劉 倩，朱安玨

(1.中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所東海研究站，上海201815；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

0 引 言

在陣列信號(hào)處理中，旁瓣級(jí)大小一直是波束形成器設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要指標(biāo)。低旁瓣可以有效抑制來(lái)自旁瓣區(qū)域的干擾，降低目標(biāo)檢測(cè)的虛警概率。目前為止已經(jīng)出現(xiàn)了大量有關(guān)波束旁瓣控制的算法。第一類(lèi)為加窗法，例如Dolph-Chebyshev加權(quán)[1]可以在主瓣寬度一定的情況下獲得最低的均勻旁瓣，但是該方法只適用于均勻線(xiàn)列陣，并且要求各陣元各向同性、不存在差異。第二類(lèi)為基于自適應(yīng)陣列理論的方法，例如Olen等在1990年提出的靜態(tài)波束圖數(shù)字綜合方法[2]。該方法通過(guò)在旁瓣區(qū)域增加虛擬干擾源，運(yùn)用自適應(yīng)陣原理，采用迭代法調(diào)節(jié)干擾強(qiáng)度從而達(dá)到旁瓣控制的目的。該方法適用于任意陣型，并且不要求陣元滿(mǎn)足各向同性，但在迭代過(guò)程中會(huì)引起波束主瓣的較快增寬并且迭代增益因子難以選擇、迭代存在一定的收斂誤差，導(dǎo)致波束旁瓣不能得到嚴(yán)格的控制。第三類(lèi)為基于凸優(yōu)化理論的波束圖優(yōu)化算法，例如Liu等[3]利用二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Programming, SOCP)方法設(shè)計(jì)的旁瓣控制自適應(yīng)波束形成器，文獻(xiàn)[4-5]提出了基于二階錐規(guī)劃的最低旁瓣波束形成器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該類(lèi)方法適用于任意陣型并且對(duì)陣元無(wú)要求，可對(duì)波束旁瓣進(jìn)行嚴(yán)格控制。

文獻(xiàn)[1-3]中的旁瓣控制波束形成方法只將重點(diǎn)放在了旁瓣級(jí)控制方面，而對(duì)波束形成器的穩(wěn)健性沒(méi)有提出要求。文獻(xiàn)[4-5]中，通過(guò)對(duì)加權(quán)向量的范數(shù)進(jìn)行約束從而對(duì)波束形成器的穩(wěn)健性進(jìn)行提升，但在該方法中，加權(quán)向量范數(shù)的具體約束值通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選取，不能通過(guò)計(jì)算得到嚴(yán)格的解。為了使該方法能運(yùn)用于實(shí)際基陣，則需要更進(jìn)一步提高旁瓣控制波束形成算法的穩(wěn)健性。眾所周知，自適應(yīng)波束形成器的性能受到協(xié)方差矩陣與期望信號(hào)導(dǎo)向向量的影響，當(dāng)期望信號(hào)存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中，并且協(xié)方差矩陣估計(jì)不準(zhǔn)時(shí)，自適應(yīng)波束形成器的性能會(huì)出現(xiàn)很大程度的下降。針對(duì)以上情況，近年來(lái)已有多種改進(jìn)算法對(duì)自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性進(jìn)行討論。其中一類(lèi)是對(duì)期望信號(hào)導(dǎo)向向量進(jìn)行估計(jì)，例如序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming, SQP)算法[6]、最少先驗(yàn)信息導(dǎo)向向量估計(jì)法[7]等。第二類(lèi)是對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)，其中較為經(jīng)典的是原始對(duì)角加載算法(Load Sample Matrix Inversion, LSMI)[8]及其一系列改進(jìn)算法，例如加權(quán)向量約束法(Norm Constrained Capon Beamforming, NCCB)[9]、最差性能最佳化(Worst-Case Performance Optimization, WCPO)[10]等。但是對(duì)角加載類(lèi)算法在輸入信噪比較高的情況下其輸出信干噪比會(huì)出現(xiàn)較大程度的降低，其原因是，此類(lèi)算法無(wú)法去除期望信號(hào)存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中所帶來(lái)的影響，接收信號(hào)中始終包含期望信號(hào)成分，當(dāng)信噪比逐漸增高時(shí)，各類(lèi)誤差所導(dǎo)致的信號(hào)“自消”現(xiàn)象始終存在，導(dǎo)致自適應(yīng)波束形成器產(chǎn)生較大的性能下降，而對(duì)角加載類(lèi)方法無(wú)法改進(jìn)這種性能下降。

本文針對(duì)自適應(yīng)波束形成器的旁瓣控制和穩(wěn)健性提高方面，提出了一種基于二階錐規(guī)劃的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成器設(shè)計(jì)方法，本方法對(duì)波束形成器的旁瓣級(jí)進(jìn)行控制，并且利用干擾和噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)法對(duì)波束形成器的穩(wěn)健性進(jìn)行提高，從而達(dá)到低旁瓣和高穩(wěn)健性這兩個(gè)目的。

1 基于SOCP的圓弧陣波束圖設(shè)計(jì)

1.1 二階錐規(guī)劃簡(jiǎn)介

二階錐規(guī)劃是凸優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)子集，常常被用來(lái)解決波束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。SeDuMi工具箱可專(zhuān)門(mén)用于解決二階錐規(guī)劃問(wèn)題，其具有計(jì)算量小和計(jì)算結(jié)果精確的特點(diǎn)，并且可對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的可解與否直接進(jìn)行判別[11]。在SeDuMi中，標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱(chēng)錐優(yōu)化問(wèn)題形式定義為

式中：y包含優(yōu)化變量，A是任意矩陣，b與c是任意向量，K是一個(gè)對(duì)稱(chēng)錐集合，零錐與二階錐都是對(duì)稱(chēng)錐的子集。

q維二階錐的定義為

式中：x為所求優(yōu)化變量，C為復(fù)數(shù)向量集，t為二階錐的限定范圍。

零錐定義為

式(3)可以代表等式約束。

波束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題即是將加權(quán)向量w的求解轉(zhuǎn)化為在一系列線(xiàn)性等式與二階錐約束條件下使得目標(biāo)函數(shù)最大化的問(wèn)題。即將約束問(wèn)題寫(xiě)成如下形式：

然后再利用已有的內(nèi)點(diǎn)方法對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解。

1.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

前面已經(jīng)提到，對(duì)角加載類(lèi)算法雖然可以對(duì)自適應(yīng)波束形成的性能進(jìn)行改進(jìn)，但其輸出信干噪比在輸入信噪比較高時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)較大程度的降低。因此，為了提高波束形成器的穩(wěn)健性，一種有效的方法就是將協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)成分濾除?；诖怂枷?，Gu等提出了干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法[12]。該算法利用Capon空間譜估計(jì)，對(duì)期望信號(hào)存在區(qū)域以外的其他區(qū)域進(jìn)行積分，從而獲得重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，減小了期望信號(hào)存在于接收信號(hào)中所帶來(lái)的干擾。具體步驟如下：

假設(shè)觀測(cè)區(qū)間由Θs與Θi+n兩部分組成，其中Θs為期望信號(hào)所存在的區(qū)域，Θi+n為干擾信號(hào)存在的區(qū)域，sΘ與Θi+n互補(bǔ)。利用Capon空間譜估計(jì)作為空間譜分布，再對(duì)Θi+n區(qū)間進(jìn)行積分則可得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，即：

2 基于SOCP的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成

假設(shè)陣元數(shù)為N，波束的主軸方向?yàn)棣萻，旁瓣區(qū)域?yàn)棣⊿L，θj∈ΘSL，則穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成可以表述成下述問(wèn)題：

首先，利用楚列斯基(Cholesky)分解將上述問(wèn)題中的二次目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)，即：

引入一個(gè)非負(fù)標(biāo)量τ，使得Lw≤τ，則上述問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

最后，將b、c、AT、K代入SeDuMi中即可求解出y和復(fù)加權(quán)向量w=[y3y4…yN]。

3 仿真分析

3.1 旁瓣控制性能分析

假設(shè)一半徑為0.262 5 m、張角為165°的圓弧上均勻分布著384個(gè)陣元，定義圓心為極坐標(biāo)原點(diǎn)，最中心兩個(gè)陣元中垂線(xiàn)所在方向?yàn)?°方向。假設(shè)信號(hào)頻率為390 kHz，選取相對(duì)0°方向?qū)ΨQ(chēng)的186個(gè)陣元在0°方向形成波束。在理想情況下，給出圓弧陣常規(guī)波束圖和基于二階錐規(guī)劃的低旁瓣自適應(yīng)波束圖，如圖1所示，放大后的波束圖如圖2所示。

圖1 理想情況下圓弧陣波束圖Fig.1 Arc array beam pattern under ideal condition

圖2 放大后的波束圖Fig.2 Enlarged beam pattern

由圖1可以看出，圓弧陣的常規(guī)波束圖旁瓣較高，最高旁瓣級(jí)大約為-11.95 dB，而基于二階錐規(guī)劃的低旁瓣自適應(yīng)波束圖可以將[-60°,-1.5°]∪[1.5°,60°]區(qū)域的旁瓣級(jí)控制到-50 dB。由圖2可以看出，常規(guī)波束形成波束圖-3 dB束寬約為0.55°，而基于二階錐規(guī)劃的低旁瓣自適應(yīng)波束圖-3 dB束寬增大到約0.86°。

3.2 穩(wěn)健性分析

波束形成器的穩(wěn)健性是指其在理想情況下獲得的性能指標(biāo)(如輸出信干噪比)在存在各類(lèi)失配情況下的下降程度。加權(quán)向量范數(shù)的大小是表征波束形成器穩(wěn)健性高低的一個(gè)指標(biāo)，波束加權(quán)向量范數(shù)越小，波束形成器對(duì)誤差的靈敏度越低，穩(wěn)健性越高。

本文將針對(duì)以下兩種常見(jiàn)的失配情況，分別利用對(duì)角加載(LSMI)、最差性能最佳化(WCPO)以及協(xié)方差矩陣重構(gòu)法(R-Reconstruction)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)，計(jì)算不同輸入信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)情況下波束形成器的輸出信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)以及加權(quán)向量范數(shù)的值，并與未進(jìn)行改進(jìn)的樣本協(xié)方差矩陣求逆法(Sample Matrix Inversion, SMI)的輸出信干噪比進(jìn)行比較。

3.2.1 陣元位置與響應(yīng)存在誤差

在實(shí)際中，由于人工安裝會(huì)導(dǎo)致陣元位置產(chǎn)生一定的誤差，并且陣元會(huì)存在一定的方向性，導(dǎo)致方向幅度響應(yīng)不同，從而給波束形成器的性能帶來(lái)一定的影響?？紤]陣元位置存在誤差與陣元幅度響應(yīng)具有一定的方向性的情況，假設(shè)上述圓弧陣各陣元真實(shí)位置所處角度與理想位置所處角度的誤差服從[-0.05θ,0.05θ]的均勻分布，θ為陣元間隔角度，且各陣元具有方向性，-3 dB響應(yīng)時(shí)的角度為90°。圖3、4所示為陣元位置與幅度響應(yīng)存在誤差時(shí)的波束輸出信干噪比及加權(quán)向量范數(shù)。

由圖3、4可以看出，在存在陣元位置誤差與響應(yīng)誤差的情況下，采用干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)法(R-Reconstruction)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)后，相對(duì)于SMI、LSMI與WCPO方法，在輸入信噪比逐漸增大的情況下，輸出信干燥比略高于WCPO，遠(yuǎn)高于SMI與LSMI，并且具有最小的加權(quán)向量范數(shù)值，穩(wěn)健性最高。

3.2.2 期望信號(hào)在傳播過(guò)程中產(chǎn)生波前畸變

圖3 陣元位置與幅度響應(yīng)存在誤差時(shí)的輸出信干噪比Fig.3 Output SINR when error appears in sensor position and amplitude response

圖4 陣元位置與幅度響應(yīng)存在誤差時(shí)的加權(quán)向量范數(shù)Fig.4 Norm of weight vector when error appears in sensor position and amplitude response

當(dāng)期望信號(hào)在非各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，非常容易產(chǎn)生一定的幅度和相位的畸變，會(huì)導(dǎo)致期望信號(hào)導(dǎo)向向量產(chǎn)生一定的誤差，從而波束形成器的性能下降。假設(shè)期望信號(hào)導(dǎo)向向量在傳播過(guò)程中產(chǎn)生了相位畸變，相位誤差服從均值為0、方差為0.04的高斯分布。圖5、6所示為期望信號(hào)存在波前畸變時(shí)的波束輸出信干噪比及加權(quán)向量范數(shù)。

圖5 期望信號(hào)存在波前畸變時(shí)的輸出信干噪比Fig.5 Output SINR in the case of wavefront distortion

圖6 期望信號(hào)存在波前畸變時(shí)的加權(quán)向量范數(shù)Fig.6 Norm of weight vector in the case of wavefront distortion

由圖5、6可以看出，在期望信號(hào)存在波前畸變的情況下，在輸入SNR 大于-10 dB之后，SMI、LSMI與WCPO算法的輸出SINR均產(chǎn)生了很大程度的下降，而采用干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)法(R-Reconstruction)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)后，相對(duì)于理想情況下的輸出SINR只下降了約4 dB，性能下降遠(yuǎn)小于其他3種算法，并且其具有最小的加權(quán)向量范數(shù)值，穩(wěn)健性最高。

綜合上述兩種失配情況下波束形成器的輸出信干噪比和加權(quán)向量范數(shù)的結(jié)果可以看出，利用LSMI、WCPO和R-Reconstruction算法對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)后，波束形成器的輸出SINR相較于未進(jìn)行改進(jìn)的SMI算法均產(chǎn)生了較大程度的提高，但利用R-Reconstruction對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行改進(jìn)后，相較于利用LSMI與WCPO算法，輸出SINR更高。并且當(dāng)輸入SNR增大時(shí)，輸出SINR與理想情況下的輸出SINR相差都為一定值，而其他方法在輸入SNR逐漸增大的情況下，輸出SINR下降程度越來(lái)越大，穩(wěn)健性更低。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證基于二階錐規(guī)劃的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成方法對(duì)成像效果的改進(jìn)，進(jìn)行了水池實(shí)驗(yàn)。首先將成像聲吶放置在水池一側(cè)的中間位置，在成像聲吶中心線(xiàn)正前方6.78 m處放置一個(gè)點(diǎn)聲源，與成像聲吶同深度。成像聲吶的基陣是具有384個(gè)陣元、半徑為0.262 5 m、張角為165°的圓弧陣列，信號(hào)頻率為390 kHz。實(shí)驗(yàn)中每186個(gè)陣元形成一個(gè)波束，共形成了384個(gè)波束。采用常規(guī)波束形成和基于二階錐規(guī)劃的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成的結(jié)果如圖7所示。圖7(a)為常規(guī)波束形成成像結(jié)果，7(b)為穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成成像結(jié)果。圖8為某距離處的輸出強(qiáng)度。

從圖7中可以看出，在無(wú)強(qiáng)干擾的情況下，利用上述兩種方法均可以分辨出目標(biāo)的位置。但是常規(guī)波束形成成像中目標(biāo)的旁瓣級(jí)較高，在目標(biāo)檢測(cè)時(shí)易產(chǎn)生虛警。而本文提出的基于二階錐規(guī)劃的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成的成像，由于波束旁瓣級(jí)大大降低，因此目標(biāo)變得更清晰，但是波束主瓣增寬，會(huì)在一定程度上降低成像聲吶的分辨率。

從圖8中可以看出，在對(duì)目標(biāo)成像強(qiáng)度不變的情況下，本文所提算法可以將旁瓣區(qū)域的強(qiáng)度降低約10 dB左右，但并未達(dá)到仿真所得到的效果，產(chǎn)生此種情況的原因可能為：(1) 在仿真時(shí)對(duì)自適應(yīng)波束形成失配情況考慮不全面；(2) 在協(xié)方差矩陣重構(gòu)時(shí)，對(duì)于期望信號(hào)所存在的區(qū)域估計(jì)不準(zhǔn)，導(dǎo)致在后續(xù)的優(yōu)化計(jì)算中，旁瓣區(qū)域的設(shè)定存在問(wèn)題，導(dǎo)致優(yōu)化計(jì)算出的解存在誤差。

圖7 不同波束形成算法的成像效果Fig.7 The imaging effects of different beamforming methods

圖8 某距離處的輸出強(qiáng)度Fig.8 Output intensities at a distance

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于二階錐規(guī)劃的穩(wěn)健低旁瓣自適應(yīng)波束形成算法，該算法利用二階錐規(guī)劃算法設(shè)計(jì)低旁瓣自適應(yīng)波束形成，并且針對(duì)自適應(yīng)波束形成容易受到各類(lèi)失配因素的影響從而導(dǎo)致性能大幅下降的問(wèn)題，利用干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)法對(duì)該算法的穩(wěn)健性進(jìn)行提高。仿真結(jié)果表明，該算法在很大的輸入信噪比范圍內(nèi)可以獲得接近于理想情況下的輸出信干噪比，并且加權(quán)向量范數(shù)最小，穩(wěn)健性最高。水池實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，本文所提算法在成像時(shí)，可以在一定程度上降低旁瓣級(jí)，但是并未達(dá)到理論計(jì)算值，故本文所提算法還有待改進(jìn)。