林偉豪，何杰光，肖佳嘉

(廣東石油化工學院 計算機學院，廣東 茂名 525000)

鄭宇軍提出基于淺水波理論[1,2]的水波優(yōu)化算法(WWO)，該算法模擬水波運動中存在的傳播、反射、碎浪等運動，且在旅行商問題和車輛路徑[3]問題得到了較好的應用。張蓓等[4]分析了WWO執(zhí)行傳播和折射操作時的收斂情況，并驗證了上述兩種情況的收斂條件。杜兆宏等[5]提出自適應碎浪系數(shù)調整策略來平衡算法的全局勘探和局部開發(fā)能力。顧啟元等[6]采用雙種群進化結構維持種群多樣性并提高個體學習效率。綜上，可以看出WWO在收斂速度和收斂精度上仍具有較大的改進空間，基于此本文提出了基于自適應參數(shù)調節(jié)和動態(tài)分組學習的水波優(yōu)化算法(DGLWWO)。DGLWWO以非線性變化的碎浪系數(shù)來平衡算法的搜索機制，并設計了基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段，主群與子群的信息交流機制使算法在進化后期仍有找到最優(yōu)解的可能。

1 原始水波優(yōu)化算法

1.1 傳播

(1)

λ=λ·α-(f(X)-fmin+ε)/(fmax-fmin+ε)

(2)

式中：α為波長衰減系數(shù)；fmin和fmax分別為最優(yōu)和最差的水波；ε為一個很小的正數(shù)。

1.2 折射

當水波波高h遞減為零時，按式(3)執(zhí)行折射操作，并將波長重置為h=hmax。

(3)

1.3 碎浪

(4)

2 基于自適應參數(shù)調節(jié)和動態(tài)分組學習的水波優(yōu)化算法

2.1 碎浪系數(shù)β的自適應調節(jié)

碎浪系數(shù)β控制在最優(yōu)水波附近密集搜索孤立波的范圍，β越大，搜索范圍越大，全局搜索能力越強。WWO的β隨迭代次數(shù)的增加而線性遞減，無法很好地平衡算法前期的全局搜索能力和后期的局部開發(fā)能力?；诖耍疚脑O計了正弦變化的碎浪系數(shù)β，其表示為

(5)

圖1 自適應碎浪系數(shù)

WWO和DGLWWO的碎浪系數(shù)如圖 1所示，DGLWWO在進化前期保持較大的碎浪系數(shù)，有利于支持算法的全局搜索，特別是在求解多局部最優(yōu)值問題時，一定程度上提高了找到其他更優(yōu)解的概率。而隨著迭代的進行，碎浪系數(shù)迅速減小，使算法能夠進行更多的局部精細開發(fā)。

2.2 基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段

為了解決WWO種群后期進化緩慢的問題，本文設計了基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段。其動態(tài)分組策略過程主要是，隨機從[2,10]內選擇分組規(guī)模M，分成Np/M個分組，當Np%M≠0時，最后一個分組規(guī)模為M+Np%M。動態(tài)分組學習階段可表示為

(6)

(7)

式(6)中，水波以正弦方式向組內最優(yōu)個體靠近，在全局范圍內搜索，并維持種群多樣性。式(7)中，水波以余弦方式向全局最優(yōu)個體靠近，進行局部開發(fā)，加快算法收斂。正弦全局搜索能夠有效彌補余弦局部開發(fā)而導致陷入局部最優(yōu)的缺陷，而余弦局部開發(fā)提高了算法的尋優(yōu)性能。由此可知，動態(tài)分組學習促進了個體之間的信息交流，這在避免算法早熟、提高收斂精度的同時，提高了算法的求解效率。

2.3 DGLWWO實現(xiàn)流程

DGLWWO的執(zhí)行步驟如下：

(1)隨機生成一個規(guī)模為Np的種群，并計算每個水波的適應度值，找到最優(yōu)水波；

(2)按式(1)～(5)，對每個水波執(zhí)行傳播、折射、碎浪操作；

(3)動態(tài)分組，隨機選擇分組規(guī)模M，生成Np/M個分組；

(4) 按式(6)、式(7)，執(zhí)行動態(tài)分組學習階段；

(5)更新每個水波的波長，并計算每個水波的適應度值，求得全局最優(yōu)解；

(6)若滿足結束條件，則輸出全局最優(yōu)解；否則，執(zhí)行(2)。

3 仿真實驗與分析

3.1 測試函數(shù)及參數(shù)設置

為驗證DGLWWO的有效性和穩(wěn)定性，選取10個標準測試函數(shù)進行測試，并與原始WWO算法[1]、LOGWWO算法[5]、ACLWWO算法[6]、S-WOA算法[7]進行對比。測試函數(shù)及其特性，結果見表1。所有算法的最大迭代次數(shù)設置為1000，每個算法獨立運行20次，問題求解空間的大小D為30。WWO、LOGWWO、S-WOA、DGLWWO的種群規(guī)模均為10，WWO、LOGWWO、DGLWWO的波長λ=0.5、波高hmax=12、碎浪系數(shù)的最大值和最小值分別為βmax=0.250和βmin=0.001、波長衰減系數(shù)α=1.0026；ACLWWO的參數(shù)來源于文獻[6]，主種群和子種群規(guī)模均為20，子種群波高為hmax=100，波長衰減系數(shù)α=1.0260。

表1 標準測試函數(shù)

3.2 基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段有效性驗證

為了驗證基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段的有效性，構造4種不同的算法進行對比性實驗，分別是DGLWWO、DGLWWO-DGL(不使用動態(tài)分組階段)、WWO和WWO+DGL(加入動態(tài)分組學習階段)。選用f5作為測試函數(shù)，f5是一種極難搜索全局最優(yōu)解的病態(tài)非凸單峰函數(shù)，適合用于測試算法的收斂性。4種算法分別在f5上獨立運行20次，結果如表2所示，平均收斂曲線如圖2所示。

表2 4種算法分別在f5上的收斂性

a 動態(tài)分組學習階段的收斂過程 b 動態(tài)分組過程的穩(wěn)定性

由表2可知，DGLWWO和WWO+DGL表現(xiàn)出更好的收斂精度，這說明動態(tài)分組學習階段有利于增強種群多樣性，提高算法的尋優(yōu)能力。由圖2可以看出，DGLWWO和WWO+DGL的收斂速度明顯優(yōu)于DGLWWO-DGL和WWO，雖然4種算法都較早地陷入了局部最優(yōu)，但對比WWO和WWO+DGL的穩(wěn)定性可知，動態(tài)分組學習階段在提高收斂精度和收斂速度的同時，能夠有效保證算法的穩(wěn)定性。綜上所述，動態(tài)分組學習階段有效地避免了算法過早丟失多樣性，提高了算法的收斂精度和收斂速度。

3.3 實驗結果及分析

各算法的平均收斂曲線如圖3所示，收斂結果如表3所示。

圖3 算法平均收斂曲線情況

表3 各算法收斂結果

續(xù)表

由圖3可知，函數(shù)f1～f6的收斂速度明顯優(yōu)于其他算法，函數(shù)f1～f3迭代200次就已尋得理論最優(yōu)解；函數(shù)f4求解時能迅速收斂并找到最優(yōu)解；與其他算法相比，函數(shù)f5和f7在小于200次迭代時就已尋得較好的精度，但隨之出現(xiàn)了進化停止的現(xiàn)象；函數(shù)f6在小于400次迭代時收斂速度較快，在進化后期仍能表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力，能夠進一步提升收斂精度；函數(shù)f8～f10在小于50次迭代就已求得最優(yōu)解，說明DGLWWO在求解復雜問題時更具優(yōu)勢。

由表3可知，DGLWWO的收斂精度均優(yōu)于其他算法，其中對函數(shù)f1～f4均能求得其理論最優(yōu)解；函數(shù)f5～f7雖然沒有求得最優(yōu)值，但其求解精度分別至少提升了2個、176個和15個數(shù)量級，并且獲得了最小的標準差；對復雜多峰函數(shù)f8～f10均求得理論最優(yōu)解。這說明，DGLWWO在收斂精度和穩(wěn)定性方面表現(xiàn)出較好的競爭性。

綜上，基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段使DGLWWO在進化后期仍能保持較好的種群多樣性，仍具有找到更優(yōu)解的可能，有效地協(xié)調了算法進化前期的全局探測能力和后期的局部開發(fā)能力。此外，碎浪系數(shù)的自適應調節(jié)對于提高DGLWWO的優(yōu)化性能提供了一定的幫助。

4 結語

本文針對WWO存在的缺陷，提出了基于自適應參數(shù)調節(jié)和動態(tài)分組學習的水波優(yōu)化算法DGLWWO。DGLWWO設計了基于正余弦因子的動態(tài)分組學習階段，主群與子群的信息交流機制和動態(tài)變化的分組策略，有效地避免了種群過早丟失多樣性，同時提高了算法后期仍能進化的概率。實驗表明，DGLWWO保持了WWO的優(yōu)點，同時極大地提高了WWO的優(yōu)化性能。