陳偉莎

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中有著重要的作用，學(xué)會使用分類思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要作用。本文主要總結(jié)了從七年級至今的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對分類討論思想的思考、總結(jié)、歸納。可以從概念、取值范圍、幾何中的特定位置等多角度思考問題，從而讓問題得到全面地解決。

1 與“分類討論”的接觸

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，答案基本都是唯一的，選項(xiàng)也是唯一的。同學(xué)們對數(shù)學(xué)問題的理解都是單一性的。進(jìn)入的學(xué)習(xí)之后，這樣的思維被打破，有很多問題的答案不再是唯一，在思考問題的時候也不能只是找到符合問題即可，而是要找到所有符合條件的答案。

第一次碰到這個問題是在七年級數(shù)軸的學(xué)習(xí)中。

例：在數(shù)軸上和原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)表示的數(shù)字是________________。

很多同學(xué)的答案是2。然后是在絕對值的學(xué)習(xí)中也是同樣的問題。

在后來的學(xué)習(xí)過程中，很多問題都會有多個答案。自此，同學(xué)們認(rèn)識到了“分類討論”思想的重要性。

2 對“分類討論”的認(rèn)識

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常能遇到，在學(xué)習(xí)過程，分類討論思想越來越體現(xiàn)其重要性。需要用到分類討論思想的時候，總是在問題約束條件不夠的情況下，或者不清楚屬于哪一類的情況下運(yùn)用。例如：請比較a與-a的大小。這個問題中的a不確定是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，所以最終無法確定a與-a的大小關(guān)系。此時簡答題中需要判斷大小關(guān)系的時候，就需要進(jìn)行分類討論。

“分類討論”思想可以按照下面步驟進(jìn)行處理：（1）確定問題是否需要進(jìn)行分類討論;（2）確定分類的對象，對誰進(jìn)行分類討論;（3）確定分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類，做到不重不漏;（4）逐類進(jìn)行討論;（5）綜上所述，得出結(jié)論。

3 對“分類討論”的運(yùn)用

3.1 根據(jù)概念進(jìn)行分類

學(xué)到八年級，數(shù)學(xué)中有很多概念都是需要進(jìn)行分類討論，距離、絕對值、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、三角形、等腰三角形等。在學(xué)習(xí)過程，要求對概念必須十分熟悉才可以，不能遺漏，但也不能重復(fù)。

例：請比較a與-a的大小。

分析：對本題產(chǎn)生困惑的原因是不知道a以及-a的正負(fù)情況，只是清楚它們的符號不同。所以本題考查的是有理數(shù)的分類。本題根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類，可以將a分為三類：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，在三種情況下，分別比較出a與-a的大小。

在這類定義問題的解決過程中，分類必須要清楚，以上題為例，對有理數(shù)的分類必須要清楚，不能重復(fù)，也不能遺漏，尤其是對0的這一類，常常會被忽略。

3.2 根據(jù)字母的取值范圍進(jìn)行分類

七年級開始，很多的概念和數(shù)學(xué)規(guī)律都可以用字母來簡單的表示。雖然用字母表示數(shù)還沒提出，但是在平時的學(xué)習(xí)中，卻經(jīng)常能用到。

分析：本題考查絕對值的定義，對絕對值的理解是七年級數(shù)學(xué)中的一個難點(diǎn)，注意從數(shù)形結(jié)合入手，其本質(zhì)就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，所以|a|可以看成表示a與表示0（即原點(diǎn)）之間的距離。當(dāng)|a|=3時，因?yàn)闊o法確定a>0或a<0，所以a有兩種可能3或-3，同樣b也有兩種可能，由于a>b，所以本題需要進(jìn)行分類討論再確定a+b的值。

3.3 根據(jù)幾何圖形的特征進(jìn)行分類

在幾何圖形的學(xué)習(xí)中，由于幾何圖形中的線段有特定的位置，特定的條件。所以在學(xué)習(xí)的過程同學(xué)們除了要注意線段的長度還要注意它的位置。

因此這種情況不存在，舍去。

綜上所述，腰長為5cm。故選A。

3.4 實(shí)際問題中的分類

這類問題對學(xué)生來說需要一些生活經(jīng)驗(yàn)，有時候條件是題目給出的，有時候的條件卻是需要從實(shí)際生活中得出的。

例：某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶， 西裝每套定價(jià)200元， 領(lǐng)帶每條定價(jià)40元。廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案。

方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶;

方案二：西裝和領(lǐng)帶均按定價(jià)的90%付款（兩種優(yōu)惠方案不可同時采用）。

某商店老板要到該服裝廠購買西裝20套和領(lǐng)帶若干條（超過20條）， 請你幫助商店老板選擇一種較省錢的購買方案。

分析：因已知條件中未明確所購領(lǐng)帶的具體數(shù)量，因而較省錢的購買方案是不確定的， 而是由不同的領(lǐng)帶購買數(shù)量所決定的。

解：設(shè)商店老板需購買領(lǐng)帶x條， 則

按方案一購買， 應(yīng)付款200×20 +（x-20）×40=40x+3200（元）

按方案二購買， 應(yīng)付款（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）

設(shè)y =（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）

10 當(dāng)y<0時，

4x-400 <0 ， 即20

方案一比方案二省錢;

20 當(dāng)y=0 時，

4x-400=0 ， 即x=100 ，

方案一與方案二同樣省錢;

30 當(dāng)y>0 時，

4x-400>0 ， 即x>100 ，

方案二比方案一省錢。

綜上所述， 當(dāng)購買領(lǐng)帶超過20 條而不到100 條時， 選擇方案一省錢;

當(dāng)購買領(lǐng)帶等于100 條時， 選擇兩種方案同樣省錢;

當(dāng)購買領(lǐng)帶超過100條時，選擇方案二省錢。

4 總結(jié)

以上提及的是我在一年多學(xué)習(xí)中，對分類思想的總結(jié)歸納。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，分類討論思想時時刻刻會出現(xiàn)在問題中，相信這是初中數(shù)學(xué)中一個重要的數(shù)學(xué)思想。在一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，老師不斷在課堂上題型我們滿足條件的結(jié)果都要得出，不斷地提及分類討論思想。同學(xué)們，在思考問題也不再變得那么單一，考慮問題也相對比較全面。多角度思考問題，對我們學(xué)習(xí)其他的學(xué)科也是十分有用。

（作者單位：浙江省諸暨市趙家鎮(zhèn)初級中學(xué)）