于方舟

【摘 要】 旋轉是圖形運動中的三種全等變換之一，經過旋轉之后的圖形與原圖形是全等的，因此，可以借助旋轉變化的方法幫助我們識別復雜圖形中的全等圖形。本文主要從簡單的旋轉模型開始，以具體題型為例，尋找復雜圖形中所具有的簡單模型，進一步理解旋轉變化。

【關鍵詞】 旋轉變化;全等圖形;三角形

全等三角形是初中幾何的重點內容，旋轉變換是初中數學三大變換之一，一道證明三角形全等的題目，如果從旋轉變換的視角去尋找三角形全等的條件，往往會使得尋找的目標更為明確，對圖形的認識也更為清晰。

一、旋轉模型

如圖1，在等邊三角形ABC和等邊三角形ADE中，AB和AD在同一條直線上，連接BE、CD，分別與AC和AE相交于點G、H，BE和CD的交點記作點F。求證：△ABE≌△ACD。

分析：本題是旋轉的基本模型，由題意：△ABC和△ADE都是等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，同時加上公共角∠GAH，即可得∠BAE=∠CAD，即能證得△ABE≌△ACD（SAS）。在這一問題中，△ABE繞點A順時針旋轉60°與△ACD重合，因此尋找對應線段和對應角就顯得更為明顯。 我們可以從這一問題中，歸納出一個基本的旋轉模型，如圖2，兩個三角形繞著一個頂點旋轉即可重合，利用旋轉變換的視角，即能化繁為簡，在復雜的幾何圖形中，分辨出基本模型。

二、旋轉模型的適當變形

如圖3，以△ABC的兩邊AB、AC為邊，分別向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接BE、CD，相交于點F，請回答以下問題：（1）判斷BE與CD之間的大小關系;（2）判斷∠BFD與∠BAD之間的大小關系。

分析：在這個圖形中，可以將△ABE繞著點A順時針旋轉得到△ADC，因此解決這個問題，首先證明△ABE≌△ADC（SAS），即可得到BE=CD。在判斷∠BAD與∠BFD的大小關系時，可以利用圖形中存在的“8字模型”。在△ADG和△FGB中，∠AGD=∠FGB（對頂角），∠ADG=∠FBG（由三角形全等得到對應角相等），因此，∠BFG=∠DAG=60°。“8字模型”也是由旋轉模型得到的一個結論，通過三角形全等，得到一組對應角相等，再根據對頂角相等，即可得到兩個三角形中的另外一組角相等，由“8字模型”，可以很快找到度數相等的角。

接下來，對于圖3再作適當變形，通過旋轉模型，解決問題。

如圖4，以△ABC的AB、AC為腰，向三角形外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，頂角∠BAD=∠CAE=α，連接BE、CD，相交于點F，連接AF，請證明以下結論：（1）∠BFD=α;（2）∠DFA=∠EFA。

分析：（1）由旋轉模型，很容易得出△ABE≌△ADC，從而得到對應角相等，即∠ABE=∠ADC，再由“8字模型”，可以得到∠BFD=∠BAD=α。

（2）要證∠DFA=∠EFA，可證∠DFA與∠EFA所在的三角形全等。△ABE與△ADC通過旋轉可以重合，那么這兩個三角形的對應元素也是始終相等的，因此可以聯想到，旋轉三角形中的重要對應線段——高線，從而構造全等三角形。過點A作AG⊥CD于點G，AH⊥BE于點H，如圖4。可以得到AG=AH（AG、AH可以看成是△ABE與△ADC對應邊的高，因此它們是相等的;也可通過證明△ABH≌△ADG（AAS），得到AG=AH。在Rt△AGF和Rt△AHF中，AG=AH，AF=AF，所以Rt△AGF≌Rt△AHF（HL）。所以∠AFG=∠AFH，即∠DFA=∠EFA。

思維拓展：如圖5，以△ABC的AB、AC為邊向三角形外作正方形ABDE、ACFG，連接BG、CE，相交于點H。證明：（1）BG⊥CE;（2）∠EHA=∠GHA。

三、模型方法遷移，解決難題

有了上述問題做鋪墊，解決下面的問題就會顯得得心應手。

如圖6，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD相交于點H，AE與CD相交于點G，AC與BD相交于點F，連接HC，FG，有下列結論：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BHC=EGC。其中正確的結論是_。

分析：在此圖形中，可將△BCD繞點A順時針旋轉60°，即可與△ACE重合，因此，這是一個典型的旋轉模型。結論①易證;同樣，可將△BCF繞點C順時針旋轉60°，即可與△ACG重合，故有AG=BF，結論②正確;由△BCF≌△ACG，有CG=CF，又∠FCG=60°，所以△CFG是等邊三角形，所以∠CFG=∠ACB=60°，所以FG∥BE，結論③正確;要證明∠BHC=∠EGC，由上述探究得到啟發(fā)，過點C作CM⊥BD于點M，CN⊥AE于點N，如圖6。CM、CN是旋轉模型中兩個全等三角形對應邊上的高，故CM=CN，易證Rt△CMH≌Rt△CNH（HL），所以∠CHM=∠CHN，即∠BHC=∠EHC，結論④正確。所以，正確的結論有①②③④。

通過對上述旋轉模型的分析和變形，相信我們對此類問題不會再感到迷惑了吧，我們接下來就挑戰(zhàn)一下自己吧！

如圖7，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE;②BG⊥CE;③∠EAM=∠ABC;④AM是△AEG的中線。其中正確的結論是_。

思路點撥：由上述探究，可知①②正確。 過點E、G分別作直線HM的垂線，垂足分別記作P、Q，如圖7。易證Rt△ABH≌Rt△EAP，所以∠EAM=∠ABC，AH=EP;同樣方法證明Rt△ACH≌Rt△EAQ，所以AH=EQ，因此EP=EQ，接下來可證Rt△EPM≌Rt△GQM，得到EM=GM，即AM是△AEG的中線。因此，③④正確。

總結：旋轉模型可以幫助我們在復雜圖形中抽象出基本圖形，迅速找到圖形中存在的全等三角形，利用旋轉圖形的對應線段也是相等的，可以在添加輔助線時給予啟發(fā)，構造全等圖形。 旋轉思想，可以幫助我們化繁為簡，切中圖形要點，使困難問題迎刃而解。