng)文化的試題，增加了富有時代氣息的數(shù)學實際應用的試題，特別是加強了對以統(tǒng)計素材為依托的數(shù)學應用能力的考查.這些試題提高了學生對數(shù)學閱讀能力的要求，凸顯了數(shù)學工具在解決實際問題中的作用.

例3 (2019年高考數(shù)學全國Ⅰ卷·理21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設α=0.5，β=0.8．

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

分析：在2019年高考數(shù)學理科全國Ⅰ卷中，概率與統(tǒng)計的解答題題位后置到第21題，它充分體現(xiàn)了高考對數(shù)學閱讀素養(yǎng)的考查越來越重視，對數(shù)學閱讀能力的要求越來越高.本題以醫(yī)學上的藥物試驗為背景，考查了離散型隨機變量的分布列，等比數(shù)證明等知識點，考查了抽象概括，推理論證等數(shù)學能力以及數(shù)學應用的意識.學生能通過知識背景的閱讀分析，抽象出變量之間的遞推關系式是解決本題的關鍵點.

3.數(shù)學閱讀教學

史寧中教授將高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)歸結為“三會”，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言來表達現(xiàn)實世界.數(shù)學閱讀正是通過對文字、符號、圖表等語言的閱讀來獲取信息，認識世界，發(fā)展數(shù)學思維.數(shù)學的閱讀教學根據(jù)閱讀內(nèi)容和考查性質(zhì)的不同，可劃分為三種類型：數(shù)學材料的閱讀教學，數(shù)學概念的閱讀教學，數(shù)學習題的閱讀教學.

3.1 數(shù)學材料的閱讀教學——懂其理得其意

數(shù)學材料的閱讀內(nèi)容豐富，途徑多樣.諸如：必修教材中的“閱讀與思考”，“探究與發(fā)現(xiàn)”，選修教材中的“數(shù)學史選講”，還有網(wǎng)絡生活中涉及數(shù)學的閱讀比比皆是.這些數(shù)學材料的閱讀多數(shù)是通過學生自主閱讀的方式進行.

數(shù)學材料的閱讀教學關鍵是激發(fā)學生的閱讀興趣，了解數(shù)學的價值.教師可以結合課堂內(nèi)容引導學生閱讀的方向，布置閱讀的任務，提供閱讀交流的平臺.數(shù)學材料的閱讀教學重在引導學生懂材料中蘊含的數(shù)學知識的理，得材料中所表達的數(shù)學價值的意.如上述教材中“祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積”的閱讀，教學可通過對閱讀目標的設立可引導學生自主閱讀.

(1)知識與技能：理解祖暅原理的內(nèi)容，了解利用祖暅原理推導柱體、椎體、球體的體積，掌握柱體、椎體、球體的體積公式；

(2)過程與方法：利用數(shù)形結合的方法融合信息技術可通過幾何畫板作圖演示祖暅原理的內(nèi)容，也可以利用小組合作的形式布置制作幾何體的模型，探究幾何體間體積的關系；

(3)情感與價值：通過課外時間收集數(shù)學家祖沖之、祖暅的資料，了解祖暅原理形成的背景，對比南北朝時期國內(nèi)外科學家的數(shù)學科技成就，并形成材料交流.

3.2 數(shù)學概念的閱讀教學——知其來明其用

中學數(shù)學的教學是由概念，定理，推理，公式，法則等形成一條嚴謹?shù)倪壿嬻w系.“樹無根則不穩(wěn)”，數(shù)學的概念、定理、公式等內(nèi)容往往具有很強的抽象性，不易掌握和學習.對數(shù)學概念的教學就需要引導學生經(jīng)歷概念的生成，知其來方能明其用.從概念到性質(zhì)，再從性質(zhì)到應用，體驗數(shù)學知識的學習是自然而然水到渠成的過程.

重視數(shù)學概念生成的閱讀教學.概念的生成都有豐富的現(xiàn)實意義和歷史背景，如人教A版2019年新編普通高中教科書數(shù)學必修第一冊，對函數(shù)概念的學習，首先是通過對現(xiàn)實的4個問題：“問題1復興號高速列車路程和時間的關系”，“問題2電氣維修公司工人工資與工作天數(shù)的關系”，“問題3北京空氣質(zhì)量指數(shù)和時間的關系”，“問題4居民的恩格爾系數(shù)和年份的關系”的閱讀認識數(shù)學變量之間的對應關系，再通過對關系式、圖形、表格的閱讀、理解、分析，從而抽象出函數(shù)的概念.同時教材在本章末的“閱讀與理解”中還編寫了關于函數(shù)概念的閱讀材料“函數(shù)概念的發(fā)展歷史”，充分體現(xiàn)了函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學技術的實際需要的緊密聯(lián)系.

重視數(shù)學概念定義的閱讀教學.數(shù)學的概念都具有高度的抽象性，敘述精煉但含義深刻，所以對數(shù)學概念的閱讀教學要通過精讀概念的語句，推敲關鍵的字眼，深挖符號的含義，才能準確的理解概念的內(nèi)涵.如函數(shù)概念閱讀教學中對“對于集合A中的任意一個數(shù)”，閱讀要引導學生探討“任意”的含義，并不是“一個，兩個，無數(shù)個”能代替“任意”含義，“任意”則必須是集合A中每一個元素都要滿足條件.

3.3 數(shù)學習題的閱讀教學——曉其法解其題

高考的核心立場是為了“立德樹人，服務選拔，導向教學”.以2019年高考理科Ⅰ卷為例，增加了大量的數(shù)學閱讀題.如，第4題以“斷臂維納斯”圖為背景，第6題以我國古代典籍《周易》為背景，第15題結合時代氣息的七場四勝制籃球賽，還有如上敘述的第21題與醫(yī)療技術關聯(lián)的藥物檢測.高考試卷中增多了數(shù)學閱讀試題，體現(xiàn)了高考加大了對數(shù)學閱讀能力的考查.我們的學生對數(shù)學閱讀題的反饋是：畏懼數(shù)學閱讀題，只要題目的閱讀量大就不明其意，無從下手.因此要重視對數(shù)學閱讀題的教學，讓學生熟悉這種題型，知曉對數(shù)學閱讀題的處理方法，從而順利解題.

數(shù)學閱讀習題的教學關鍵是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的能力，如何從題目的文字、圖形、表格等語言中抽象出所需的數(shù)據(jù)和變量的關系.數(shù)學閱讀習題的特點是題目的閱讀量較大，對于閱讀量比較大的習題，我們常根據(jù)題目的條件或求解的目標采用分解任務的方法，如上述2019年高考數(shù)學試卷理科Ⅰ卷第21題，根據(jù)求解的目標可采用分解任務的方法.

(1)求X的分布列；

任務一：X代表什么，其分布的特征是什么？

分析：X為一輪試驗中甲藥的得分，特征為相互獨立試驗.

任務二：X的可能取值是多少？

分析：根據(jù)題目信息分析，研究對象為甲藥的得分，所有可能取值為-1，0，1.

任務三：對應變量取值的概率如何求？

分析：試驗為相互獨立的試驗，可根據(jù)相互獨立試驗的概率公式分別求出P(X=-1)，P(X=0)，P(X=1)的值.

(2)(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數(shù)列.

任務一：確定pi、pi+1之間的遞推關系.

分析：pi=api-1+bpi+cpi+1，由α=0.5，β=0.8及(1)中分布列求得a=0.4，b=0.5，c=0.1．

任務二：構造pi+1-pi，pi-pi-1的關系證明其為等比數(shù)列.

分析：從證明等比數(shù)列的方法入手，欲證{pi+1-pi}(i=0,1,…,7)為等比數(shù)列，從等比的定義出發(fā)可得(pi+1-pi)=4(pi-pi-1).

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

任務一：確定題意中求pi所具備的條件.

分析：由(ⅰ)可知(pi+1-pi)=4(pi-pi-1)，且p0=0，p8=1.

任務二：通過遞推式的關系特點，構造求p4的方法.

數(shù)學的表象是生動的.數(shù)學的形美如畫，她用1.618的黃金分割成就了蒙娜麗莎的微笑；數(shù)學的音美如歌，她是華麗音階背后的等比數(shù)列；數(shù)學的意美如詩，她是“一去二三里，煙村四五家”的恬靜淡雅.數(shù)學的本質(zhì)又是嚴謹?shù)?，她是研究?shù)量關系和空間形式的科學.數(shù)學閱讀正是透過她的表象看數(shù)學的本質(zhì).數(shù)學閱讀教學就是數(shù)學抽象，邏輯推理，直觀想象,數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).重視數(shù)學的閱讀教學，讓數(shù)學的閱讀教學走進課堂，融入生活刻不容緩.