周 凡，黃 娟*，李玉林

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066； 2.四川師范大學(xué)可視化計算與虛擬現(xiàn)實四川省重點實驗室，四川成都610066）

1 引言及主要結(jié)果

帶磁場的非線性Schr?dinger方程是量子力學(xué)中描述在非相對論情形下粒子運動狀態(tài)的方程.因此，對于帶磁場的非線性Schr?dinger方程解的存在性以及解的相關(guān)性質(zhì)的研究受到許多人的關(guān)注.本文考慮如下帶磁場的非線性Schr?dinger方程：

對于方程（1），當(dāng) A（x）≠0 且 V（x）=0時，Cazenave 等[1]證明了方程（1）的局部適定性和駐波的穩(wěn)定性.Cingolani[2]研究了方程（1）的多解的存在性.Tintarev[3]在一般非緊黎曼流形上證明了與哈密頓量有關(guān)的方程（1）的基態(tài)解的存在性.Bonheure等[4]研究了方程（1）的半經(jīng)典柱對稱解的存在性.Gan等[5]研究了方程（1）在負能量的情況下方程解的爆破條件.Gan等[6]研究在二維磁場中的非線性Schr?dinger方程，給出了解整體存在和爆破的門檻條件.Ginibre等[7]研究了方程（1）在與時間相關(guān)勢函數(shù)下的散射理論.當(dāng)n=2時，舒級等[8]通過能量法給出了方程（1）的解在有限時間內(nèi)爆破的條件.Ribeiro[9-10]研究初始能量為負時，方程（1）解在有限時間內(nèi)爆破的條件，以及初始能量為正時整體解存在的條件.

當(dāng) A（x）≠0，V（x）≠0 時，文獻[11-14]通過壓縮映象原理證明了當(dāng)時方程（1）的局部適定性.Liu等[15]在電勢和磁場勢的一些衰減和弱對稱條件下，證明了該方程具有無限多的非徑向復(fù)值解.Garcia[16]研究了方程（1）在為任意調(diào)和勢，V（x）為關(guān)于 xr的一階導(dǎo)數(shù)），div A（x）=0，▽A（x）=0 的條件下，且初始能量為負時其解在有限時間內(nèi)爆破.Cingolani[17]證明了方程（1）的爆破準則.

關(guān)于方程（1），本文研究三維空間中（n=3），勢函數(shù) V（x）=｜x｜2且

磁場旋轉(zhuǎn)軸 Ω =（ω1，ω2，ω3）（ωi∈R）的情況.考慮初始能量為正且滿足一定條件時方程解的整體存在和爆破的門檻條件.具體地，利用方程（1）的哈密爾頓結(jié)構(gòu)建立方程（1）的發(fā)展不變流形，研究方程（1）所對應(yīng)初值問題的爆破解和整體解存在的門檻條件.首先定義如下空間：

其中

當(dāng) V（x）=｜x｜2時，方程（1）對應(yīng)的質(zhì)量泛函為

能量泛函為

定理1.1若，V（x）=｜x｜2且，初值 u0∈Σ（R3）滿足 E（u0）＜B，則：

其中Q是橢圓方程-△Q+Q-｜Q｜p-1Q=0，Q∈H1（R3）的基態(tài)解.

注1.1整體解存在的條件可以擴大到1＜p＜5，若初值 u0滿足則方程（1）的解 u（t，x）在Σ（R3）中整體存在.

2 預(yù)備知識

本文中，在不引起混淆的情況下把積分∫R3·dx 寫成∫·dx，A（x）寫成 A.

命題2.1（局部適定性[4，11-14]） 設(shè) 1 ＜ p ＜5，V（x）=｜x｜2，u0∈Σ（R3），那么方程（1）的唯一解u（t，x）∈C（[0，T]×Σ（R3）），其中 T∈R+是解的最大存在時間.若T=∞，則稱方程（1）的解整體存在；若T＜∞，則方程（1）的解在有限時間內(nèi)爆破.此外，當(dāng) t∈[0，T）時，u（t，x）滿足 2 個守恒率：質(zhì)量守恒

和能量守恒

引理2.1（Heisenberg 不等式[18]）

引理2.2（Gagliardo-Nirenberg 不等式[18]）設(shè)1＜p＜5并且Q是非線性橢圓方程的徑向?qū)ΨQ解

則有如下Gagliardo-Nirenberg不等式

其中

命題2.2[9，16]設(shè) u0∈Σ（R3），且 u（t，x）是t∈[0，T）時方程（1）對應(yīng)于初值 u0的解，令，且

3 不變流形

設(shè)1＜p＜5，定義如下集合：

命題3.1設(shè)1＜p＜5，則 Kg和 Kb是方程（1）的不變流形，即如果初始值u0∈Kg（或Kb），則方程（1）的解 u（t，x）仍然滿足 u（t，x）∈Kg（或 Kb）.

證明設(shè) u0∈Kg，且 u（t，x）是方程（1）關(guān)于初值 u0的解.由命題3.1 知 E（u（t））=E（u0），t∈[0，T），因此，通過 E（u0）＜B，可得

要證 u（t）∈Kg，只需證明

反設(shè)（15）式不成立，因為

由連續(xù)性可知存在一個t1∈[0，T）使得

現(xiàn)在考慮一個實值函數(shù)

F（S）在 S∈R+上滿足：

1）當(dāng) S=A 時，F(xiàn)′（S）=0；

2）當(dāng) S=A 時，F(xiàn)″（S）＜0.

因此，通過（17）和（19）式可知

這與 E（u（t1））=E（u0）＜B 矛盾.因此，（15）式成立.

用類似方法可證Kb也是方程（1）的不變流形.

4 主要結(jié)論的證明

定理1.1的證明1）設(shè)u0∈Kg，即

當(dāng) t∈[0，T）時，由命題3.1 知，方程（1）關(guān)于初值u0的解 u（t，x）∈Kg.從而

同時，由

可知結(jié)論成立.

2）設(shè) u0∈Kb，即

由命題3.1知方程（1）關(guān)于初值 u0的解 u（t，x）∈Kb，即

并且

通過引理2.1 和文獻[19]知方程（1）的解 u（t，x）在有限時間內(nèi)爆破.證畢.

通過定理1.1的證明1）可以看出，當(dāng)1＜p＜5時方程（1）關(guān)于初值u0的整體解依然存在.