劉 帥，陳淑紅

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州363000）

整體吸引子是無窮維動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，對(duì)于揭示系統(tǒng)解的長(zhǎng)時(shí)間行為具有重要的意義.本文主要研究BEC - BCS跨越模型在有外力作用時(shí)，所得到的依賴于時(shí)間t的金茲堡-朗道方程組整體吸引子的存在性.

Henry[1],Roger[2]對(duì)金茲堡-朗道理論及整體吸引子的研究取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步.Schakel[3]利用導(dǎo)數(shù)展開法從微觀BCS模型中推導(dǎo)出具有時(shí)間依賴性的金茲堡-朗道理論；Drechsler等[4]推導(dǎo)出金茲堡-朗道理論去描述BCS 超導(dǎo)性與玻色凝聚的跨越；Machid 等[5]研究了BEC - BCS 跨越附近原子費(fèi)米子氣體的具有時(shí)間依賴性的金茲堡-朗道方程，證明了除BEC 限制外，具有時(shí)間依賴性的金茲堡-朗道方程的GL 系數(shù)是復(fù)數(shù).Ghidaglia 等[6]和Promislow[7]在1 維和2 維空間研究了帶立方非線性項(xiàng)的金茲堡-朗道方程的有限維整體吸引子；郭柏靈[8]研究了廣義Kuramoto-Sivashinsky 型方程周期初值問題的整體吸引子；Sell[9]研究了3維Navier-Stokes 方程整體吸引子的存在性；戴正德[10]研究了耗散KDV 型方程Cauchy 問題的動(dòng)力學(xué)行為及整體吸引子的存在性.

基于以上的研究，本文致力于BEC - BCS跨越中帶外力項(xiàng)的金茲堡-朗道方程組的整體吸引子，并得到了以下結(jié)果.

1 引理

引理1[1]令1 ＜p ＜∞，若對(duì)于任意的u ∈C2()滿足

則有

通常地，n表示邊界?Ω的外法向量.

由式(5)，可以推出

引理2[2]令E 是一個(gè)巴拿赫空間，{St,t ≥0}是一個(gè)半群算子，St:E →E，滿足St?Sτ= St+τ，S0= I，這里I是一個(gè)恒等算子，且假定算子半群St滿足如下條件：

1)算子St在E 上是一致有界的，即對(duì)于任意的R ≥0，存在一個(gè)常數(shù)C(R)，使得當(dāng)||u?||E≤R 時(shí)，對(duì)于任意的t ∈[0,∞)，有||Stu?||E≤C(R);

2) 存在一個(gè)E 上的有界吸收集B0，即對(duì)于任意的有界集B ?E，存在一個(gè)常數(shù)T，使得當(dāng)t ≥T 時(shí)，有StB ?B0;

3)當(dāng)t ＞0時(shí)，St是一個(gè)全連續(xù)算子；

則算子半群St有一個(gè)緊整體吸引子.

2 先驗(yàn)估計(jì)

為了證明定理1，先對(duì)弱解Δ(x,t)和φB(x,t)建立適當(dāng)?shù)南闰?yàn)估計(jì).

其中

證明式(1)-(2)可以轉(zhuǎn)化為

其中

由引理1，

其中

因?yàn)?/p>

3 整體吸引子的存在性

為了得到方程組(1)-(4)整體吸引子的存在性，我們需要證明定理1.

證明 取巴拿赫空間E = H1,2(Ω)×H1,2(Ω)，設(shè)=(Δ(x,t),φB(x,t))T是式(1)-(4)的弱解，做映射St:St(x,t)=(x,t)為E →E 的映射，且S0= S0(x,0)= u?(x,0)，則St是由式(1)-(4)生成的半群算子.下面逐條驗(yàn)證引理2的條件.

利用定理2、定理3的結(jié)論，可見對(duì)以R為半徑的球BR?E，取B ?BR，則

此處a1，a2是正常數(shù).

故St在E上是一致有界的.

由定理2、定理3的結(jié)論可得

其中A1,A2,||φB0(x)||2,||?φB0(x)||2全為有界常數(shù).

取D = max{A1,A2,||φB0(x)||2,||?φB0(x)||2}，可得

由定理4得，當(dāng)t ＞0時(shí)，

其中K為有界常數(shù).因此St是一個(gè)全連續(xù)算子.