傅惠民， 文歆磊， 吳 瓊

（1.北京航空航天大學(xué) 小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191； 2.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部， 北京 100094）

0 引言

隨著產(chǎn)品壽命和可靠性的不斷提高， 加速壽命試驗(yàn)應(yīng)用越來越廣泛。 對于工程上常見的加速系數(shù)未知的情況，一般需在多個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行壽命試驗(yàn)，并采用最佳線性無偏估計(jì)（BLUEs）等方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[1]，這不僅導(dǎo)致試驗(yàn)工作量較大，而且在較低的加速應(yīng)力水平還會(huì)出現(xiàn)不完全數(shù)據(jù)，甚至無失效數(shù)據(jù)，無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

為此，本文給出一種小樣本加速壽命試驗(yàn)方法，只需在兩個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)， 即可確定加速系數(shù)，并推斷出產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平下高置信度、高可靠度的壽命單側(cè)置信下限。 與傳統(tǒng)方法相比，本文方法在精度相同的條件下可以節(jié)省大量試驗(yàn)， 而在試驗(yàn)量相同時(shí)則可提高精度。

1 小樣本加速系數(shù)

設(shè)S 為廣義應(yīng)力（溫度、濕度、電應(yīng)力、載荷、載荷譜、環(huán)境譜等），為了確定產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S0下可靠壽命tR的置信水平為γ 的單側(cè)置信下限tRL， 采用加速壽命試驗(yàn)，以解決試驗(yàn)時(shí)間長、成本高的問題。

現(xiàn)選取一個(gè)加速應(yīng)力水平S2，按傳統(tǒng)方法，加速應(yīng)力水平S2對應(yīng)力水平S0的加速系數(shù)為[1]

式中，tR，0和tR，2分別為產(chǎn)品在S0和S2下可靠度為R 的壽命。理論上還可以證明，對于指數(shù)分布、兩參數(shù)Weibull 分布、對數(shù)正態(tài)分布等，加速系數(shù)τ2～0與可靠度R 無關(guān)，可以用壽命均值或特征壽命代替tR，0和tR，2。

然而，tR，0和tR，2均為真值，工程上無法求得，只能得到其估計(jì)值，特別是在小樣本情況下，加速系數(shù)往往與可靠度R 和置信水平γ 都有關(guān)，因此定義小樣本加速系數(shù)τ～2～0為

式中，tRL，0和tRL，2分別為產(chǎn)品在S0和S2下置信水平為γ的可靠壽命tR，0和tR，2的單側(cè)置信下限。由此可知，采用式（2）給出的加速系數(shù)進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，并評(píng)估產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限tRL，0，可以減小誤差，提高精度。

1.1 基于阿倫尼斯模型的加速系數(shù)

當(dāng)溫度作為加速應(yīng)力時(shí)， 加速方程通常可采用阿倫尼斯模型，即有

式中，m 和C 為待定參數(shù)。 將式（3）代入可得

再將式（4）和式（5）代入式（2），求得加速應(yīng)力水平S2對應(yīng)力水平S0的小樣本加速系數(shù)為

1.2 基于逆冪律模型的加速系數(shù)

當(dāng)電應(yīng)力（電壓、電流、功率等）、載荷、濕度等作為加速應(yīng)力時(shí)，其加速方程為

式中，m 和C 為待定參數(shù)。 將式（3）代入可得

根據(jù)式（2）和式（7），可以得到加速應(yīng)力水平S2對應(yīng)力水平S0的小樣本加速系數(shù)～ 為

1.3 基于指數(shù)模型的加速系數(shù)

電應(yīng)力、 載荷作為加速應(yīng)力， 有時(shí)也可采用指數(shù)模型，其加速方程為

式中，m 和C 為待定參數(shù)。 將式（3）代入可得

同樣，求得加速應(yīng)力水平S2對應(yīng)力水平S0的小樣本加速系數(shù)0為

在失效機(jī)理不變的前提下，加速應(yīng)力水平S2應(yīng)盡可能選得大一些，加速效果會(huì)更加明顯，而且在高加速應(yīng)力水平下，產(chǎn)品更容易暴露其存在的缺陷和薄弱環(huán)節(jié)。加速應(yīng)力水平S1也盡可能選得大一些，但應(yīng)與S2有一定的差距，避免壽命分散性干擾加速應(yīng)力水平S2對S1的加速系數(shù)τ～2～1。

2 可靠壽命和可靠度評(píng)估

2.1 基于阿倫尼斯模型的情況

當(dāng)溫度作為加速應(yīng)力時(shí)，由式（6）可知，產(chǎn)品在正常應(yīng)力S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限由下式計(jì)算

式中

2.2 基于逆冪律模型的情況

當(dāng)電應(yīng)力、載荷、濕度等作為加速應(yīng)力時(shí)，由式（9）可知，產(chǎn)品在正常應(yīng)力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限tRL，0仍由式（13）計(jì)算，此時(shí)

2.3 基于指數(shù)模型的情況

當(dāng)采用指數(shù)模型作為加速方程時(shí)，由式（12）可知，產(chǎn)品在正常應(yīng)力S0下置信水平為γ、 可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限tRL，0仍由式（13）給出，此時(shí)

根據(jù)置信限等同性原理可知，產(chǎn)品在給定應(yīng)力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，0也可以通過式（13）求得。 具體只需在式（13）中令tRL，0=t，并求解出相應(yīng)的可靠度， 即為產(chǎn)品在給定應(yīng)力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，0，詳見下面兩節(jié)。

3 小樣本定時(shí)截尾加速試驗(yàn)

設(shè)產(chǎn)品在應(yīng)力水平S 下的壽命t 服從兩參數(shù)Weibull 分布

式中，α 為形狀參數(shù)，不隨S 變化；β（S）為尺度參數(shù)，是S的函數(shù)。

設(shè)有n 個(gè)試樣進(jìn)行定時(shí)截尾試驗(yàn)， 得到r 個(gè)失效數(shù)據(jù)t1，t2，…，tr，n-r 個(gè)未失效數(shù)據(jù)t0，則其置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為[2]

工程實(shí)際中，由于形狀參數(shù)α 通常未知，還不能直接用式（18）求得可靠壽命的置信下限。 但是在多數(shù)情況下能夠知道α≥α0，即形狀參數(shù)的下限α0已知（例如，對于鋁合金結(jié)構(gòu)，α0=4； 鈦合金結(jié)構(gòu)，α0=3； 鋼結(jié)構(gòu)，α0=2.2）[3]。可以證明[2]，若給定的R 滿足

則置信水平為γ 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為

即

3.1 加速系數(shù)

根據(jù)式（3）和式（22），求得加速應(yīng)力水平S2對加速應(yīng)力水平S1的加速系數(shù)為

式中，T1和T2分別是應(yīng)力水平S1和S2下的廣義總試驗(yàn)時(shí)間，可通過式（20）求得；r1和r2分別是S1和S2下的失效數(shù)，并且S1和S2下的試樣數(shù)n 和截止時(shí)間t0均相同。

將式（24）代入式（6）、式（9）和式（12），即可得到定時(shí)截尾試驗(yàn)各加速方程下的加速系數(shù)。

3.2 可靠壽命置信下限

根據(jù)式（13），求得產(chǎn)品在正常應(yīng)力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限為

對于阿倫尼斯模型、逆冪律模型和指數(shù)模型，式中S*分別由式（14）～式（16）給出。

3.3 可靠度置信下限

根據(jù)置信限等同性原理，由式（25）可以求得產(chǎn)品在給定應(yīng)力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度R 的單側(cè)置信下限

式中，S*分別由式（14）～式（16）給出。

4 小樣本定數(shù)截尾加速試驗(yàn)

設(shè)產(chǎn)品在應(yīng)力水平S 下的壽命t 服從式（17）給出的兩參數(shù)Weibull 分布。 現(xiàn)對n 個(gè)試樣開展定數(shù)截尾試驗(yàn)，得到r 個(gè)失效數(shù)據(jù)t1≤t2≤…≤tr，剩余n-r 個(gè)試樣在試驗(yàn)停止時(shí)間tr處仍未失效。 則該產(chǎn)品的置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為

同樣，形狀參數(shù)α 通常未知，但是其下限α0已有大量統(tǒng)計(jì)資料[3]。 可以證明，若給定的R 滿足

則置信水平為γ 的可靠壽命tR的單側(cè)置信下限為

即式（23）成立。

4.1 加速系數(shù)

根據(jù)式（3）和式（31），求得加速應(yīng)力水平S2對加速應(yīng)力水平S1的加速系數(shù)為

式中，T1和T2分別是應(yīng)力水平S1和S2下的廣義總試驗(yàn)時(shí)間，可通過式（29）求得；S1和S2下的失效數(shù)r 和試樣數(shù)n 均相同。

將式（32）代入式（6）、式（9）和式（12），即可得到定數(shù)截尾試驗(yàn)各加速方程下的加速系數(shù)。

4.2 可靠壽命置信下限

根據(jù)式（13），求得產(chǎn)品在正常應(yīng)力S0下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限為

對于不同的加速模型，S*分別由式（14）～式（16）給出。

4.3 可靠度置信下限

根據(jù)置信限等同性原理，由式（33）求得產(chǎn)品在給定應(yīng)力S0下壽命t 處置信水平為γ 的可靠度R 的單側(cè)置信下限為

式中，S*分別由式（14）～式（16）給出。

5 其他情況

當(dāng)產(chǎn)品壽命服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，對于完全數(shù)據(jù)，可采用文獻(xiàn)[4]方法計(jì)算加速應(yīng)力水平S1和S2下置信水平為γ、可靠度為R 的壽命單側(cè)置信下限；對于截尾數(shù)據(jù)和不完全數(shù)據(jù)，可采用文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算置信水平為γ 的可靠壽命單側(cè)置信下限。

對于兩參數(shù)Weibull 分布且形狀參數(shù)下限α0未知，以及其他連續(xù)分布和數(shù)據(jù)類型的情況，均可采用文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]方法計(jì)算置信水平為γ 的可靠壽命單側(cè)置信下限。

6 算例

6.1 算例1

表1 給出了某產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平S1=450MPa 和S2=500MPa 下的壽命數(shù)據(jù)， 試驗(yàn)截尾時(shí)間均為106循環(huán)。已知該產(chǎn)品的壽命服從兩參數(shù)Weibull 分布，取α0=3。 要求確定該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S0=150MPa 下置信水平γ=0.9、可靠度R=0.999 的壽命單側(cè)置信下限。

表1 某產(chǎn)品定時(shí)截尾加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)

由于該試驗(yàn)以載荷作為加速應(yīng)力， 因此可采用逆冪律模型作為加速方程，根據(jù)式（15）和式（25），求得S0下置信水平γ=0.9、可靠度R=0.999 的壽命置信下限為

6.2 算例2

某航天零件需在40℃下連續(xù)工作15 年，經(jīng)分析可知其關(guān)鍵失效模式為應(yīng)力松弛， 當(dāng)載荷損失率達(dá)到規(guī)定的閾值時(shí)，即可認(rèn)為失效。為驗(yàn)證該零件的可靠度能否滿足“R=0.999（置信水平為γ=0.9）”的指標(biāo)要求，在180℃和220℃下分別投入一個(gè)試樣進(jìn)行高溫應(yīng)力松弛試驗(yàn)。

雖然采用了高溫加速試驗(yàn)，但是試驗(yàn)至400h 時(shí)，試樣的退化量仍然較小。 此時(shí)，采用文獻(xiàn)[7]提出的冪函數(shù)退化曲線快速測試方法，外推得到180℃和220℃下的壽命分別為3770h 和960h。 已知該零件由高強(qiáng)度鋼制成，其壽命服從兩參數(shù)Weibull 分布，因此可取α0=2.2。 根據(jù)式（14）和式（34），求得40℃下15 年壽命的可靠度單側(cè)置信下限為

由此可知，該零件的可靠性能夠滿足指標(biāo)要求。

7 結(jié)論

提出一種小樣本加速壽命試驗(yàn)方法，只需在兩個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，即可對產(chǎn)品在正常使用條件下的可靠壽命和可靠度進(jìn)行評(píng)估。 與傳統(tǒng)方法相比，可以節(jié)省大量試驗(yàn)，并且對Weibull 分布、對數(shù)正態(tài)分布等任意連續(xù)分布以及完全數(shù)據(jù)、截尾數(shù)據(jù)、不完全數(shù)據(jù)均適用。

本文采用的加速系數(shù)因考慮了可靠度和置信水平的影響，所以在可靠性評(píng)估中可以有效提高精度。文中詳細(xì)討論了Weibull 分布定時(shí)截尾和定數(shù)截尾兩種工程上常見的加速壽命試驗(yàn)，給出了加速系數(shù)、可靠壽命和可靠度單側(cè)置信下限公式。對于加速退化試驗(yàn)，當(dāng)試樣在加速應(yīng)力水平下長期試驗(yàn)仍然不失效時(shí)，可以結(jié)合文獻(xiàn)[7]或文獻(xiàn)[8]方法進(jìn)行快速測試。

文中討論了工程上常見的三種加速模型， 對于其他加速模型本文方法也同樣適用。 特別是對于應(yīng)力水平與壽命在雙對數(shù)坐標(biāo)系或半對數(shù)坐標(biāo)系中并非線性關(guān)系，而是呈現(xiàn)出先快速下降再緩慢下降的“先快后慢”規(guī)律的情況， 可直接采用文中方法和三個(gè)加速模型進(jìn)行可靠性評(píng)估，且結(jié)果偏于保守，工程上安全可用。