顧 鵬， 喬琛凱， 林興德， 劉書魁， 杜 強， 幸浩洋， 唐昌建

(四川大學物理學院， 成都 610064)

1 引 言

大量研究表明，人們所觀測到的可見物質(zhì)在宇宙中只占了5%左右，還有27%的物質(zhì)并不了解, 這些物質(zhì)幾乎不參與人們所知的所有相互作用，卻又在宇宙中扮演著重要角色，我們稱之為暗物質(zhì)[1-3]，剩余68%則是暗能量. 在探測暗物質(zhì)的過程中，暗物質(zhì)事件是稀少的，即使探測到暗物質(zhì)信號也會被淹沒在無數(shù)的本底信號中，尤其是gamma以及中子信號[4].這些信號無法完全屏蔽，只能通過能譜分析將其排除，因此必須研究清楚這些已知粒子的能譜構成，才能有效篩選出我們想要的信號. 也因此在暗物質(zhì)探測中，理解本底并消除本底至關重要[5].

低能區(qū)的本底能譜結構復雜，對于光子能譜，在低能部分的康普頓能譜受到原子結構影響很大，因此研究低能康普頓散射對解析低能本底有重要作用[6]. 我們研究了康普頓散射在模擬軟件中的過程，不但有助于實驗進行，還能通過實驗結果驗證模擬的不足，從而改進模擬的效率和正確性，推進實驗進程.

在粒子物理和和物理實驗方法中，經(jīng)典康普頓散射理論假設電子是自由電子，并且假設電子在碰撞前處于靜止狀態(tài)，微分截面由Klein-Nishina公式給出[7]. 然而實際上原子中的電子并非是自由的，這些電子被束縛在原子殼層中，不但會受到原子核的束縛以及其他電子影響，并且還帶有一定的動量. 原子的束縛效應和束縛電子的運動都會對康普頓能譜產(chǎn)生較大影響，在低動量傳遞下的康普頓散射中表現(xiàn)得尤為明顯. 因此在低動量傳遞的康普頓散射中，經(jīng)典康普頓散射理論已經(jīng)不再適用. 本文通過模擬來研究低能區(qū)的康普頓散射，探究原子的束縛效應對康普頓散射的影響.

2 原子康普頓散射理論

康普頓散射是描述光子與自由電子之間的碰撞而產(chǎn)生的散射效應，經(jīng)典Klein-Nishina理論中的微分截面用如下公式進行計算，

其中, ωf是出射光子能量，ωi是入射光子能量，θ是對應的散射角，r0是經(jīng)典電子半徑. 經(jīng)典康普頓散射能譜如圖1所示.

圖1 模擬經(jīng)典康普頓散射能譜，橫軸為光子在鍺探測器中的沉積能量Fig.1 Classical Compton scattering spectrum in simulation, the x-axis is the deposition energy in germanium detector

然而在實際探測中必須考慮在低動量傳遞下束縛電子的對康普頓散射的影響，為了描述這一影響，人們已經(jīng)發(fā)展出來一些新方法. 這些方法中，具有代表性的是Impulse Approximation(IA)理論[8]，在這種理論框架下，康普頓散射微分截面通過一個叫做散射函數(shù)的因子進行修正.

散射函數(shù)是描述在康普頓效應中實際參與過程的等效電子數(shù)，該函數(shù)與兩個參數(shù)有關，一個是初始光子能量，另一個是康普頓散射角. 雖然散射函數(shù)依賴兩個變量，但是在計算中不需要分別處理兩個變量，可以將其轉(zhuǎn)變成一個單獨變量x.

x相當于動量傳遞，因此研究低動量傳遞的康普頓效應實際上需要做的就是讓入射光子能量盡量低，散射角度盡量小.

3 康普頓散射模擬

3.1 康普頓散射模擬算法

本文采用Geant4.10.3進行模擬工作，該軟件對于模擬實驗具有很高的指導價值，其中關于康普頓效應，該軟件建立了幾個模擬低動量轉(zhuǎn)移康普頓效應的算法模型，分別是Livermore模型[9]、Penelope模型[10]、Monash模型[11]以及經(jīng)典康普頓效應模型. 前三個模型就是以IA理論作為框架而設計的幾種算法模型.

軟件中Livermore模型是建立在IA理論上的兩體碰撞，只有一個散射平面，處理散射函數(shù)時，使用了Hubbell的理論計算數(shù)據(jù)[11]，并用解析函數(shù)進行了擬合，將Hubbell的數(shù)據(jù)連續(xù)化. Monash模型是由澳大利亞的Monash大學設計，他們將粒子的運動分解為三維運動，粒子不局限于一個散射平面，而散射函數(shù)的處理方法與Livermore模型相同. Penelope模型是根據(jù)阿根廷科爾多瓦大學的算法進行設計的，對粒子運動的處理與Livermore模型相同，散射函數(shù)則是通過插值法將Hubbell的計算數(shù)據(jù)連續(xù)化. 三個模型在光子能量適用范圍上都是100 eV～100 GeV，能量低于100 eV時，散射函數(shù)設為0.

3.2 康普頓散射模擬設置

為了模擬真實的低動量轉(zhuǎn)移康普頓散射實驗，我們用高純鍺作為主探測器，它的直徑與高都是1 cm的圓柱體，以CsI晶體閃爍體作為符合探測器，用來收集康普頓散射光子. 假設周圍環(huán)境是真空環(huán)境，以減小空氣對光子的散射而產(chǎn)生的誤差，為使模擬更簡便，將入射粒子設計成點源并固定為同一發(fā)射方向，入射光子能量為300 keV. 當光子在高純鍺探測器中發(fā)生康普頓散射后，電子會在高純鍺內(nèi)沉積能量，光子有機會不再發(fā)生其他相互作用而穿過探測器，然后被CsI閃爍體探測器收集到.

3.3 康普頓散射模擬實驗結果

圖2為模擬的所有在高純鍺探測器中發(fā)生康普頓散射的能譜. 從模擬結果上來看，在低能區(qū)域經(jīng)典康普頓散射與修正后的康普頓散射有明顯差距. IA框架下的康普頓散射在低能區(qū)都有臺階出現(xiàn)，如圖2(a)所示，并且臺階所對應的能量等于電子的電離能.而經(jīng)典康普頓散射并未有臺階出現(xiàn), 說明經(jīng)典康普頓散射并未考慮在能量接近原子中電子電離能時束縛態(tài)對電子的影響. 在康普頓散射中電子的多體效應非常明顯，使得在低能區(qū)實際參與過程的電子并非原子中全部的電子. 在康普頓散射邊緣，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)典康普頓散射是截斷的，即電子具有動量這個特征不能表現(xiàn)出來. 而在模擬中，修正后的康普頓散射能譜則表現(xiàn)出了這些信息. 由此可見，當想要真正的暗物質(zhì)信號時，必須完全了解低能本底的構成.

圖2(a)中，Livermore模型和Monash模型的主要區(qū)別在散射粒子運動學的處理上，從模擬結果上可以看出能譜幾乎重合，只有極小的差別，并且總的康普頓事例一致，這也說明電子三維的運動學對能譜影響小. 當我們關注低能區(qū)部分時，也就是接近鍺原子的束縛能時，可以發(fā)現(xiàn)Monash模型能譜在低能部分康普頓事例比Livermore模型多許多，已經(jīng)超出蒙特卡洛模擬的統(tǒng)計誤差，如圖2(b)所示. 對于Livermore模型，由于它是二維運動學模型，在處理散射角時只對極角θ進行取樣，而方位角φ當做0. Monash模型是對極角θ和方位角φ都進行了取樣. 因此Monash模型的康普頓事例也就與Livermore模型不同，它們的差異在低能部分比較明顯. Penelope模型對于康普頓散射的處理依賴于能區(qū)，入射光子能量高于5 MeV采用Klein-Nishina方法，而低于5 MeV的入射光子，則采用插值法獲得散射函數(shù)值.這個模型運動學處理依然是限定在二維的散射平面，結果與Livermore模型相近. 經(jīng)過計算，能量在原子k能級(0.011 keV)時，臺階的高度比例分別是95.92%、92.87%和96.68%，但只考慮束縛電子時，這個比例應該為93.75%.從圖中可以看到，在低能部分三個模型的差異約有10%.

圖2 三個模型的康普頓散射能譜: (a)對數(shù)坐標康普頓散射能譜; (b)線性坐標康普頓能譜

Fig.2 Compton scattering spectrum about three model: (a) logarithmic coordinates Compton spectrum; (b) linear coordinates Compton spectrum

4 結 論

本文通過Geant4模擬軟件研究了暗物質(zhì)探測中的康普頓散射背景. 在IA框架下，利用三種模擬算法：Livermore模型、Penelope模型和Monash模型進行了模擬實驗. 模擬結果顯示，與經(jīng)典康普頓散射模型相比，IA框架下的模型在低能區(qū)均有康普頓臺階出現(xiàn)，說明在IA理論下原子的束縛效應已經(jīng)被考慮進模型中. 經(jīng)過比較模型之間的差異，發(fā)現(xiàn)三者在全角度康普頓散射能譜中，高能區(qū)能譜差異并不明顯，而低能區(qū)差異較為明顯，高度大約有10%的差異. 在鍺原子k殼層能級處，三個模型的臺階比例分別為95.92%、92.87%和96.68%. 低能區(qū)10%的差異可以通過高純鍺探測器探測，并給出較為準確的結果，因此可以通過設計一個低能康普頓散射實驗來驗證模型的優(yōu)劣.