錢金花， 劉 杰

(東北大學 理學院， 遼寧 沈陽 110819)

在三維歐氏空間中，若一條曲線的切線和固定方向成固定角，則稱其為一般螺線[1].近年來，歐氏空間中一般螺線的定義已經(jīng)被推廣到Lorentz-Minkowski空間中[2-4]. 本文給出k-型(k=1，2，3)偽零螺線及其軸的定義，并根據(jù)定義的偽零曲線的結構函數(shù)，討論各種偽零螺線的幾何性質(zhì).

1 預備知識

(1)

其中：

〈α，α〉=〈β，γ〉=1，〈β，β〉=〈γ，γ〉=0，

〈α，β〉=〈α，γ〉=0.α(s)，β(s)，γ(s)分別稱為曲線r(s)的切向量、主法向量和副法向量；κ(s)稱為曲線r(s)的曲率函數(shù).

標注1 本文所討論的偽零曲線均以弧長s為參數(shù).

首先，設偽零曲線r(s)的單位切向量為

r′(s)=[ξ1(s)，ξ2(s)，ξ3(s)].

顯然-ξ12+ξ22+ξ32=1.不失一般性，設

這里f，g是s的光滑函數(shù).于是

另外，由〈r″(s)，r″(s)〉=0，經(jīng)過計算，有

(g2-1)f′=2fg′.

解上面的微分方程，可得

總結上面的推導過程，有如下結論.

其中：f，g是s的光滑函數(shù)，稱其為結構函數(shù)，且它們滿足

由引理2與引理1，容易得到如下結論.

標注2 定義2中曲線r(s)的切向量α，主法向量β，副法向量γ都不是常向量.

2 主要結論

設非零常向量V是k-型偽零螺線r(s)的軸.那么V可以表示為[10]

V=v1α(s)+v2β(s)+v3γ(s) .

(2)

這里vi=vi(s)(i=1，2，3)是弧長參數(shù)s的光滑函數(shù).顯然

v1=〈α，V〉，v2=〈γ，V〉，v3=〈β，V〉.

在式(2)兩端關于參數(shù)s求導，整理可得

(3)

2.1 1-型偽零螺線

證明 根據(jù)1-型偽零螺線的定義，有

〈α，V〉=v1=C0(C0≠0).

(4)

在式(4)兩端關于參數(shù)s求兩次導，可知r(s)的曲率函數(shù)κ(s)是任意函數(shù).

反之，對于任意偽零曲線r(s)，由式(3)和式(4)，總可以找到常向量

由定理1及引理3，不難得到下面的推論，具體證明略.

推論1 設r(s)是1-型偽零螺線，那么r(s)的軸V是類空軸，且V可以由r(s)的結構函數(shù)表示為

V=cα+(g′)-1(c1-cg)β.

這里c1，c∈R且c≠0.

2.2 2-型偽零螺線

證明 根據(jù)2-型偽零螺線的定義，有

〈β，V〉=v3=C0(C0≠0).

將v3=C0代入式(3)中，可得曲率函數(shù)κ(s)≡0.此時由式(1)可知主法向量β為常向量，顯然矛盾.證畢.

2.3 3-型偽零螺線

κ″(s)=κ′(s)κ(s).

進一步，曲率函數(shù)κ(s)有以下三種形式：

①κ(s)=-2(s+c1)-1；

②κ(s)=2atana(s+c2)；

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

證明 根據(jù)3-型偽零螺線的定義，有

〈γ，V〉=v2=C0(C0≠0).

(5)

在式(5)兩端關于參數(shù)s求導，可得

〈α，V〉+κ〈γ，V〉=0.

(6)

將v2=C0及式(6)代入式(3)中，可得

κ″(s)=κ′(s)κ(s).

(7)

通過降階法解方程(7)，得到曲率κ(s)的具體表達式，如定理3中的①，②，③.

反之，當曲率κ(s)滿足定理3中的①，②，③時，可以找到相應的常向量V如下：

①當κ(s)=-2(s+c1)-1時，有

②當κ(s)=2atana(s+c2)時，有

V=-2catana(s+c2)α+cβ-

2ca2sec2a(s+c2)γ;

顯然三種情形均滿足〈γ,V〉=c≠0.證畢.

由定理3中的三種情形，有下面的推論.

推論2 設r(s)是3-型偽零螺線，那么

①當κ(s)=-2(s+c1)-1時，軸V為類光軸；

②當κ(s)=2atana(s+c2)時，軸V為類時軸；

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

由定理3、引理2、引理3，通過適當?shù)膮?shù)變換，可以得到如下結論，具體證明略.

定理4設r(s)是3-型偽零螺線，那么r(s)的結構函數(shù)為

①當κ(s)=-2(s+c1)-1時，有

②當κ(s)=2atana(s+c2)時，有

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

由定理4，引理2，有下面的推論.

推論3 設r(s)是3-型偽零螺線，那么

①當κ(s)=-2(s+c1)-1時，

r(s)=(ln|s|，-ln|s|，s)；

②當κ(s)=2atana(s+c2)時，

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

3 結 語

本文在三維Minkowski空間中定義了k-型偽零螺線，并找到了各類偽零螺線的軸.通過定義的結構函數(shù)給出了各種螺線的具體表達式.這為今后在不定度量空間中開展相關曲線的研究提供了一種新的思路.