史小平,林曉涵,李師輪,王子才

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制與仿真中心,哈爾濱 150080； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

近年來，考慮避免碰撞的編隊飛行航天器系統(tǒng)協(xié)同控制受到了廣泛的研究和關(guān)注[1-7]. 與魯棒性較差的單個航天器系統(tǒng)相比較[8]，多航天器編隊飛行系統(tǒng)具有通信成本低、魯棒性強、效率高等優(yōu)點[9]，可以突破單個航天器編隊系統(tǒng)的局限，對探測所需要的控制目標有更廣闊的前景和更有意義的研究價值.

在航天器編隊飛行系統(tǒng)協(xié)同控制的實際應(yīng)用中，要求航天器能獲得相互信息以實現(xiàn)對期望狀態(tài)的跟蹤. 然而在信息獲取的過程中由于距離和傳輸設(shè)備的約束，通常存在通信延遲[10]、信息無法實時準確獲取[11]、航天器之間存在碰撞等情況. 在編隊飛行過程中，由于存在燃料損耗，航天器質(zhì)量等信息無法精確實時獲取，且在信息傳遞時會受到各種外部擾動的影響. 根據(jù)上述分析的問題，為了提高編隊航天器間協(xié)同控制的性能和精度，設(shè)計相應(yīng)的自適應(yīng)協(xié)同避碰控制算法具有重要的研究意義. 文獻[12]中對航天器編隊協(xié)同控制進行分析，同時考慮避免碰撞提出了3種不同的編隊跟蹤控制方法. 在文獻[13]中基于編隊衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型方程，通過引入速度濾波器設(shè)計了能夠保證速度誤差漸近收斂的自適應(yīng)協(xié)同控制器. 文獻[14]進一步考慮推力校正和系統(tǒng)增益存在不確定性的情況下，提出了自適應(yīng)跟蹤控制算法.在上述分析的協(xié)同控制律中均為全狀態(tài)反饋，而在實際的航天器編隊飛行任務(wù)應(yīng)用中，為節(jié)約燃料消耗、防止航天器之間的相對速度測量裝置發(fā)生故障導(dǎo)致整個系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要保證編隊系統(tǒng)在無速度測量情況下的有效協(xié)同作用. 文獻[15]提出了一種僅利用領(lǐng)航-跟蹤航天器編隊中的相對姿態(tài)反饋跟蹤相對轉(zhuǎn)動的控制器. 文獻[16]考慮輸入受限的情況下，針對多Euler-Lagrange系統(tǒng)提出了一種無速度測量的分布式有限時間跟蹤控制算法.

在編隊飛行過程中，航天器之間避免碰撞是實現(xiàn)多航天器編隊跟蹤控制目標的重要保證. 近年來，在多無人機協(xié)同控制、機械系統(tǒng)同步控制、多無人車協(xié)同控制等方面引起了國內(nèi)外廣泛的研究和關(guān)注. 碰撞規(guī)避的主要研究方法可以分為：博弈論、碰撞概率分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、半定規(guī)劃[17]和勢函數(shù)法[18].而勢函數(shù)因其簡單直觀的物理意義成為解決避免碰撞的一種重要方法[19-20]. 文獻[21]基于勢函數(shù)的方法對模型不確定的編隊飛行衛(wèi)星系統(tǒng)設(shè)計了避免碰撞的自適應(yīng)協(xié)同控制器，同時考慮了參考軌跡作用的問題. 文獻[22]設(shè)計了能保證Lagrange系統(tǒng)協(xié)同避碰的控制律，并考慮輸入擾動的影響. 在此基礎(chǔ)上，文獻[23]分析了Lagrange系統(tǒng)同時存在外部干擾和參數(shù)不確定的情況下的穩(wěn)定性，并利用勢函數(shù)的方法設(shè)計相應(yīng)的魯棒自適應(yīng)控制算法.

受上述文獻的啟發(fā)，本文針對航天器質(zhì)量未知和存在通信時延的情況，考慮反饋狀態(tài)對航天器編隊飛行系統(tǒng)的影響，分別對于全狀態(tài)反饋和無速度測量設(shè)計兩種自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律.首先，本文考慮了存在通信時延的航天器編隊飛行系統(tǒng)的自適應(yīng)協(xié)同避碰控制問題，在設(shè)計相應(yīng)控制律時，選取合理滿足系統(tǒng)的勢函數(shù)，實現(xiàn)避免碰撞的控制目標；其次，考慮航天器編隊反饋狀態(tài)的角度，分別提出了全狀態(tài)反饋和無速度測量的自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律，并同時考慮了航天器質(zhì)量不確定性和通信時延，對于參數(shù)不確定有較好的自適應(yīng)性; 最后通過仿真分析證明了所設(shè)計控制律的有效性.

1 基礎(chǔ)理論

1.1 相對運動非線性模型

在本文中每個航天器均假設(shè)為剛體結(jié)構(gòu)，則n個航天器繞參考航天器編隊飛行情況示意圖，如圖1所示.其中FI{OIXIYIZI}為赤道慣性坐標系，其原點OI代表地球的中心.Fl{olxlylzl}為參考航天器軌道坐標系，用來描述編隊航天器間的相互運動，其原點ol位于參考航天器的質(zhì)心，xl軸沿著地球質(zhì)心指向參考航天器的矢量方向，yl軸垂直于xl軸并位于參考航天器軌道平面，zl軸通過右手定則獲得.rl為參考航天器相對于地球質(zhì)心的位置矢量[24].

圖1 編隊航天器飛行系統(tǒng)坐標系

Fig.1 Coordinate frame for the formation spacecraft flying system

在不考慮參考航天器所受主動力控制的作用下，假設(shè)參考航天器在橢圓軌道上運行.ri、vi分別為第i個航天器相對與參考航天器的在編隊飛行系統(tǒng)中的位置和速度，則第i個航天器非線性動力學(xué)模型的相對運動方程為：

(1)

ni(rfi,rl)+di+fi,

(2)

其中：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：dl、dfi分別為參考航天器和第i個航天器所受到的外部干擾總和;θc為參考航天器的真近點角;rl、rfi分別為參考航天器和第i個航天器到地球中心的距離;I3×3為適當維數(shù)的單位矩陣，μ為地球引力常數(shù).

為能夠更好地設(shè)計本文所提出的自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律，利用Euler-Lagrange方程來描述編隊飛行航天器系統(tǒng)的相對運動[25]：

(7)

式中：

1.2 基礎(chǔ)圖論

本文中用加權(quán)無向圖G=(V,E,A)來描述編隊航天器之間的信息傳遞[26]：V={v1,…,vn}為節(jié)點集，E?V×V為連接節(jié)點的邊集，A=[aij]∈Rn×n為加權(quán)鄰接矩陣.若(j,i)∈E，且(i,j)∈E，則稱G為無向圖. 如果第j個節(jié)點有指向第i個節(jié)點的路徑且存在信息傳遞，則第j個節(jié)點就有一條邊指向第i個節(jié)點，記為(j,i)∈E.在無向圖中，如果任意兩點之間存在路徑連接，則無向圖具有連通性[26].

1.3 勢函數(shù)設(shè)計與控制目標設(shè)定

1.3.1 勢函數(shù)設(shè)計

本文利用勢函數(shù)的方法來完成多航天器編隊飛行避免碰撞的控制目標，使系統(tǒng)達到期望的控制狀態(tài). 勢函數(shù)的主要優(yōu)點在于：在期望的狀態(tài)下具有全局最小值，且具有較高勢函數(shù)值的區(qū)域代表障礙碰撞等限制情況. 受文獻[27]啟發(fā)，設(shè)計勢函數(shù)的主要思想如下：首先，定義一個反映系統(tǒng)約束條件的標量勢函數(shù). 其次，利用勢函數(shù)的梯度值表示施加在航天器編隊上避免碰撞的控制力. 最后，設(shè)計適當?shù)目刂坡墒瓜到y(tǒng)勢函數(shù)的值具有減小的趨勢，并且應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，保證編隊系統(tǒng)的位置和速度均同時收斂于期望狀態(tài)，滿足避免碰撞的控制目標.

Rij、rij分別為編隊系統(tǒng)通信和最小安全區(qū)域的距離，選取如下的避免碰撞勢函數(shù)：

式中,Vij(ri,rj)為一個非負連續(xù)的可微函數(shù).

Vij沿向量ri的梯度表示為

1.3.2 控制目標設(shè)定

2 控制律設(shè)計

在本文中，為實現(xiàn)編隊航天器飛行系統(tǒng)的自適應(yīng)協(xié)同避免碰撞控制，分別對于全狀態(tài)反饋和無速度測量情況，設(shè)計相應(yīng)的控制律. 在設(shè)計控制律時，為實現(xiàn)編隊系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)考慮：1)編隊航天器對期望位置和期望速度的跟蹤；2)編隊航天器的協(xié)同控制作用使其狀態(tài)趨于穩(wěn)定；3)保證編隊航天器之間不發(fā)生碰撞.

2.1 全狀態(tài)反饋自適應(yīng)協(xié)同控制律

將輔助變量定義如下:

通過利用滑模變結(jié)構(gòu)理論，第i個航天器可以表示為

式中η為正常數(shù).

定理1考慮航天器編隊相對運動模型(1)～(6)，如果通信拓撲結(jié)構(gòu)為無向圖，假設(shè)第i個航天器所受到的外部擾動di=0，在存在航天器質(zhì)量參數(shù)不確定性、通信時延的情況下，同時考慮避免碰撞的控制目標，將航天器編隊飛行系統(tǒng)控制律設(shè)計如下：

(8)

(9)

(10)

定義第i個航天器的質(zhì)量估計誤差為

根據(jù)勢函數(shù)設(shè)計與控制目標設(shè)定提出的勢函數(shù)方法和文獻[27]所提出的相關(guān)內(nèi)容，本文對勢函數(shù)作如下假設(shè).

假設(shè)1若拓撲結(jié)構(gòu)為無向圖且Vij(‖ri-rj‖)對稱，則可以得到▽riVij(‖ri-rj‖)=-▽rjVij(‖ri-rj‖).

在本文中，假設(shè)航天器所受到外部擾動di=0，將控制律(8)～(10)代入式(2), 則閉環(huán)系統(tǒng)可以寫為

證明1定義如下Lyapunov函數(shù):

(11)

將式(11)對時間求導(dǎo)，可以得到:

(12)

在對式(12)推導(dǎo)過程中，需要分析如下幾點：

2)若航天器編隊系統(tǒng)的通信拓撲結(jié)構(gòu)為無向圖，則aij=aji，進一步可以得到如下等式成立:

3)若通信拓撲結(jié)構(gòu)為無向圖且▽riVij=-▽rjVij，則

4)時間延遲滿足如下不等式:

根據(jù)上述分析，式(12)可以寫為

2.2 無速度反饋自適應(yīng)協(xié)同控制律

受文獻[29]啟發(fā)，考慮到通信時延的情況，設(shè)計一種無源濾波器：

(13)

(14)

式中：i=1,…,n，Θ∈R3是Hurwitz矩陣.Λ=ΛT∈R3×3為正定矩陣滿足如下Lyapunov等式：

ΘTΛ+ΛΘ=-Q,

式中，Λ、Q均為對稱正定陣.

定理2考慮航天器編隊相對運動模型(7)，如果通信拓撲結(jié)構(gòu)為無向圖，假設(shè)第i個航天器所受到的外部擾動di=0，在存在航天器質(zhì)量參數(shù)不確定性、通信時延及速度無法測量的情況下，同時考慮避免碰撞的控制目標，將航天器編隊飛行系統(tǒng)控制律設(shè)計如下：

(15)

(16)

式中,ξi為自適應(yīng)更新律的正常數(shù)量. 則有

引理1文獻[30]假設(shè)M∈Qp×p，N∈Qq×q，則下式成立：

1)(M?N)(A?B)=MA?NB.

2)假設(shè)M和N為可逆矩陣，則滿足(M?N)-1=M-1?N-1.

3)如果M和N是對稱正定的，則M?N同樣也為對陣矩陣.

與設(shè)計全狀態(tài)反饋控制律相似，假設(shè)航天器編隊受到的外部干擾為零，則閉環(huán)系統(tǒng)方程可寫為

證明定義如下Lyapunov函數(shù):

(17)

將式(17)對時間求導(dǎo)，可以得到:

(18)

在對式(18)推導(dǎo)過程中，需要分析如下幾點：

1)根據(jù)式(13)可以得到如下:

(19)

2)如果編隊航天器之間相互作用的通信拓撲結(jié)構(gòu)是無向的，且拓撲圖的邊指向航天器，則矩陣Ξ=LA+diag(a10,…,an0)是對陣正定的.

3)根據(jù)引理1可知，等式(Ξ?I3)-1(In?Λ)=Ξ-1?Λ是對稱正定的.

根據(jù)上述分析，式(18)可以重新寫為

3 仿真分析

為了驗證本文所設(shè)計控制律的有效性，以3個航天器編隊飛行系統(tǒng)為例，分別對全狀態(tài)反饋和無速度測量自適應(yīng)協(xié)同控制進行相應(yīng)的仿真.

將避免碰撞的最小安全距離設(shè)置為cij=10 m，選取勢函數(shù)為

首先，設(shè)置全狀態(tài)反饋自適應(yīng)協(xié)同控制律(14)～(16)中的參數(shù)如下：λi=50,γi=50,α=1，通信拓撲圖為無向圖，則aij=0.5，反之a(chǎn)ij=0.

在全狀態(tài)反饋自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律(8)～(10)的作用下，圖2、3分別為航天器編隊相對位置誤差曲線和相對速度誤差曲線.由圖2、3可以看出，在跟蹤到期望位置的過程中，編隊航天器相對于參考航天器速度收斂于零附近，同時編隊航天器相對距離在100 s后基本保持不變，在任意時刻相對距離均不小于c=10 m，避免碰撞的發(fā)生.

圖2 全狀態(tài)反饋相對位置誤差曲線

圖3 全狀態(tài)反饋相對速度誤差曲線

其次，設(shè)置無速度測量自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律(15)～(16)中的參數(shù)如下：β=1,ξi=0.1通信拓撲圖為無向圖，則aij=0.3，反之a(chǎn)ij=0.

在無速度測量自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律(15)～(16)的作用下，圖4、5分別為航天器編隊相對位置誤差曲線和相對速度誤差曲線.由圖4、5可以看出，位置跟蹤誤差曲線和速度跟蹤誤差曲線均能收斂到零附近，且收斂時間具有同步性并保持編隊飛行系統(tǒng)穩(wěn)定，在圖4中，相對位置跟蹤誤差以穩(wěn)態(tài)誤差約為10-3m，而在圖5中相對速度跟蹤的穩(wěn)態(tài)誤差約為10-5m/s.

圖4 無速度測量相對位置誤差曲線

圖5 無速度測量相對速度誤差曲線

圖6、圖7分別給出了全狀態(tài)反饋和無速度測量控制力曲線圖. 在圖6、圖7中可以看出，在仿真的初始階段由于存在通信延遲會產(chǎn)生較大的抖振，但隨著時間的變化曲線均達到收斂.與全狀態(tài)反饋自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律相比，編隊航天器在無速度測量自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律作用下，相對振幅較大，是由于航天器質(zhì)量估計值在自適應(yīng)更新律中穩(wěn)態(tài)控制不能為零.因此，根據(jù)設(shè)計的控制律(8)～(10)、(15)～(16)可以看出，當輔助變量收斂到零附近時，控制變量不能達到零.

圖6 全狀態(tài)反饋控制力曲線

圖7 無速度測量控制力曲線

編隊航天器避免碰撞的相對位置變化軌跡如圖8所示，在航天器編隊飛行時假設(shè)各航天器為剛體結(jié)構(gòu)，但是在實際應(yīng)用運行過程中會受到姿態(tài)展開等因素的影響，這些干擾因素仍然是無法忽略的. 由圖8可以看出，各航天器均能到達期望軌跡且不發(fā)生碰撞. 根據(jù)上述分析可知，航天器編隊飛行閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并完成編隊跟蹤、避免碰撞、自適應(yīng)協(xié)同控制的控制目標.

圖8 編隊航天器避免碰撞相對運動軌跡

Fig.8 Relative motion trajectories of formation spacecraft for collision avoidance

4 結(jié) 論

1)在航天器編隊飛行控制系統(tǒng)存在通信時延、質(zhì)量參數(shù)不確定的情況下，考慮反饋狀態(tài)信息的不同狀態(tài)，提出了兩種具有較強魯棒性的自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律.

2)選取合理的勢函數(shù)包含在自適應(yīng)協(xié)同避碰控制律中，實現(xiàn)編隊飛行系統(tǒng)避免碰撞的發(fā)生，具有較高的控制精度.

3)利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對所設(shè)計的兩種控制律進行理論分析證明，證明航天器編隊飛行閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性. 仿真結(jié)果進一步驗證了所設(shè)計控制律的有效性.