翟文研

摘 ?要：在本文中，基于雙線性交換公式，我們提出了一種在孤子系統(tǒng)中構(gòu)造Backlund的方法，用Bell多項(xiàng)式方法，通過符號(hào)計(jì)算，構(gòu)造了非線性 kortewegde vries（kdv）方程的雙線性方程以及Backlund變換. 該模型是基于Lax對(duì)，推導(dǎo)出了帶有一個(gè)輔助變量的Bell多項(xiàng)式，并將其轉(zhuǎn)化為了雙線性形式. 根據(jù)主域和副域之間的耦合雙場(chǎng)條件，構(gòu)造了Bell多項(xiàng)式型的Backlund變換，并將其轉(zhuǎn)化為雙線性形式. 通過求解雙線性方程和Backlund變化方程，可得出孤子解. 對(duì)進(jìn)一步研究其他二維非線性系統(tǒng)以及高維系統(tǒng)有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：Bell多項(xiàng)式;Backlund變換;雙線性方程;

引言

在處理數(shù)學(xué)物理的非線性模型當(dāng)中，會(huì)用到數(shù)值和解析方法. Bell多項(xiàng)式方法是一種直接的系統(tǒng)方法，其求解過程主要包括以下步驟：（1）利用原始的非線性模型在比例變換下的不變性，推導(dǎo)出其Bell多項(xiàng)式的表達(dá)式;（2）在主域和副域之間分解齊次約束，來(lái)構(gòu)造合適的Bell多項(xiàng)式型Backlund變換. 通常用Bell多項(xiàng)式及其導(dǎo)數(shù)的線性組合表示;（3）通過HopfCole變換將多項(xiàng)式線性化，以確定相應(yīng)的lax對(duì). Bell多項(xiàng)式與Hirota雙線性方法之間有著密切的聯(lián)系. 一般來(lái)說，Bell多項(xiàng)式可以推廣到原來(lái)的雙線性方程和雙線性Backlund變換. 目前應(yīng)用此方法，已經(jīng)得到了一批廣義雙線性算子，并且探討了線性疊加原理何時(shí)可以應(yīng)用于重構(gòu)廣義雙線性微分方程. 由此得到的雙線性微分方程具有特殊的多項(xiàng)式和線性疊加原理，并可應(yīng)用于它們的線性子空間解的結(jié)構(gòu)中。此外，通過引入三線性微分算子并將其應(yīng)用于三線性微分方程的構(gòu)造，將疊加原理應(yīng)用于構(gòu)造指數(shù)波的共振解，而由此得到的三線性微分算子和方程是Bell多項(xiàng)式的特有屬性. ?在Bell多項(xiàng)式操作的框架內(nèi)，已經(jīng)討論了一些非線性模型，如 burgershopf模型、潛在的 kortewegde vries（kdv）模型、modied kdv 模型、潛在的 sawadakotera 模型、sinegordon 模型、boussinesq 模型和 ablowitzkaupnewellsegur模型. 注意對(duì)于其他一些非線性模型，在Bell多項(xiàng)式處理中可引入一個(gè)或多個(gè)輔助自變量，如淺水波動(dòng)方程，二維kdvequation，（2 +1）-和（3 + 1）-維破裂孤子方程，sinegordonton 方程，以及 boussinesq方程. 本文利用Bell多項(xiàng)式和雙線性方法研究了二維 kdv 模型的雙線性表示、Backlund變換：

3.小結(jié)

本文主要給出了Bell多項(xiàng)式法求解非線性KDV方程的雙線性以及對(duì)應(yīng)的Backlund變換. 將帶有輔助自變量的Bell多項(xiàng)式推廣到其他類型的偏微分方程中，如變系數(shù)微分方程，高維方程以及耦合方程.可以有效得到不同方程的雙線性形式和Backlund變換，對(duì)于進(jìn)一步求解有一定的參考價(jià)值.

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