鄒廣平, Dergachova Nadiia, 王宇洋, 徐舒博, 唱忠良

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

功能梯度材料(functionally graded material, FGM)作為一種新型復合材料,其主要特點在于材料的組分和結構在一定空間連續(xù)梯度變化,同時,這種特性也決定了功能梯度材料能夠承受極高的溫度差,從而達到緩解結構熱應力的作用.

目前,含裂紋的功能梯度材料熱力學以及斷裂行為問題引起了各領域科研工作者的關注[1-8].文獻[9]利用理論和實驗相結合的方式研究了FG材料的斷裂及疲勞的力學行為問題.文獻[1,3-4]利用解析法研究了含裂紋的半無限大功能梯度材料在熱載荷下的熱應力問題,并且通過分析邊緣裂紋的應力強度因子,驗證了文章結果的可靠性.文獻[2,5]中分析了含邊緣裂紋的功能梯度材料的準靜態(tài)問題,其研究方法主要可以歸納為以下2種:傅里葉變換法和分層思想.文獻[6]中對含混合裂紋的非均質正交各向異性材料進行了深入分析,發(fā)現(xiàn)了應力強度因子會因材料的不均勻參數(shù)的增大或者剛度比的減小而增大.文獻[7]中通過溫度加載實驗,研究了在高低溫循環(huán)加載下的含梯度涂層試件的裂紋開裂問題,同時也完善了溫度循環(huán)加載下的裂紋開裂的規(guī)律:低溫加載決定了垂直于頂層表面的裂紋起裂模式,隨著溫度的升高,引起了橫向裂紋的擴展,最后由于裂紋擴展至覆蓋層形成了層裂.

本文通過解析法計算功能梯度材料在指數(shù)升溫加載以及線性升溫[10]條件下,溫度加載情況對功能梯度材料造成的不同影響.這個方法主要適用于一維[5,8]以及三維[11]情況的熱應力研究.這種方法的優(yōu)點是對于應力計算,它可以考慮功能梯度材料的所有物理性能參數(shù)的可變性質.最后,本文將所得到的結果和有效的實驗分析結果進行了比較,二者符合得很好.

1 問題的描述

圖1為熱載荷作用下含邊裂紋功能梯度條二維模型,梯度條沿著x方向為無限長,并且該材料的熱機械屬性僅隨y方向變化.如圖1所示,功能梯度條的厚度為h,T1、T2分別為梯度條上下表面的溫度,T0為無應力狀態(tài)時的初始溫度.

為了求解熱應力定義如下參數(shù):彈性模量E、泊松比ν、密度ρ、熱膨脹系數(shù)a、熱傳導率k和比熱容c.

1.1 求解溫度場

一維瞬態(tài)熱傳導方程為

(1)

式中:ρ(y)、k(y)和c(y)分別是y方向任意位置的密度、熱導率和比熱容;T表示溫度場;t為時間.初始條件和邊界條件為

(2)

如圖1(b)所示為3種升溫函數(shù)(無量綱)與時間(無量綱)的關系,其中指數(shù)升溫方程[12-13]f(t)表示為

f(t)=1-exp(-υtt),

(3)

線性升溫方程[12,14]f(t)表示為

f(t)=-υ′tt.

(4)

υt,υ′t分別是指數(shù)升溫和線性升溫的升溫速率系數(shù).假設

υ′t=(1-e-vtτm)/τm.

(5)

式中τm是溫度升高到T1所需要的時間.

考慮一維情況下的準靜態(tài)問題,可以在直角坐標系中將經(jīng)受平面應變變形的非均質固體的熱彈性方程寫為

(6)

得出式(6)的通解為

式中A和B為積分常數(shù),可由以下平衡方程得到

(8)

(a) 含邊裂紋功能梯度條模型(b) 升溫函數(shù)與時間的關系

圖1熱載荷作用下含邊裂紋功能梯度條二維模型
Fig.1Two-dimensionalmodeloffunctionalgradientstripwithedgecracksunderthermalload

1.2 求解熱應力

本文采用分層思想將功能梯度條沿著y方向分成N個均勻層,并將每一段看作為均質材料,并且認為材料各屬性參量均為常數(shù),因此,各單層的溫度場滿足微分方程

(9)

為了推導方便,定義以下無量綱參數(shù):

(10)

式中:ζ是一個已知的任意實函數(shù);ζn和ζn+1分別表示第n層的上下表面y軸坐標;κn、kn、cn和ρn為第n層的熱擴散率、熱導率、比熱容以及密度;τ為時間.

因此,可得第n層上下表面溫度場可表示為

(11)

層間界面處的溫度場連續(xù)性條件可表示為

(12)

結合式(2)～式(4)中的初始條件,利用分離變量法和拉普拉斯變換對式(10)進行求解[10].

式中F1(τ)=Tn(τ),F2(τ)=Tn+1(τ),此外,本文由于篇幅原因部分參數(shù)未提及.

根據(jù)文獻[10],將溫度函數(shù)式(13)代入式(7)得熱應力方程

1.3 求解裂紋強度因子

該裂紋問題可用疊加原理求解,即首先求解熱傳導問題并獲得熱應力,其次,將不含裂紋情況下的熱應力問題轉化成等溫下裂紋表面含有與熱應力等值反向的載荷問題.通過疊加就可以將該問題轉化為求解裂紋表面載荷的問題.

該問題的邊界條件和連續(xù)性條件為

u(ζ)=0,ζ?(0,l/h).

(15)

為了求解積分,定義輔助函數(shù)ω(ζ),

(16)

則式(15)可化成

式中u(ζ)為沿x方向的位移矢量,l為裂紋長度.

應用文獻[15]中使用的數(shù)值方法求解邊裂紋的奇異積分方程組,其表達式為

該未知的φ(s,τ)可表示為[16]

(22)

其中,φ(s,τ)表示不存在奇異性的函數(shù).

最終可求得裂紋尖端處的無量綱熱應力強度因子表達式如下:

(23)

2 算例與結果分析

為驗證模型的有效性,本文選取由TiC和Ni 2種典型材料組成的兩相功能梯度材料體系進行研究(TiC和Ni功能材料的物理性能參數(shù)見表1),該材料具有抗熱沖擊,防止應力在界面處集中等特點[17-18].層數(shù)N是20.本文采用文獻[4]中的指數(shù)函數(shù)對材料的熱機械屬性進行表征,其表達式為:

X(y)=Xceln(Xm/Xc)(y/h)

(24)

其中:X(y)為FGM材料的熱機械屬性函數(shù),X可分別為彈性模量E、泊松比ν、熱膨脹系數(shù)a、熱導率k、密度ρ以及質量定壓熱容C等物理量,m和c分別為代表金屬相和陶瓷相的下角標,此外,當y=0時,表示為純基體相,當y=h時,表示為純夾雜相.

表1 TiC和Ni功能材料的物理性能參數(shù)Table 1 Physical performance parameters of TiC and Ni functional materials

σ0=αcEcT1/(1-νc).

2.1 不同升溫條件下的熱應力分布

下面考慮在不同升溫條件下,功能梯度條的上下表面溫度比率為(T1/T2=30)的熱應力分布情況.

圖2給出了T1/T2=30條件下,不同升溫條件下最大熱拉應力σ(無量綱)在功能梯度條不同位置處的變化情況.從圖2可以看出,升溫速率的不同會導致最大拉應力的幅值、產(chǎn)生時間以及在材料中發(fā)生位置的差異性.這說明隨著升溫速率的增加將會導致最大拉應力的增大,同時也會將應力峰值移向升溫表面.

圖3所示分別為3種升溫條件下材料表面及中心位置的熱應力(無量綱)分布隨時間(無量綱)的變化曲線.圖中可見當時間較短時,3種情況下的平板表面都受壓應力, 而中心位置則都受拉應力. 然而, 隨著時間的增加, 3種升溫速率下的材料表面及中心位置熱應力呈現(xiàn)出不同的變化趨勢: 在指數(shù)升溫和熱沖擊情況下, 材料的中心位置及下表面受到的熱應力會達到一個峰值, 然后緩慢降低,而在線性升溫情況下, 熱應力呈現(xiàn)單調增加的趨勢; 相對于熱沖擊加載而言, 雖然材料上表面在指數(shù)升溫加載時受到的壓應力在溫度加載初期(τ≤0.02)時在絕對值上呈現(xiàn)了上升的趨勢, 但是隨著時間的增加, 其熱壓應力絕對值趨于減小, 此外, 材料上表面在線性升溫速率下受到的熱壓應力同樣保持增加的趨勢.

圖2不同升溫條件下最大熱拉應力隨時間的變化曲線

Fig.2Curvesofmaximumthermaltensilestresswithtimeunderdifferentheatingconditions

(a) 線性升溫(b) 熱沖擊(c) 指數(shù)升溫

圖3不同升溫條件下梯度材料不同位置的熱應力隨時間的變化曲線

Fig.3Curvesofthermalstresswithtimefordifferentpositionsofgradientmaterialsunderdifferenttemperaturerisingconditions

2.2 裂紋長度變化下的熱應力強度因子

為了分析不同升溫速率對材料小裂紋的熱應力強度因子的影響情況,本文考慮Ⅰ型裂紋問題,為了簡化裂紋分析的計算,本文考慮了一種特殊的FGM,其中認為FGM材料的泊松比和彈性模量均為常數(shù)[5],對于楊氏模量變化不大的材料(例如氧化鋯/鋼,氧化鋯/鎳體系),這種假設也很有用.

由于在本文中不考慮表面裂紋接觸問題,因此應力強度因子在進入受壓區(qū)域后出現(xiàn)負值.當裂紋長度l≤臨界裂紋長度a0時,熱應力強度因子在壓應力區(qū)域.在不同的升溫條件下,裂紋長度臨界值不同,其壓應力區(qū)域范圍也不同.表2所示為3種升溫條件下升溫結束時的裂紋長度臨界值.從表中可以看出,隨著升溫速率的增加,壓應力區(qū)域的范圍逐漸減小.本文中我們考慮了初始裂紋長度為a0≤l≤0.15h的情況.

表2 不同升溫條件下臨界裂紋長度Table 2 Critical crack length under different heat rate

圖4給出了裂紋長度l分別在0.05、0.10和0.15h的條件下,裂紋尖端處的熱應力強度因子TSIF(無量綱)在不同升溫條件下隨時間的變化情況.

(a) l=0.05h(b) l=0.10h(c) l=0.15h

圖4不同升溫條件下含邊裂紋功能梯度TSIF隨時間的變化曲線

Fig.4CurvesofTSIFgradientwithedgecrackswithtimeunderdifferentheatingconditions

由圖4可知,試樣的應力強度因子隨裂紋長度增加而增大.此外,隨著升溫速度的增加,應力場在裂紋尖端處也會隨之增加,而材料受到的熱應力也會更早的變化,這說明隨著升溫速率的增加會導致熱壓應力區(qū)域的減小.同樣,在熱沖擊作用下,裂縫面效應的重疊最大化并且是最短暫的.而對于線性升溫情況下,很明顯觀察到,當裂紋長度大于等于0.15h時,試樣加熱結束后發(fā)現(xiàn)TSIF略有增加,而對于長度小于0.15h的裂紋,其試樣的應力強度因子隨時間變化較為平緩,說明在當前裂紋情況下保持了較好的穩(wěn)定性.

3 結 論

研究了含裂紋的非均質功能梯度條在受到熱沖擊,指數(shù)升溫和線性升溫情況下的熱應力和應力強度因子的影響.結果表明:

1) 升溫速率的降低將會導致功能梯度條受到的熱應力減少;

2) 功能梯度條在熱沖擊和指數(shù)升溫情況下受到的最大熱應力差異顯著;

3) 材料中受到的拉、壓應力在線性升溫情況下將會同時增加;

4) 升溫速率的降低以及邊裂紋長度的減小將會導致材料中裂紋穩(wěn)定性增加;

5) 升溫速率的降低導致FGM裂紋擴展開始延遲.