馬光紅， 魏 勇

(西華師范大學數(shù)學與信息學院， 四川南充 637002)

0 引言

自鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來， 灰色模型被廣泛應用于軍事、 醫(yī)學等領域， 為人們解決了許多實際問題[1]. 在研究灰色模型的過程中， GM(1,1)冪模型是GM(1,1)模型、 Verhulst模型的擴展. 對于GM(1,1)冪模型而言， 模型中冪指數(shù)及響應中參數(shù)的求解較為復雜， 研究相對較少. 王正新等[12]提出了GM(1,1)冪模型的冪指數(shù)的求解方法并討論了冪模型的一些相關性質； 李軍亮等[13]對冪模型進行擴展， 研究了非等間距的GM(1,1)冪模型； 文獻[16]提出分數(shù)階的GM(1,1)冪模型. 為提高模型的建模精度， 學者從冪指數(shù)、 背景值、 初始值、 灰導數(shù)等角度出發(fā)對模型進行改進. 文獻[14]對GM(1,1)冪模型的灰導數(shù)進行優(yōu)化. 文獻[17]對模型的背景值進行優(yōu)化， 文獻[15]對初始條件進行優(yōu)化. 在這些模型中， 大多都將原始數(shù)據(jù)當做齊次來處理， 實際上有部分數(shù)據(jù)并不都滿足齊次這一特性， 于是采取此類方法建模并不太準確. 對此， 有學者研究非齊次模型， 并對非齊次模型進一步改進， 如： 改進灰導數(shù)、 改進初始值、 對模型直接建模等. 在文獻[2]中提出了非齊次指數(shù)序列的GM(1,1)模型， 得到新的灰色微分方程及其白化微分方程； 文獻[5]對GM(1,1)模型的灰色作用量進行優(yōu)化， 用b1+b2k代替b， 即灰作用量隨k的變化而變化； 文獻[7],文獻[11]提出Verhulst模型的直接建模法， 減少了數(shù)據(jù)還原， 但這些對非齊次模型的研究均在于GM(1,1)模型及Verhulst模型.

1 非齊次的GM(1,1)冪模型

設X(0)為非負原始序列且X(0)=(x(0)(1),

x(0)(2),...,x(0)(n))，X(1)為X(0)的1-AGO序列，X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n))， 其中

x(1)(k-1))(k=2,3,...,n).

定義1稱

x(0)(k)+az(1)(k)=

(b1+b2t)(z(1)(k))m(k=2,3,...,n)

(1)

為非齊次GM(1,1)冪模型的灰色方程.

定義2稱

(2)

為非齊次GM(1,1)冪模型的白化微分方程.

由常微分知識對(2)式的白化微分方程求解得時間響應式

事實上， 將(2)式兩邊同除以[x(1)(t)]m得

(3)

令y(1)(t)=(x(1)(t))1-m, 則

(4)

(3)式變形為

(5)

不妨令

(6)

對(6)式求解得

y(1)(t)=c1e(m-1)at

(7)

將c1看做關于t的函數(shù)， 對(7)求導可得

(8)

將(7)、 (8)帶入(5)化簡有

(9)

對(9)式積分

(10)

其中c為任意常數(shù).

將(10)帶入(7)式有

(11)

故

(12)

將(12)式在t=k+1離散化得到

累減還原x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)

(k=1,2,...n-1).

性質1當m=0,b1≠0,b2≠0時是文獻[19]的表達式，即

(13)

為非齊次GM(1,1)模型；

性質2當m=2,b1≠0,b2≠0時, 即

(14)

為非齊次的Verhulst模型；

性質3當m=0,b2=0，b1≠0， 此模型退化為傳統(tǒng)GM(1,1)模型；

性質4當m=2,b2=0，b1≠0， 此模型退化為傳統(tǒng)Verhulst模型.

2 參數(shù)m;a,b1,b2,c的求解

對于GM(1,1)冪模型而言， 對參數(shù)的求解方法有多種， 文獻[12]采取傳統(tǒng)的方法求解參數(shù)， 即利用最小二乘法； 文獻[20]通過最小二乘法求出參數(shù)表達式， 構造目標函數(shù)利用相關軟件如Matlab進行求解； 對Verhulst模型， 大多文獻采用最小二乘法求解參數(shù)； 文獻[22]通過構造參數(shù)的表達式， 采取算術平均或者幾何平均近似替代相應參數(shù)； 而GM(1,1)模型中參數(shù)的求解方法較多， 如最小二乘法， 最小一乘法、Lingo搜索等. 在利用最小二乘法或者最小一乘法求解參數(shù)時， 都避免不了模型中背景值z(1)(k)的應用， 由于背景值構造的差異， 難免會產(chǎn)生一定的誤差. 本文利用文獻[21]求解GM(1,1)模型中參數(shù)的方法(即利用多個值的算術平均近似替代最終參數(shù)的值)， 對非齊次GM(1,1)冪模型的參數(shù)進行求解， 減小由背景值造成的誤差.

(I)按照文獻[12]求解參數(shù)m， 即

(II)在時間響應式的基礎上逐步求解a(k);

c(k);b2(k);b1(k).

首先對(11)式進行離散化得

當t=k+1時,

(15)

當t=k時；

(16)

當t=k-1時；

ce(m-1)(k-2)a

(17)

(15)-(16)得

y(1)(k+1)-y(1)(k)=

即

(18)

(16)-(17)得

cea(m-1)(k-2)(ea(m-1)-1)

即

(19)

(18)-(19)得

y(0)(k+1)-y(0)(k)=

cea(m-1)(k-1)(ea(m-1)-1)2

(20)

同理

y(0)(k)-y(0)(k-1)=

cea(m-1)(k-2)(ea(m-1)-1)2

(21)

用(21)除以(20)得

兩邊同時取對數(shù)得

(22)

將(22)帶入(20)有

(23)

把(23)、 (22)帶入(19)得

(24)

聯(lián)立(15)、 (22)、 (23)、 (24)得

(25)

從上面的式子可以看出， 由于k值的不同， 參數(shù)a、b1、b2、c的取值也不同， 分別記為a(k);c(k);b2(k);b1(k)， 則

(26)

(27)

(28)

ce(m-1)ak)

(29)

值得注意的是， (15)、 (16)、 (17)中的a,b1,b2,c均會隨著k的變化而變化的a′(k),c′(k),b2′(k),b1′(k)， 但由于相鄰兩項變化幅度不大， 在考慮(15)-(16)與(16-17)、 (18)-(19)、 (21)/(20)時， 將相鄰兩項中的a′(k),c′(k),b2′(k),b1′(k)視為同一推導的a(k),c(k),b2(k),b1(k)， 然而在變化的全過程中相距項數(shù)較多則是一個不可忽略的問題， 此時需要對a(k),c(k),b2(k),b1(k)綜合考慮， 即下列步驟(III)是必須的.

(30)

將(30)式計算出的a依次帶入(28)及(29)式， 并利用與求解a相同的方法求解c;b2的估計值

(31)

(32)

同理將(30)、(31)、(32)帶入(29)求解可得b1的估計值

(33)

3 實例分析

本文分別采用我國2002～2009年天然原油生產(chǎn)量的數(shù)據(jù)與南京市1997～2002年水泥運貨量及我國歷年人口數(shù)據(jù)作為實例進行模擬， 對比模擬精度.

例1本例以我國2002～2009年天然原油生產(chǎn)量的數(shù)據(jù)《中國統(tǒng)計數(shù)據(jù)應用系統(tǒng)》(見表1)為例， 數(shù)據(jù)來源于文獻[7]， 對文獻[7]中的數(shù)據(jù)分別建立傳統(tǒng)的Verhulst模型(記為模型一)， 優(yōu)化背景值后的Verhulst模型(記為模型二)， Verhulst直接建模模型(記為模型三)以及本文非齊次的GM(1,1)冪模型. 模擬結果及精度對比見表2.

表1 2002～2009年天然原油生產(chǎn)量

注： 表1的數(shù)據(jù)來源于文獻[7]中的表3

本文模型(非齊次的GM(1,1)冪模型)的參數(shù)值：

x(1)(k+1)=72.863 353 4+6.336 645 679k-45.381 083 46-16.695 490 02e-0.139 631 873k

累減還原x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k).

模擬預測結果見表2.

表2 模擬結果與精度對比

注： 模型一、 模型二、 模型三的數(shù)據(jù)來源于文獻[7]的表4.

結論： 對比表2的模擬結果， 模型二通過優(yōu)化背景值后大幅度縮小了誤差， 提高了精度； 另辟蹊徑的模型三通過對數(shù)據(jù)直接建模， 雖未對模型的背景值進行優(yōu)化但提高了建模精度， 且甚至比模型二優(yōu)化背景值后的模型建模精度高； 而本文模型與前三個模型相比， 建模精度均優(yōu)于前三個模型.

例2本例對我國歷年人口數(shù)據(jù)建立傳統(tǒng)的Verhulst模型、 優(yōu)化背景值的Verhulst模型、 Verhulst模型的直接建模及本文非齊次的GM(1,1)冪模型， 非齊次的GM(1,1)冪模型直接建模用五種模型對人口進行模擬預測， 結果見表4.

利用2007～2011年數(shù)據(jù)建立模型(數(shù)據(jù)來源于文獻[18])， 為方便將傳統(tǒng)的Verhulst模型、 優(yōu)化背景值的Verhulst模型及Verhulst模型的直接建模分別記為模型四、 模型五、 模型六.本文模型一和本文模型二的原始數(shù)據(jù)見表3.

通過計算模型六的表達式為

表3 我國歷年人口

x(1)(k+1)=(104 938.830 8+28 498.96617k-58 958.755 89-4 023.407 681e-0.483 371 227k)1.119 2，累減還原

x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k).

本文模型2的表達式如下：

x(0)(k+1)=(37 120.04613+183.535 9162k-735.392 653 1-29.050 575 07e0.249 575 401k)1.119 2

模擬值及精度對比結果見表4.

表4 模擬值及精度對比

文獻中的模型四、 模型五并未對2012年的人口進行預測， 但本文利用模型六及本文模型1、 本文模型2對2012年的人口數(shù)據(jù)進行預測， 模型六、 本文模型1、 本文模型二的預測結果見表5， 2012年的原始數(shù)據(jù)為136 863.

表5 預測值及預測精度

注： 1)模型四與模型五的數(shù)據(jù)來源于文獻[18],模型六通過文獻[22]計算得到； 本文模型1為非齊次的GM(1,1)冪模型， 本文模型2為通過本文方法直接建模得到； 2)計算平均相對誤差時先分別對五種模型的相對誤差取絕對值， 再計算平均.

結論： 從模擬角度出發(fā)， 通過表4不難發(fā)現(xiàn)， 模型四的平均相對誤差為4.92， 均大于其余模型的平均相對誤差； 而模型五的平均相對誤差為2.79， 小于模型四及本文模型1的平均相對誤差； 模型六的平均相對誤大于其余模型的誤差而小于本文模型2的平均相對誤差. 盡管本文模型1的平均相對誤差大于模型六， 但是通過本文方法直接建模后的模型(即本文模型2)的誤差明顯比模型六小， 說明本文模型具有實用性. 從預測角度看， 模型六的預測精度明顯低于本文模型， 并且對數(shù)據(jù)用本文模型直接建模后， 提高了預測精度， 說明非齊次的GM(1,1)冪模型具有較高的模擬精度， 且本文模型更實用， 并且原始數(shù)據(jù)是單調(diào)遞增， 若對數(shù)據(jù)采取本文方法直接建模， 可以降低難度并提高建模精度. 對比表5與表4不難發(fā)現(xiàn)， 對數(shù)據(jù)進行直接建模， 不僅提高了建模精度， 而且大大降低了建模難度， 得到的模型不需要還原； 對于一系列單調(diào)遞增的原始數(shù)據(jù)， 在建模過程中采取直接建模式是一種有效的方法.

4 結論

在研究GM(1,1)模型、 Verhulst模型及GM(1,1)冪模型的過程中， GM(1,1)模型及Verhulst模型均為GM(1,1)冪模型中冪指數(shù)分別為1與2的特殊情形， 由于原始數(shù)據(jù)不一定滿足齊次指數(shù)形式， 因此有必要對不滿足齊次指數(shù)形式的數(shù)據(jù)建立非齊次的GM(1,1)冪模型； 其次對不滿足齊次指數(shù)的數(shù)據(jù)直接采取冪指數(shù)為1或者2建立GM(1,1)模型、 Verhulst模型并不準確， 因此本文通過建立非齊次的GM(1,1)冪模型， 利用微分方程及數(shù)據(jù)變換進行求解得到時間響應式， 對響應式離散化累減還原得到模擬值； 對于單調(diào)遞增的原始數(shù)據(jù)， 可對原始數(shù)據(jù)直接建模， 如實例2， 直接建模后的模型不僅提高建模精度而且減少數(shù)據(jù)還原， 降低建模難度； 最后通過兩個實例說明非齊次GM(1,1)冪模型可提高建模精度， 并且擴展了適用范圍. 實際上， 利用本文模型能提高精度的原因在于本文的模型及求參數(shù)的方法. 首先GM(1,1)模型、 Verhulst模型中冪指數(shù)分別采取1與2， 但實際上并非數(shù)據(jù)都滿足這一情形， 故如果采用冪模型建?？蓽p小冪指數(shù)帶來的誤差， 其次在求解參數(shù)過程中背景值并未參與求解， 而是從時間響應式出發(fā)進行求解， 這減少背景值帶來的誤差； 說明此模型的可行性.