郭文軍， 張小龍， 張 凱， 李 涵

(西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055)

由于回轉(zhuǎn)體不平衡的存在，產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，且處于臨界轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)幅值增加。尤其對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械，如離心機(jī)、汽車(chē)車(chē)輪[1]等，每次轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不平衡力大小隨機(jī)變化。對(duì)此旋轉(zhuǎn)機(jī)械也只能在運(yùn)行時(shí)才能取得平衡。然而采用高精度的靜動(dòng)平衡方法存在很大局限性，對(duì)于轉(zhuǎn)子質(zhì)量可能隨時(shí)發(fā)生改變的回轉(zhuǎn)機(jī)械，嚴(yán)重影響轉(zhuǎn)軸運(yùn)行軌跡[2]。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械中剛性轉(zhuǎn)子通過(guò)改變平面校正質(zhì)量對(duì)主軸進(jìn)行重新校準(zhǔn)[3]。然而，諸如材料腐蝕以及熱變形的影響可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布改變，并且在這種情況下必須重復(fù)平衡過(guò)程，會(huì)讓生產(chǎn)加工產(chǎn)生間斷性。這種限制促使人們開(kāi)始對(duì)自動(dòng)平衡裝置進(jìn)行深入研究，重新分配轉(zhuǎn)子自身質(zhì)量以消除任何不平衡。自動(dòng)平衡裝置能夠在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不停止工作的條件下，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)平衡。在現(xiàn)實(shí)生活中，球式自動(dòng)平衡裝置已經(jīng)應(yīng)用在離心分離機(jī)、光盤(pán)驅(qū)動(dòng)器等[4]許多領(lǐng)域。隨著對(duì)平衡裝置深入研究以及其實(shí)用價(jià)值的體現(xiàn)，應(yīng)用推廣將會(huì)被人們更加認(rèn)可。

該裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可行性強(qiáng)，使用價(jià)值較高，對(duì)此中外專(zhuān)家進(jìn)行了許多理論與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。為了消除轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生的有害強(qiáng)迫振動(dòng)，將滾球加入在回轉(zhuǎn)體的圓盤(pán)來(lái)平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達(dá)到臨界速度，離心力帶動(dòng)滾球運(yùn)動(dòng)消除靜不平衡，達(dá)到減振目的，并證明了在第一臨界頻率以上時(shí)，轉(zhuǎn)子在該轉(zhuǎn)速下存在的穩(wěn)態(tài)機(jī)。Rodrigues等[5-7]對(duì)雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置的穩(wěn)定性和分岔理論進(jìn)行了分析與研究。張小龍等[8-9]運(yùn)用了諧波平衡法解釋單、雙滾珠轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速附近平面振動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)比研究了單滾球與雙滾球平衡制振效果并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與理論說(shuō)明。通過(guò)理論解析與數(shù)值模擬,研究了兩滾珠平衡制振時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的1/2次分?jǐn)?shù)諧波振動(dòng)的響應(yīng)特性及滾珠質(zhì)量對(duì)振動(dòng)響應(yīng)大小的影響規(guī)律等。羅建等[10]利用病態(tài)性探測(cè)，得出了球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)作非平面運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子減振效果顯著，平面振動(dòng)與空間振動(dòng)都得到了有效控制。譚青等[11]對(duì)球式自動(dòng)平衡裝置進(jìn)行了虛擬實(shí)驗(yàn)研究，建立了虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)可視化實(shí)驗(yàn)分析滾球平衡過(guò)程。目前研究主要以單盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置為主，而實(shí)際上雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置的應(yīng)用也在不斷增加。

針對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)軸上固定兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，在轉(zhuǎn)盤(pán)中各加入兩個(gè)滾球，通過(guò)理論說(shuō)明與數(shù)值模擬，研究了雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置的制振特性及盤(pán)中滾球運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)要說(shuō)明

在工程實(shí)際與生產(chǎn)應(yīng)用中，高速轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)子在不平衡力矩作用下，轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)范圍不僅僅在單一平面內(nèi)，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)在非平面運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生空間上的力與位移。雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置更加與實(shí)際貼合，該裝置的力學(xué)模型如圖1所示。在無(wú)質(zhì)量彈性軸的兩端(假設(shè)彎曲剛度為k)安裝有質(zhì)量為M1和M2的圓盤(pán)(Jeffcott轉(zhuǎn)子)，運(yùn)動(dòng)阻尼為C，每個(gè)圓盤(pán)內(nèi)有半徑為R的凹槽，凹槽內(nèi)質(zhì)量均為m(m?M1、M2)的兩個(gè)滾球，滾球的半徑為r，沿軌道半徑R的凹槽作圓周運(yùn)動(dòng)。

雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置中一個(gè)圓盤(pán)的模型如圖2所示，設(shè)圓盤(pán)形心為O1(X,Y)、兩個(gè)平衡滾球角位置φi1和φi2，i=1,2。圖中白色圓代表滾球位置，黑色圓表示回轉(zhuǎn)體重心的位置。

圖1 雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of double-ball automatic balancing device

圖2 圓盤(pán)中滾球轉(zhuǎn)動(dòng)模型Fig.2 Rolling ball rotation model in the disc

采用的符號(hào)如下(如未加特殊說(shuō)明,單位均采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位)：

O0-XYZ:靜止坐標(biāo)系，且與O1-X1Y1Z1平行。

O1εηξ為旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)坐標(biāo)系。

O0O1為圓盤(pán)中心靜止時(shí)和運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置。

O1為Ⅰ圓盤(pán)與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)。

M1、M2、M為Ⅰ圓盤(pán)質(zhì)量、Ⅱ圓盤(pán)質(zhì)量、系統(tǒng)總質(zhì)量。

ω為轉(zhuǎn)子角速度。

L1、L2為Ⅰ圓盤(pán)、Ⅱ圓盤(pán)中重心偏移位置。

m、Ib、r為球的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、半徑。

Iθ、Iψ為系統(tǒng)η、ξ軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

φij為i圓盤(pán)j球的轉(zhuǎn)角(i=1,2；j=1,2)。

kr、Cr為轉(zhuǎn)軸的剛度、阻尼。

C0、C1為球的滾動(dòng)摩擦系數(shù)，黏性阻尼系數(shù)。

R為球的公轉(zhuǎn)半徑。

Θ、Ψ為轉(zhuǎn)動(dòng)軸角變化。

Ir為轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由圖1、圖2可知，雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置可利用拉格朗日建立運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式(1)中：T為系統(tǒng)的總動(dòng)能之和，包括圓盤(pán)Ⅰ、Ⅱ的動(dòng)能，滾球的動(dòng)能；qα為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；V為系統(tǒng)的總勢(shì)能；Qα代表廣義外力；s為坐標(biāo)數(shù)。由此推出雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

2 定常解計(jì)算

對(duì)運(yùn)動(dòng)方程(2)進(jìn)行無(wú)量綱化，得：

(3)

則方程(2)得到的系統(tǒng)方程式為

i=1,2；j=1,2

(4)

用平均法進(jìn)行數(shù)值解析，式(4)的周期響應(yīng)為

(5)

(6)

(7)

式(7)中：

(8)

式(8)中：ν=p的定常解如下。

5.1 穩(wěn)定解

滾球相對(duì)靜止，振幅為零。

(9)

此解僅存在0<δi≤2時(shí)，βi=cos-1(-δi/2)，各個(gè)圓盤(pán)及滾珠的位置如圖3所示。

當(dāng)ν=p，δi=0時(shí)，此時(shí)由式(9)得φi2-φi1=π，A=B=C=D=0，同樣振幅為零。此時(shí)δi=0，各個(gè)圓盤(pán)及滾珠的位置如圖4所示。

圖3 定常解的滾球位置Fig.3 Position of balls in the steady state solutions

圖4 定常解的滾球位置Fig.4 Position of balls in the steady state solutions

(2)不穩(wěn)定解。滾球相對(duì)靜止，振幅不為零。

ν=p,φi1=φi2=φi(i=1,2)，此時(shí)A、B、C、D都不為零，即振幅不為零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。如圖5所示。

圖5 定常解的滾球位置Fig.5 Position of balls in the steady state solutions

3 模型的數(shù)值仿真

3.1 數(shù)值計(jì)算原理

在求解常微分方程時(shí)，通常將高階方程降階求解。采用ode45對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值仿真。求解過(guò)程將運(yùn)動(dòng)方程的二階量變?yōu)橐浑A，符合龍格庫(kù)塔計(jì)算的具體要求。在這里方程式(3)中的μθ非常小，可以假設(shè)為零，僅僅研究響應(yīng)y及滾球的位置φ11、φ12、φ21、φ22。則方程(4)的具體形式可以表示為

(10)

為了確定上述定常解精確度，研究滾球出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)方程(10)數(shù)值計(jì)算。略去公式中高階小量O(ε2),選取合適仿真參數(shù)應(yīng)用于ode45,編寫(xiě)仿真程序。對(duì)系統(tǒng)降階處理，去高階小量，得到系統(tǒng)的一階方程如下：

[S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10]；

(11)

3.2 滾球碰撞調(diào)整

球式自動(dòng)平衡裝置中研究的核心部分是滾球，滾球運(yùn)動(dòng)時(shí)盡量避免互相接觸與碰撞，這樣可能影響運(yùn)動(dòng)軌跡，研究中需檢查確定滾球位置是否發(fā)生干涉，干涉嚴(yán)重且產(chǎn)生誤導(dǎo)性理論研究，須對(duì)滾球作碰撞處理。

滾道中的兩滾球之間的夾角φ大于夾角σ，此時(shí)σ表示兩滾球已經(jīng)相互接觸，兩滾球碰撞視為完全非彈性碰撞，即指滾球碰撞結(jié)束，在一瞬間內(nèi)兩物體運(yùn)動(dòng)狀況完全相同，獲得相等的速度，如圖6所示。

(12)

圖6 滾球碰撞調(diào)整Fig.6 Rolling ball bollision adjustment

3.3 數(shù)值仿真結(jié)果

基于MATLAB軟件利用龍格庫(kù)塔法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，仿真的角速度分布于高速區(qū)和低速區(qū)，在p=0.758 8、p=0.999 5、p=2.222 5時(shí)，出現(xiàn)的仿真結(jié)果與定常解的數(shù)值相對(duì)應(yīng)。

圖7 數(shù)值模擬結(jié)果(p=0.758 8)Fig.7 Numerical simulation (p=0.758 8)

角速度p=0.758 8時(shí)，響應(yīng)y及滾球的位置φ11、φ12、φ21、φ22如圖7所示。由于轉(zhuǎn)速p小于1，轉(zhuǎn)速較小，各個(gè)圓盤(pán)上的兩滾球相對(duì)于回轉(zhuǎn)體相對(duì)靜止，圖7(a)與圖7(b)所示，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈27°(圖中穩(wěn)定時(shí)φ大約0.5 rad)。轉(zhuǎn)子y方向以角頻率p作單頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且轉(zhuǎn)子振幅y方向的響應(yīng)并不收斂于零，如圖7(c)所示,在低速側(cè)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值為-0.75～0.75，幅值較大，平衡效果不理想。

當(dāng)p=0.999 5，幾乎接近于臨界轉(zhuǎn)速1時(shí)，響應(yīng)如圖8所示，兩圓盤(pán)上的滾球各自收斂于同一位置，圖8(a)與圖8(b)中，φ11=φ12≈27°，φ21=φ22≈300°，相對(duì)于回轉(zhuǎn)體靜止不動(dòng)，轉(zhuǎn)子y方向以角頻率p作單頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但y方向的振動(dòng)明顯增大，如圖8(c)所示，幅值為-1.8～1.8，導(dǎo)致振幅在定常解附近發(fā)生變化，產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)。

圖8 數(shù)值模擬結(jié)果(p=0.999 5)Fig.8 Numerical simulation (p=0.999 5)

在p=2.222 5，遠(yuǎn)超過(guò)1時(shí)，響應(yīng)如圖9所示，滾球在回轉(zhuǎn)體圓盤(pán)內(nèi)對(duì)稱(chēng)分布，圖9(a)與圖9(b)所示φ11=φ21≈120°，φ12=φ22≈-120°，轉(zhuǎn)速明顯增大，每個(gè)圓盤(pán)中兩滾球在偏心質(zhì)量反方向布置，如圖9(c)所示,轉(zhuǎn)子的振幅y逐漸趨于零，此時(shí)滾球位置驗(yàn)證了式(9)求得定常穩(wěn)定解的準(zhǔn)確性，起到了平衡效果。

圖9 數(shù)值模擬結(jié)果(p=2.222 5)Fig.9 Numerical simulation (p=2.222 5)

仿真結(jié)果可以看出，在轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速較小時(shí)，或者接近于臨界轉(zhuǎn)速，每個(gè)圓盤(pán)內(nèi)的兩個(gè)滾球都會(huì)相對(duì)靜止，不會(huì)分開(kāi)，且起不到減小振動(dòng)的效果。只有在轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，圓盤(pán)中的滾球才會(huì)分布于偏心質(zhì)量相對(duì)面，起到平衡制振效果。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置的有效性，設(shè)計(jì)了圖10所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，著重研究穩(wěn)態(tài)時(shí)該裝置的減振效果以及滾球的位置。

改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速來(lái)控制轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速，在不同轉(zhuǎn)速條件下，通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果減振的趨勢(shì)基本一致，當(dāng)回轉(zhuǎn)速度較高時(shí)，自動(dòng)平衡裝置的振幅將會(huì)變小，此時(shí)滾球的位置如圖11所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 Experimental platform

圖11 滾球位置Fig.11 Ball position

實(shí)驗(yàn)表明，工作轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，振動(dòng)的幅值明顯增大。雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置在超過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)具有很好的平衡制振性能。

5 結(jié)論

對(duì)雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置主共振振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)論如下。

(1)雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置的運(yùn)動(dòng)特性和滾球運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子的振幅明顯增大。

(2)在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，雙盤(pán)球式自動(dòng)平衡裝置轉(zhuǎn)子振幅增大，平衡惡化。轉(zhuǎn)速較高時(shí)，發(fā)生穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，定常解始終有振幅為零的周期解，即該裝置在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，可以自動(dòng)消除不平衡。