劉紅巖，趙雨霞

(1. 中國地質(zhì)大學(xué)(北京)工程技術(shù)學(xué)院，北京，100083；2. 國土資源部深部地質(zhì)鉆探技術(shù)重點實驗室，北京，100083)

凍融造成的巖體工程失效是目前寒區(qū)工程建設(shè)中常常遇到的問題，如圍巖凍脹引起的隧道襯砌開裂被認為是寒區(qū)隧道破壞的主要形式之一[1-2]。圍巖凍脹力計算是寒區(qū)隧道建設(shè)的前提和基礎(chǔ)。巖體孔隙及裂隙中的水在低溫下發(fā)生凍結(jié)，將產(chǎn)生巨大的凍脹力[3]，導(dǎo)致巖體發(fā)生進一步損傷。而后融化后的水又進入新形成的裂隙中，如此循環(huán)往復(fù)。多次凍融循環(huán)將導(dǎo)致巖體發(fā)生一系列物理變化，最終引起隧道襯砌開裂。為此許多學(xué)者從試驗、理論及數(shù)值計算等多個方面對其進行深入地研究。首先，在試驗研究方面，渠孟飛等[4]采用室內(nèi)模型試驗研究水在裂隙中遷移產(chǎn)生的凍脹力，認為襯砌凍脹力在仰拱和仰拱腳處較小，邊墻處最大，而拱頂和拱腳居中；HU 等[5]通過室內(nèi)模型試驗研究隧道襯砌結(jié)構(gòu)上的凍脹力分布特征；仇文革等[6]通過室內(nèi)試驗研究在不同約束及凍結(jié)深度下，寒區(qū)裂隙巖體隧道中的凍脹力分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)凍結(jié)深度越深、頂部約束越強，隧道圍巖的凍脹力就越大。其次，在理論研究方面，賴遠明等[7]基于黏彈性相應(yīng)原理求得寒區(qū)隧道的凍脹力和襯砌應(yīng)力；張全勝等[8]基于彈性理論提出隧道圍巖凍脹力計算方法，并采用復(fù)變函數(shù)法得到了凍融后隧道襯砌所受凍脹力計算公式；劉泉聲等[9]基于彈性力學(xué)、滲流和相變理論建立考慮水分遷移下的單裂隙凍脹力求解模型，認為凍脹力不僅隨著水分遷移通量增加而快速減小，而且還與巖石基質(zhì)及冰體的力學(xué)參數(shù)有關(guān)。最后，在數(shù)值計算方面，TAN等[10-11]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、熱動力學(xué)及分凝勢理論分別建立巖體溫度-滲流(TH)耦合模型及溫度-滲流-應(yīng)力-損傷(THMD)耦合模型，并開發(fā)了相應(yīng)的有限元數(shù)值計算程序，應(yīng)用于某隧道的凍脹計算。理論角度研究巖體及隧道圍巖凍脹力是從根本上掌握隧道凍融破壞本質(zhì)的主要途徑之一，然而盡管目前已經(jīng)取得較豐碩的研究成果，但是仍存在一定的問題。如前述理論計算模型[7-9]僅考慮單次凍脹條件下的圍巖凍脹力，沒有考慮圍巖凍脹力隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律。而隧道等實際巖體工程在服務(wù)年限內(nèi)均會經(jīng)歷多次凍融循環(huán)，也將不可避免地對巖石造成凍融損傷?？紤]巖石凍融循環(huán)損傷對圍巖凍脹力的影響則是目前亟待解決的一個重要問題。有學(xué)者已開始對該問題進行初步研究，如LIU等[12]建立考慮凍融循環(huán)引起的巖石損傷對圍巖凍脹力影響的理論模型。但是該研究仍存在3 個方面的問題需要進一步深入研究：1)在凍脹力彈性理論計算中，僅考慮凍結(jié)圍巖向襯砌方向的膨脹變形，而未考慮其向未凍結(jié)圍巖區(qū)的膨脹變形；2)在計算巖石凍融損傷時，假設(shè)每次凍脹引起的微裂紋擴展長度都相等；3)關(guān)于巖石凍脹率的計算，認為凍融前后巖石的縱波波速不變，然后得到相應(yīng)的孔隙率計算公式。由于凍融造成的損傷，巖石經(jīng)歷凍融循環(huán)后，其縱波波速必然會發(fā)生變化。為此，針對上述問題，本文作者首先闡述前人提出的基于彈性理論的圍巖凍脹力計算方法，而后結(jié)合損傷斷裂理論研究凍融循環(huán)對巖石造成的損傷，即獲得巖石彈性模量隨凍融循環(huán)次數(shù)的劣化規(guī)律，最終提出考慮巖石凍融循環(huán)損傷的隧道圍巖凍脹力計算方法。

1 基于彈性理論的圍巖凍脹力計算

圖1 所示為文獻[8]的隧道圍巖凍脹力計算模型，即將隧道襯砌和圍巖中的凍結(jié)區(qū)及未凍結(jié)區(qū)看成是由3個軸對稱彈性體相互完全接觸組成的受力體系，其中隧道為位于無限大山體中的圓形孔，a，b和c分別為襯砌內(nèi)徑、凍結(jié)區(qū)內(nèi)徑(亦為襯砌外徑)和凍結(jié)區(qū)外徑，并做如下假設(shè)：1)圍巖為均質(zhì)、各向同性的連續(xù)介質(zhì)；2)隧道襯砌及圍巖受力屬于彈性力學(xué)的平面應(yīng)變問題；3)凍結(jié)區(qū)始終處于飽和狀態(tài)；4)不考慮圍巖及隧道襯砌的自重。

設(shè)凍結(jié)圍巖發(fā)生凍脹時向襯砌方向及未凍結(jié)圍巖方向上發(fā)生的凍脹位移分別為Δh1和Δh2。σf和σh分別為由凍結(jié)圍巖作用在襯砌及未凍結(jié)圍巖上的凍脹力，這里主要關(guān)注作用在襯砌上的凍脹力σf。對襯砌而言，其可視為僅受外壓及凍脹力作用的厚壁圓筒，即為典型的軸對稱問題。因此，可以采用極坐標求解。根據(jù)彈性理論[13]，在凍脹力σf作用下，隧道襯砌的徑向位移u1(r)如下(其環(huán)向位移為零)：式中：E1和υ1分別為襯砌彈性模量與泊松比；r為模型中任一點到隧道中心的距離。

圖1 隧道凍脹力計算模型Fig.1 Calculation model of tunnel frost heaving pressure

在襯砌外徑處，即r=b時，其位移δ1為

凍結(jié)圍巖可視為同時受內(nèi)壓σf及外壓σh作用的軸對稱問題，由此可得其位移u2(r)為[13]

式中：E2和υ2分別為凍結(jié)區(qū)巖石彈性模量與泊松比。

在凍結(jié)區(qū)內(nèi)壁處，即r=b，其位移δf1為

而在凍結(jié)區(qū)內(nèi)壁處，即r=c，其位移δf2為

而未凍結(jié)圍巖可視為僅在內(nèi)壁受σh作用的軸對稱厚壁圓筒，由彈性理論可得其內(nèi)壁位移δ2為[13]

式中：E3和υ3分別為未凍結(jié)巖石彈性模量與泊松比。

根據(jù)位移連續(xù)性條件，在襯砌與凍結(jié)圍巖的接觸面及凍結(jié)區(qū)與未凍結(jié)區(qū)的接觸面應(yīng)滿足

由此可得圍巖凍脹力σf為

式 中 ：。

由式(8)可知：圍巖凍脹力不僅與模型幾何尺寸如襯砌內(nèi)徑a、凍結(jié)區(qū)內(nèi)徑(亦為襯砌外徑)b和凍結(jié)區(qū)外徑c有關(guān)，而且與模型彈性常數(shù)如襯砌彈性模量與泊松比(E1和v1)、凍結(jié)巖石彈性模量與泊松比(E2和v2)和未凍結(jié)巖石彈性模量與泊松比(E3和v3)有關(guān)，更重要的是還與圍巖凍脹率α有關(guān)。前2類參數(shù)均較容易確定，這里不再重述，下面重點探討凍脹率的確定方法。

凍脹率是巖石凍脹性的定量描述，MATSUOKA[14]對飽和巖石的凍結(jié)試驗表明：巖石凍脹率受孔隙水凍結(jié)后的體積膨脹、水熱遷移作用及巖石對凍脹的約束作用等因素的共同影響，多種不同類型巖石的凍脹率為0.1%～0.5%[14]?？紤]水熱遷移作用對巖石凍脹率的影響，夏才初等[15]提出開放條件下飽和巖石凍脹率的計算公式

式中：η為水熱遷移影響系數(shù)，凍脹敏感性巖石取1.58，非凍脹敏感性巖石取1.00；n為巖石孔隙率。

2 凍融循環(huán)下圍巖彈性模量

2.1 單條微裂紋在凍脹力作用下的起裂及擴展方向

每一次凍融循環(huán)都將對巖石造成一定程度的損傷，在細觀上則表現(xiàn)為微裂紋長度增加，而在宏觀上則體現(xiàn)為彈性模量降低。為此，從細觀力學(xué)角度，研究凍融循環(huán)對巖石彈性模量的影響，提出考慮損傷的隧道圍巖凍脹力計算方法。

將巖石中的微裂紋視為平面狀態(tài)下的扁平狀橢圓裂隙，如圖2所示，橢圓長軸2l，短軸2t，且t＜＜l。

微裂紋內(nèi)壁受到均勻的法向凍脹力p作用，經(jīng)過N次凍融循環(huán)后，微裂紋半長變?yōu)閘N，假設(shè)微裂紋沿著應(yīng)變能密度因子最小的方向擴展，即微裂紋的失穩(wěn)擴展是由于最小應(yīng)變能密度因子Smin達到材料相應(yīng)的臨界值Sc時發(fā)生，在平面應(yīng)變條件下，純I型微裂紋尖端區(qū)域應(yīng)變能密度場強度S為[16]

圖2 凍脹力作用下的微裂紋模型Fig.2 Microcrack model under frost heaving pressure

由式(11)可以確定翼裂紋起裂角θ= 0，即微裂紋發(fā)生自相似擴展。

微裂紋起裂判斷依據(jù)為

式中：KΙC為巖石斷裂韌性。

2.2 單條微裂紋在凍脹力作用下的擴展長度

當微裂隙發(fā)生凍脹作用時，其內(nèi)壁將作用均勻分布的凍脹力相應(yīng)地微裂紋將向x和y這2 個方向擴展，如圖3所示，在研究微裂紋凍脹擴展時進行以下假設(shè)[17]：1) 凍脹前后微裂紋均為平面橢圓形，即形狀不變和中心位置不變，僅大小發(fā)生變化；2)忽略水分遷移與巖石骨架變形；3)微裂紋始終飽和；4)微裂紋穩(wěn)定擴展，且符合線彈性斷裂理論。

圖3 微裂紋凍脹擴展模型Fig.3 Frost heaving propagation model of microcrack

根據(jù)Griffith 能量釋放率理論，當微裂紋中的水凍結(jié)成冰時，體積膨脹，但是由于微裂紋面的束縛，冰體對其產(chǎn)生膨脹壓力，在微裂紋周圍介質(zhì)中將產(chǎn)生彈性應(yīng)變能。當微裂紋尖端應(yīng)力強度因子K1大于斷裂韌度K1c時，微裂紋開始擴展，彈性應(yīng)變能釋放，因而有

式中：W為凍脹力做的功；Z為微裂紋周邊儲存的彈性應(yīng)變能；U為整個系統(tǒng)下降的總勢能。

假設(shè)微裂紋擴展時彈性應(yīng)變能全部釋放，則

當應(yīng)力強度因子大于等于斷裂韌度時，微裂紋開始擴展，則擴展后的微裂紋形態(tài)如圖3中的虛線所示。此時凍脹力沿微裂紋壁面法向做功，故式(14)左邊可表示為

式(14)右邊的系統(tǒng)勢能降低可用擴展力做功表示為

式中：Y為微裂隙Griffith能量釋放率，

把式(15)～(17)代入式(14)可得

根據(jù)微裂紋中的水發(fā)生相變前后微裂紋的體積變化，可得

由式(18)～(19)可得到關(guān)于微裂紋擴展長度的方程為

式中：A= πY；B= π(2plt+lG)；C= -2plΔVi。

對式(20)進行求解可得平面應(yīng)變條件下裂紋擴展長度與凍脹應(yīng)力之間的關(guān)系式：

當采用式(21)求解時，需要確定冰體單寬膨脹體積ΔVi及冰對微裂紋壁的膨脹壓力p。

首先，討論ΔVi的計算方法。若不考慮微裂紋面的束縛，微裂紋中的冰體將發(fā)生自由膨脹，但是在實際情況下，微裂紋壁將對冰體施加大小為p的反作用力，冰體產(chǎn)生彈性應(yīng)變。根據(jù)彈性理論，在平面應(yīng)變條件下冰的體應(yīng)變εv為

其中：Ei，υi和Ki分別為冰的彈性模量、泊松比與體積模量。

假設(shè)冰在自由膨脹時，其體積膨脹率為9%，在膨脹壓力為p時的微裂紋體積變化為

其次，討論單條微裂紋凍脹力p的計算方法。由圖3可知：由于膨脹后微裂紋將發(fā)生改變，而形狀保持不變，因此可設(shè)

結(jié)合式(18)和(24)可得

將式(17)，(23)，(25)代入式(21)可得

2.3 巖石彈性模量與凍融循環(huán)次數(shù)的關(guān)系

基于細觀損傷理論，采用平均化方法，把上述的細觀損傷力學(xué)研究結(jié)果反映到材料的宏觀力學(xué)性能中，這里采用Mori-Tanaka 方法[19]，在二維條件下，考慮微裂紋之間的互相作用，可得到巖石有效彈性模量的表達式為

式中：E0為巖石初始彈性模量，MPa；EN為凍融N次之后的巖石等效彈性模量，MPa；β為微裂紋密度參數(shù)，β=ρ(Δl)2；ρ為單位面積上經(jīng)凍融后擴展半長為Δl的微裂紋數(shù)量，條/m2。

由于假設(shè)微裂紋始終飽和，第N次凍融循環(huán)而導(dǎo)致的微裂紋擴展半長ΔlN為

經(jīng)過N次凍融循環(huán)后，微裂紋擴展半長lN為

經(jīng)過N次凍融循環(huán)后，微裂紋密度參數(shù)β可表示為

ROSTáSY 等[20]認為巖石經(jīng)過多次凍融循環(huán)后，微裂紋總數(shù)基本沒有增加，只是長微裂紋發(fā)生擴展，而短微裂紋由于受到其他微裂紋的擠壓而閉合。即隨著凍融循環(huán)，能夠持續(xù)擴展的微裂紋數(shù)目將越來越少。根據(jù)Griffith微裂紋傳播理論，單位體積內(nèi)被激活擴展的微裂紋數(shù)量服從指數(shù)分布，即

式中：ρ0為微裂紋總數(shù)；lc為微裂紋分布參數(shù)。

把式(28)～(31)代入式(27)可得

由式(32)即可求得N次凍融循環(huán)后巖石彈性模量EN。為了驗證計算方法的正確性，與TAN 等[21]的試驗結(jié)果進行對比，試驗所用巖石為取自西藏嘎隆拉山區(qū)的花崗巖，制作成直徑為50 mm、高為100 mm 的圓柱形試件。其物理力學(xué)參數(shù)為：干質(zhì)量及飽和質(zhì)量分別為521.87 g 和523.13 g，干密度為2.77 g/cm3，單軸壓縮峰值強度為135.73 MPa。表1所示為計算參數(shù)，依表1可求得其彈性模量隨凍融循環(huán)次數(shù)N的變化規(guī)律如圖4所示。由圖4可見：隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，巖石彈性模量逐漸降低，且降低速度隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而逐漸減小，與試驗結(jié)果吻合較好。

3 凍融循環(huán)下圍巖凍脹力的損傷力學(xué)解答式

凍融循環(huán)會對巖石造成不同程度損傷，導(dǎo)致巖石彈性模量降低。而在對圍巖凍脹力的計算即計算式(8)是按照彈性理論計算的，沒有考慮凍融循環(huán)后巖石彈性模量的降低及孔隙率增加，因而僅適合于求解圍巖的初次凍脹力。實際巖石工程往往是在工程服務(wù)期內(nèi)經(jīng)歷多次凍融循環(huán)，因此，這里擬考慮凍融循環(huán)對圍巖的損傷，提出凍融循環(huán)下圍巖凍脹力的損傷力學(xué)解答式。

假設(shè)凍融循環(huán)僅對凍結(jié)區(qū)巖石的力學(xué)性質(zhì)有影響，而對襯砌混凝土及未凍結(jié)區(qū)巖石的力學(xué)性質(zhì)則沒有影響。由式(32)及(8)即可求得第N次凍融循環(huán)時的圍巖凍脹力σf(N)為

表1 計算參數(shù)表Table 1 Calculation parameters

圖4 巖石彈性模量隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律Fig.4 Variation of rock elastic modulus with the number of freeze-thaw cycles

同時，隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，巖石彈性模量降低，與之相對應(yīng)的物理過程是巖石孔隙率增加，而由式(9)可知，隨著孔隙率增加，巖石凍脹率將明顯增加，最終對圍巖凍脹力產(chǎn)生影響。田延哲等[22]認為在凍融循環(huán)作用下，巖石彈性模量隨孔隙率的變化規(guī)律為

式中：E0和EN分別為巖石的初始彈性模量及經(jīng)過N次凍融循環(huán)后的彈性模量；n0和nN分別為巖石的初始孔隙率及經(jīng)過N次凍融循環(huán)后的孔隙率；s為擬合系數(shù)。由式(34)可得

將式(35)代入式(9)可得經(jīng)過N次凍融循環(huán)的巖石凍脹率αN為

將式(36)代入式(8)即可得到第N次凍融循環(huán)時的隧道圍巖凍脹力σf(N)為

4 算例與討論

下面通過算例說明圍巖凍脹力隨凍融循環(huán)次數(shù)N的變化規(guī)律，設(shè)某寒區(qū)圓形隧道如圖1 所示，計算參數(shù)如表1所示。

假定在凍融循環(huán)過程中巖石始終飽和。那么可得經(jīng)過150次凍融循環(huán)后，圍巖凍脹力σf(N)與凍融循環(huán)次數(shù)N的變化關(guān)系如圖5所示。由圖5可見：

圖5 圍巖凍脹力隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律Fig.5 Variation of frost heaving pressure in surrounding rock with the number of freeze-thaw cycles

1)當巖石開始凍脹時，由式(36)可計算得到其凍脹率為1.89×10-4，進而由式(37)可計算得到其凍脹力僅為0.13 MPa。隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，巖石孔隙率增加，其凍脹率也隨之增加，最終導(dǎo)致圍巖凍脹力增加到1.16 MPa，約為最初凍脹力的8.92倍，增加幅度非常顯著。

2)隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，其增長速率逐漸變緩。這是因為巖石凍脹主要是孔隙中的水凍結(jié)成冰造成體積膨脹，巖石顆粒因凍結(jié)而造成的體積膨脹則幾乎可以忽略不計。

3)在初始階段，巖石孔隙率較小，相應(yīng)地因凍結(jié)而產(chǎn)生的凍脹力也較小，而隨著凍融循環(huán)，微裂紋在凍脹力作用下發(fā)生擴展，導(dǎo)致巖石損傷增加，孔隙率變大。由于假設(shè)巖石始終飽和，巖石含水率也將隨之增加，將導(dǎo)致巖石凍脹力增加。如此循環(huán)，最終引起圍巖凍脹力隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加而逐漸增大。

4)隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，凍融巖石的彈性模量將逐漸趨于定值(見圖4)，此時巖石損傷也將趨于定值，相應(yīng)地巖石孔隙率及含水率也將趨于定值，最終將導(dǎo)致圍巖凍脹力隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加而趨于定值。因此，由上述分析可認為巖石凍脹力主要是巖石孔隙中的水凍結(jié)成冰而產(chǎn)生的體積膨脹所致。

為證明上述觀點，下面假定巖石凍脹率不變，即恒為1.89×10-4，而認為凍融循環(huán)僅導(dǎo)致巖石彈性模量降低，由此可得到圍巖凍脹力隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律如圖6所示。由圖6可見：隨著凍融循環(huán)次數(shù)N由0 次逐漸增加到150 次，圍巖彈性模量則逐漸由初始的37.64 GPa 逐漸降低到13.93 GPa，而相應(yīng)的圍巖凍脹力則由初始的0.130 MPa 逐漸增加到0.137 MPa，增加幅度僅為5.38%，相比圖5，其變化幅度非常小，這說明僅考慮圍巖彈性模量變化對凍脹力計算結(jié)果的影響十分有限。因此，認為巖石凍脹力主要是由巖石孔隙中水的凍結(jié)膨脹所導(dǎo)致，從工程角度來說，要減少由凍脹引起的圍巖破壞，應(yīng)主要控制水的滲入，即采取相應(yīng)的截排水措施，防止地下水及地表水滲入到巷道圍巖中。

圖6 圍巖凍脹凍率不變時的凍脹力及彈性模量隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律Fig.6 Variation of frost heaving pressure and elastic modulus with the number of freeze-thaw cycles when the surrounding rock’s frost heaving ratio is constant

下面討論式(37)中的系數(shù)s對巖石凍脹力及孔隙率的影響，計算結(jié)果如圖7 所示。由圖7 可知：1)在s一定時，隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，巖石凍脹力及孔隙率均增加，但其增加速率逐漸減小，這說明當循環(huán)次數(shù)增加到一定程度后，巖石凍脹力及孔隙率將逐漸趨于穩(wěn)定；2)對于統(tǒng)一凍融循環(huán)次數(shù)，隨著s增加，巖石凍脹力及孔隙率均減小，且其減小幅度逐漸變緩。這說明當s增加到一定程度后，巖石凍脹力及孔隙率將逐漸趨于穩(wěn)定?？傊?，s對巖石凍脹力及孔隙率的影響均較大，因此，在實際工程中，應(yīng)通過試驗數(shù)據(jù)對s進行準確擬合，保證計算結(jié)果的準確性。

圖7 不同凍融循環(huán)次數(shù)下巖石凍脹力及孔隙率隨s的變化規(guī)律Fig.7 Variation of rock frost heaving pressure and void ratio with the value of s under different freezing-thawing cycles

5 結(jié)論

1)基于Griffith 斷裂理論及細觀損傷理論建立了巖石彈性模量隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律，隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，巖石彈性模量逐漸降低，但其降低速率逐漸變小。

2)考慮凍融循環(huán)對巖石彈性模量、孔隙率及凍脹率的影響，提出了考慮凍融循環(huán)下巖石損傷的圓形隧道圍巖凍脹力的損傷力學(xué)解答式。

3)隨著凍融循環(huán)次數(shù)增加，圍巖凍脹力逐漸增加，并趨于某一定值。巖石凍脹力主要是由巖石孔隙中水的凍結(jié)膨脹所致，要減少圍巖的凍脹破壞應(yīng)主要采用截排水措施以控制水的滲入。