江蘇省張家港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (215600) 何 威

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，尤其在高三復(fù)習(xí)課中，解題教學(xué)是不可忽視的一環(huán).在各類模擬卷中，很多類似的題目會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，有時(shí)卻難以取得良好的教學(xué)效果，出現(xiàn)“聽得懂、不會(huì)做”的現(xiàn)象.有時(shí)教師會(huì)出現(xiàn)根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)處理問(wèn)題，忽略學(xué)生真正的困難，導(dǎo)致課堂演變成一言堂.問(wèn)題年年相似，學(xué)生年年不同，解題教學(xué)的實(shí)效如何，關(guān)鍵在于了解學(xué)生的思維困難，是策略選擇的問(wèn)題還是細(xì)節(jié)處理不當(dāng)？教師站在學(xué)生的角度看問(wèn)題，分析疑難所在，在學(xué)生的能力成長(zhǎng)點(diǎn)上著力，并總結(jié)、品味解題經(jīng)驗(yàn).

下面筆者以學(xué)生遇到的細(xì)節(jié)疑難為例，談一談自己的思考，與大家交流.

一、試題呈現(xiàn)

二、過(guò)程釋疑

師：這道題做的不甚理想，同時(shí)也是一道很有價(jià)值的題目，請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)自己的想法.

師：是個(gè)很好的角度，這里的換元轉(zhuǎn)化等價(jià)嗎？a,b∈R+如何體現(xiàn)呢？

師：這里的φ是變量嗎？

圖1

生3：我根據(jù)齊次式的特征，可以通過(guò)換元實(shí)現(xiàn)減元，化為一元函數(shù)問(wèn)題.

師：非常好，除了觀察次數(shù)這一角度，還有沒有其他地方出現(xiàn)平方加平方這樣的特征？

生4：我看它跟點(diǎn)到直線的距離公式比較接近，想構(gòu)造試試看.

圖2

師：抓住幾何意義去看，幾乎不用動(dòng)筆算.看來(lái)思維的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，解題的長(zhǎng)度就越小啊.在形的結(jié)構(gòu)下，還有出現(xiàn)平方式的地方嗎？

圖3

至此，筆者引導(dǎo)學(xué)生綜合多種解法，端點(diǎn)的取舍關(guān)鍵在于變量范圍的跟蹤與傳遞.而式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是決定公式選取的關(guān)鍵，例如齊次式是換元、減元的信號(hào).

變式練習(xí)：(2019江蘇高考熱身AB卷)已知正數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值為.

三、教學(xué)啟示

1.解題教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別問(wèn)題，促進(jìn)方法聯(lián)想的有效性

高三教學(xué)雖是以復(fù)習(xí)為主，但學(xué)生只具備了基礎(chǔ)知識(shí)，在變化的問(wèn)題情景中綜合能力還有待提高.關(guān)鍵在于對(duì)問(wèn)題特征的細(xì)化分析，即已知是什么，未知是什么？你能從中聯(lián)想到什么？善于解題的人，要多觀察問(wèn)題中出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)特征，比如定義、定理、公式的“型”，從整體上、本質(zhì)上感知這些數(shù)學(xué)元素“長(zhǎng)什么樣子”，這是進(jìn)行合理聯(lián)想的基礎(chǔ).引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)有的問(wèn)題與已有的某些知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，從共性中提煉本質(zhì)，區(qū)分核心主干與細(xì)枝末節(jié)，讓學(xué)生真正識(shí)別問(wèn)題，促進(jìn)聯(lián)想合理、自然、有效.

2.解題教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)，從細(xì)節(jié)處鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

以該題為例，它的解法很多，主要用到了三角換元法、齊次式減元法、構(gòu)造直線法、構(gòu)造向量法、柯西不等式等.無(wú)論是采取哪種方法，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是成功的前提.學(xué)生們錯(cuò)誤多寫成(0,5],難點(diǎn)在于左端點(diǎn)的范圍，主要是對(duì)已知條件a,b∈R+的忽略.如在三角換元法中，限定了角φ的范圍，在構(gòu)造直線法中，限定了直線l：2ax+by=0變動(dòng)的區(qū)域等等.反思這些問(wèn)題，有助于提升學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，知道解題的切入點(diǎn)是什么，運(yùn)算的細(xì)節(jié)難點(diǎn)如何突破.解題中一個(gè)小的細(xì)節(jié)不注意，常常導(dǎo)致“行百步者半九十”，這恰恰是學(xué)生真正發(fā)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，所以應(yīng)精心分析總結(jié)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，舍得在教學(xué)上花時(shí)間，從而減少“反復(fù)講反復(fù)錯(cuò)”的現(xiàn)象.

3.解題教學(xué)應(yīng)注重發(fā)揮題目的內(nèi)蘊(yùn)功能，在數(shù)學(xué)審美中實(shí)現(xiàn)思想升華

德國(guó)教育家斯普朗格曾說(shuō)：“教育的最終目的不是傳授已有的東西，而是要把人的創(chuàng)造力誘導(dǎo)出來(lái)，將生命感、價(jià)值感喚醒.”一個(gè)題目解完，回過(guò)頭再審視時(shí)，可以讓學(xué)生談?wù)勈斋@，談?wù)劯杏X最妙的地方，在平時(shí)糾錯(cuò)中形成反思、品評(píng)的習(xí)慣.教師在解題教學(xué)中，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生回顧解題的策略與方法，讓學(xué)生產(chǎn)生新奇感、產(chǎn)生美感，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感.在解決當(dāng)前問(wèn)題中對(duì)知識(shí)再梳理、再聯(lián)通、再創(chuàng)造，實(shí)現(xiàn)從具體問(wèn)題到一般問(wèn)題的思辨，從方法技巧到數(shù)學(xué)思想的升華，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及追求真理的內(nèi)在動(dòng)力.