程春蕊，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 河南 鄭州 450015)

混沌是一種復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，在物理和工程中有很多潛在應(yīng)用，因此混沌系統(tǒng)的同步控制引起了廣泛關(guān)注[1-2].分?jǐn)?shù)階微積分跟整數(shù)階微積分幾乎有同樣長的歷史,但應(yīng)用背景的缺乏及理論的復(fù)雜性使其發(fā)展緩慢.近年來,越來越多的學(xué)者針對分?jǐn)?shù)階混沌控制和同步開展了研究[3-6].文獻(xiàn)[7]研究了分?jǐn)?shù)階時滯金融系統(tǒng)的滑模同步.文獻(xiàn)[8]研究了分?jǐn)?shù)階Van der pol振子網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模同步.文獻(xiàn)[9]研究了分?jǐn)?shù)階不確定異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.在實踐中，由于被控對象的結(jié)構(gòu)變化、測量誤差及建模誤差等，混沌系統(tǒng)存在模型不確定性和外部擾動問題，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降.因此，模型不確定性和外部擾動的混沌同步問題是一個重要的研究課題.文獻(xiàn)[10]研究了具有不確定性和外部擾動的金融混沌系統(tǒng)的同步問題.文獻(xiàn)[11]研究了一類整數(shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的追蹤控制與同步.在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，筆者結(jié)合自適應(yīng)控制及終端滑?？刂?，研究具有模型不確定性和外部擾動項的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的同步問題.首先構(gòu)造含有積分項的終端滑模面，證明誤差系統(tǒng)在滑模面上具有穩(wěn)定性；然后設(shè)計滑?？刂破饕约白赃m應(yīng)律，使誤差系統(tǒng)軌跡到達(dá)滑模面；最后,通過數(shù)值仿真證明所提方法的有效性.

1 整數(shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的滑模同步

R?ssler混沌系統(tǒng)[11]為

其中：x1,y1,z1為系統(tǒng)狀態(tài)量.

當(dāng)a=0.2,b=0.2,c=5.0時，出現(xiàn)混沌吸引子.初值(x1(0),y1(0),z1(0))取(2,2,2)時,系統(tǒng)狀態(tài)量x1的時域波形圖和系統(tǒng)相圖如圖1，2所示.

圖1 x1的時域波形圖

圖2 系統(tǒng)相圖

設(shè)計主系統(tǒng)為

(1)

設(shè)計從系統(tǒng)為

(2)

其中：y=[y1,y2,y3]T為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,Δfi(y)(i=1,2,3)為系統(tǒng)的不確定項,di(t)(i=1,2,3)為外部擾動,ui(t)(i=1,2,3)為控制器.

定義誤差ei=yi-xi(i=1,2,3), 則有

(3)

假設(shè)1不確定項Δfi(y)(i=1,2,3)和外部擾動di(t)(i=1,2,3)均有界，則存在常數(shù)mi,ni>0(i=1,2,3)，滿足

|Δfi(y)|

假設(shè)2mi,ni(i=1,2,3)未知.

定理1若系統(tǒng)(3)滿足假設(shè)1，2, 則構(gòu)造非奇異終端滑模面為

設(shè)計控制器為

并取自適應(yīng)律為

系統(tǒng)不在滑模面上運(yùn)動時,構(gòu)造V(t)為

求導(dǎo)可得

[e1+ae2+λ2e2+Δf2(y)+d2(t)+u2(t)]+s3(t)[y3y1-x3x1-ce3+λ3e3+Δf3(y)+d3(t)+u3(t)]=

2 分?jǐn)?shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的滑模同步

定義1[13]定義函數(shù)u(t)階數(shù)為α的Caputo分?jǐn)?shù)階積分為

定義2[13]定義函數(shù)x(t)的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

設(shè)計分?jǐn)?shù)階主系統(tǒng)為

(4)

其中：q∈(0,1).

設(shè)計從系統(tǒng)為

(5)

其中：y=[y1,y2,y3]T為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,Δfi(y)為系統(tǒng)的不確定項,di(t)為外部擾動,ui(t)為控制器.

定義誤差ei=yi-xi,則有

(6)

引理2[15]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則對任意的t≥0有

并取自適應(yīng)律為

從而

故滑模面是穩(wěn)定的.

λ1e1+Δf1(y)+d1(t)+u1(t)]+s2(t)·[e1+ae2+λ2e2+Δf2(y)+d2(t)+u2(t)]+

s3(t)[y3y1-x3x1-ce3+λ3e3+Δf3(y)+d3(t)+u3(t)].

(7)

將控制器及自適應(yīng)律代入(7)式，且由假設(shè)1，2可得

3 數(shù)值仿真

下面通過實例證明所提方法的有效性.

例1整數(shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的滑模同步.

在定理1中,設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為a=0.2,b=0.2,c=5.0, 不確定項為

Δf1(y)=cos(2πy2),Δf2(y)=0.5cos(2πy3),Δf3(y)=0.3cos(2πy2),

外部擾動為d1(t)=0.2cost,d2(t)=0.6sint,d3(t)=cos3t,此時定理1中主系統(tǒng)為

從系統(tǒng)為

對應(yīng)的誤差系統(tǒng)為

(8)

利用Matlab對上述系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,得到系統(tǒng)(8)的誤差曲線如圖3所示.

圖3 系統(tǒng)(8)的誤差曲線

從圖3可以看出,狀態(tài)變量e1,e2,e3在設(shè)計的控制器作用下,很快收斂至零點(diǎn)并保持穩(wěn)定，這表明具有不確定性及外界擾動的整數(shù)階主從R?ssler混沌系統(tǒng)能實現(xiàn)同步、所提方法取得了較好的控制效果．

例2分?jǐn)?shù)階R?ssler混沌系統(tǒng)的滑模同步.

在定理2中，設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)為a=0.2,b=0.2,c=5.0,q=0.9, 不確定項為

Δf1(y)=cos(2πy2),Δf2(y)=0.5cos(2πy3),Δf3(y)=0.3cos(2πy2),

外部擾動為d1(t)=0.2cost,d2(t)=0.6sint,d3(t)=cos3t,此時定理2中對應(yīng)的誤差系統(tǒng)為

(9)

利用Matlab對上述系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真,得到系統(tǒng)(9)的誤差曲線如圖4所示.

圖4 系統(tǒng)(9)的誤差曲線

從圖4可以看出,狀態(tài)變量e1,e2,e3在設(shè)計的控制器作用下,很快收斂至零點(diǎn)并保持穩(wěn)定，這表明具有不確定性及外界擾動的分?jǐn)?shù)階主從R?ssler混沌系統(tǒng)能實現(xiàn)同步、所提方法取得了較好的控制效果．

4 結(jié)束語

針對具有模型不確定性和外部擾動的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階R?ssler混沌系統(tǒng), 分別提出了適合系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步方法.構(gòu)造了適當(dāng)?shù)慕K端滑模面,使系統(tǒng)誤差在滑模面上收斂于零.設(shè)計了控制律，將誤差系統(tǒng)軌跡驅(qū)動至滑模面上，保證了滑模運(yùn)動的發(fā)生，實現(xiàn)了整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階主從R?ssler混沌系統(tǒng)的同步.數(shù)值仿真結(jié)果表明所提方法具有較好的同步效果和較強(qiáng)的抗干擾能力.