胥慶，首都師范大學附屬中學教學主任、數(shù)學高級教師，北京市首屆高中教師基本功大賽一等獎獲得者，海淀區(qū)骨干教師，首都師范大學兼職研究生導師。在全國或北京市各類評比中獲一、二等獎文章十余篇。目前主持北京市“十三五”規(guī)劃一般課題1項，海淀區(qū)“十三五”規(guī)劃重點課題1項。

[摘 ? 要]學生所犯的數(shù)學錯誤通常包括馬虎型錯誤、誤解概念造成的錯誤、與表述相關的錯誤以及由于工具使用不正確而引起的錯誤。教師應對不同種類的錯誤進行識別，并根據教學內容和學情，選擇采取糾正、探究或包容的方式處理這些錯誤。

[關鍵詞]數(shù)學;錯誤類型;探究;包容

錯誤在數(shù)學課堂中起著核心作用，因為它們反映了學生推理的方式，并闡明了學生嘗試構建自己知識的過程[1]。教師處理錯誤的方式是否得當，關系到學生的概念性理解，從而會增強或限制學生對數(shù)學的認知。在中學的教學實踐中，處理錯誤的方法并不都是合適的，特別是存在厭惡錯誤、躲避錯誤和認為處理錯誤就是在補救的思想[2]。教師通過分析學生產生數(shù)學錯誤的原因，可以更好地通過錯誤促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

一、對數(shù)學錯誤的分析

1.不正確解答的原因

學生無法獲得數(shù)學問題的正確解答有很多原因，包括但不限于粗心、缺乏數(shù)學概念的知識或不理解數(shù)學任務的要求[3]?！笆д`”“錯誤”和“誤解”常被用于描述偏離預期結果的情況，但它們的具體含義不同，代表了不同類型的“不正確”。通?！笆д`”是指由于粗心而犯的錯，因為它不是對概念產生“誤解”，所以比較容易糾正。但是“錯誤”通常是系統(tǒng)性的，它們定期發(fā)生，普遍并且持續(xù)存在。而所謂誤解，是指導致錯誤的潛在概念框架。誤解常常會導致一系列并非偶然的錯誤。

那么，誤解又是怎么產生的呢？建構主義理論認為，人們以先驗知識為基礎，積極構建認知升級以建立新知識，這是一個吸收和適應的過程。即將新知識“融合”到現(xiàn)有模式中，當新知識與現(xiàn)有架構發(fā)生沖突并且需要對架構進行重組、合并時，需要“適應”，而適應新知識的過程比吸收知識更具挑戰(zhàn)性。學生常常在正確的先驗知識基礎上“過度概括”新知識，他們將在某個領域正確的知識不正確地應用于另一個領域。這就解釋了錯誤不是隨機產生的原因。但是，錯誤對學生的學習來講是必需的、合理的，轉變錯誤的過程將促進學生推理能力的發(fā)展。

2.對學生錯誤的誤解

“錯誤”一詞常有負面含義。在學校中廣泛使用的總結性評估使學生認為犯錯可通過扣減分數(shù)予以“懲罰”。而將誤解視為問題可能會破壞學生對已經學到的正確知識的信心。此外，盡管教師可能沒有明確地告訴學生“犯錯誤是有問題的”，但是如果避免學生在課堂上犯錯誤和討論錯誤，就會暗示學生“錯誤是有問題的”。因此，教師應對錯誤保持敏感并進行有效處理，使錯誤可以激勵學生，成為促進學生認知發(fā)展的工具。教師將學生的錯誤簡單地歸咎于學生學得不好或教師教得不好，都不是正確的教學理念。

錯誤是學習過程中的正常部分，是學生參與課堂的重點部分。如果教師努力理解學生為何會犯錯，就會更重視學生的思維，并找到使學生利用已有知識創(chuàng)造或接納新知識的方法。如果教師對錯誤處理不當，則可能會加劇錯誤或導致新的錯誤。錯誤很少是教師教出來的，但所有學生，包括優(yōu)秀的學生，都會在某個時候出現(xiàn)錯誤[4]。

3.對錯誤的處理

善于處理學生錯誤的數(shù)學教師通常具備以下四個特征：有充足的數(shù)學專業(yè)知識，有豐富的教育學知識，有了解學生思維的興趣，以及愿意傾聽學生對思維的解釋。一般教師會注意到學生的錯誤，但缺乏對錯誤來源的分析，只是要求學生重新學習（其中很多是學生已知的知識），有的教師能夠部分理解學生的思維方式，但不能激活學生需要的方法論，不能使他們完全理解進而解決錯誤。因此，只有同時具備以上四個特征的教師才能更適當?shù)靥幚礤e誤。此外，教師不能將錯誤視為學習工具的原因還包括：擔心公開指明錯誤會使學生自尊心受挫，擔心錯誤被強化、會“傳染”等。

處理錯誤的形式有四種：識別、糾正、探究和包容。如果教師糾正錯誤，則表明教師已經識別并評估了錯誤，但還未從學生的角度解釋錯誤。探究錯誤是教師引導學生理解錯誤對學習的意義，幫助學生重構推理，解釋自己的思維并證明自己觀點的合理性，獲得學習經驗的思維過程。包容錯誤是教師建設性地使用錯誤為犯錯誤的學生和其他學生提供新知識的方法，將錯誤用作認知升級的工具，這也是包容策略與探究策略的不同之處。

二、對數(shù)學錯誤的識別

在數(shù)學課堂上一般會發(fā)生四類錯誤：馬虎型錯誤，由于誤解概念而產生的錯誤，與表達相關的錯誤，以及因工具使用不正確而引起的錯誤。

1.馬虎型錯誤

如教師請學生說出36÷2的結果，學生回答“13”。顯然學生是將36看成了26。這種因為粗心大意而導致的錯誤為馬虎型錯誤，通過檢查計算可以輕松糾正。

2.由于誤解概念而產生的錯誤

學生解釋其計算過程為：將分子和分母分別相加。這表明學生將整數(shù)的加法過分概括成了分數(shù)加法，也可能是把基于分數(shù)的乘法遷移到了加法，即這種誤解是受到某些已有的正確知識干擾產生的。當然，諸如分數(shù)的乘法和除法之類新知識的學習也可能會干擾先前已學會的加法[5]。這名學生的解答還有第二個錯誤，即學生在將分數(shù)簡化為小數(shù)時，用分母18除以分子12，可能是對相加、相乘的交換性質存在過度遷移。再如，學生推理“由“ab，bc，得到ac”，就是將“a//b，b//c能得到a//c”這一正確知識的過度遷移。這類錯誤中存在對概念的誤解，需要深入分析，挖掘學生的思維。

3.與表述相關的錯誤

如當教師要求學生對“直線和平面”進行直觀解釋時，可能會發(fā)生與表述有關的錯誤。如學生無法說清楚“無限延伸”和“無限延展”的區(qū)別，這些涉及不同的數(shù)學對象或過程。

如在立體幾何中，借用集合符號表示的“點A∈平面？琢”讀作“點A屬于平面？琢”。當學生用符號表示“直線l屬于平面？琢”時，會寫成“直線l∈平面？琢”，實際上正確的寫法應該是“直線l？奐平面？琢”，表述為“直線l包含于平面？琢”，因為在高中立體幾何中，點A是元素，直線l、平面？琢是集合，元素與集合之間的關系用是否“屬于”表示，集合與集合之間的關系用是否“包含于”表示。又如寫出方程組y=3xx2+y2=10的解集，正確表述應該是兩組解x=1y=3或x=-1y=-3，如果學生寫成x=±1y=±3，代表的則是四組解，這是錯誤的。

以上可歸類為與表述相關的錯誤，不是由于馬虎和誤解，而是由于學生未完全理解有關概念導致的。

4.因工具使用不正確而引起的錯誤

如學生在使用計算器計算“l(fā)n52”時，常常計算為“（ln5）2”，這是沒有考慮到計算器的計算順序。又如在計算“5+3×2”時，如果直接在計算器中按順序輸入算式，很容易被計算為“（5+3）×2”，違反了“先乘除，后加減”的運算法則。這些錯誤的產生都是因為學生在計算器中鍵入表達式時沒有考慮計算器的工作原理。這些錯誤是概念性的，并可能會被重復。

有四位教師在一個學期內有意識地對學生所犯的錯誤進行了觀察，在所記錄的共69個錯誤中，有馬虎型錯誤7個、誤解型錯誤55個、表述錯誤5個、工具使用不當錯誤2個?？梢姡瑢W生的大多數(shù)錯誤是由誤解造成的，這表明大多數(shù)錯誤答案可能源自對正確先驗知識的過度遷移。誤解引起一系列錯誤，從一個概念錯誤會引發(fā)許多類似性質的錯誤，這也是因誤解導致的錯誤發(fā)生頻率明顯高于其他錯誤的原因。

三、處理數(shù)學錯誤的方式

在識別錯誤的基礎上，教師對學生錯誤的處理方式包括糾正、探究和包容。例如，教師讓學生按照1∶2∶3的比例分享12種糖果，請學生分別回答該比例中的1、2、3代表多少種糖果。教師問：比例3代表幾種糖果？有的學生回答“3個”。教師于是讓其他學生幫助這名學生，有學生說出了正確答案“6個”。在這個例子中，教師“糾正”了學生的錯誤，肯定了正確答案。但教師并沒有幫助學生弄清楚為什么會犯這樣的錯誤，所以這種糾正錯誤的方法是無效的[6]。不涉及造成錯誤的概念基礎，只糾正答案并不能促進學生數(shù)學認知的升級。

又如，教師提出問題：如果n+m=11，請學生寫出n+m+p的結果。以下是教師與學生的對話，其中涉及對錯誤探究與包容的處理方式。

教師：如果n+m=11，n+m+p的結果是什么？

生A：可能是15.5。

教師：15.5，為什么？

生A：因為n等于5.5，而m等于5.5，所以p又是5.5。

教師：對。你如何得到15.5？

學生：16.5（發(fā)現(xiàn)自己算錯了）。

教師：為什么它們都是5.5？

生A：因為5.5加5.5等于11。

教師：對。但為什么只能是5.5，有什么依據嗎？（學生A不能回答，于是教師轉問學生B）

生B：教師，我認為它是18，因為m加n等于11。所以m可以是5，n可以是6，p 可以是7，加起來是18。

教師：你為什么說m可以是5，n可以是6？

生B：因為m+n=11。

教師：m和n是什么？我們如何稱式子中的m和n？

生B：變量。

教師：它們是？

生B：變量，未知數(shù)字。

教師：對。那什么是變量？（學生B答不出，教師又問學生C）

生C：代表數(shù)字的字母。

教師：那是字母表中代表數(shù)字的字母。不錯，所以有同學說m用5表示時，n就可以用6表示。兩者相加時，可能是m為2，n 為9;如果m為7，n 會是什么？

生D：4。

教師：好。m和n是變量，它們代表數(shù)字。因此，它們可以是任何數(shù)字?，F(xiàn)在為什么有人說p為7？這是從哪里得到的？我們剛剛說過m和n是變量，p也是。當變量值不確定的時候，我們可以怎么做？

生E：答案是11+p。

教師：對，答案是11+p。

在與學生A的對話中，教師用問題使學生思考其如何得到15.5的答案，為什么每個字母都是5.5，題目中是否有條件信息支持這種解決問題的方式。教師通過錯誤答案與學生互動，以探究學生的推理并支持其反思自己的推理過程，從而對學生的錯誤作出回應。在與學生B的對話中，教師使用了相同的方法。在這兩種情況下，學生的推理顯然都是有意義的，但他們?yōu)樽兞窟M行了不必要的分配值，于是教師使用提問策略與學生共同探究了錯誤。到了與學生C和D的對話部分，學生答出了變量的定義，教師開始對問題進行整理，使用“變量代表數(shù)字”的定義，在保證和為11的條件下，用不同數(shù)值替代m和n，以表明變量不代表唯一的數(shù)字。最后，學生E在之前引導的基礎上，給出了正確答案。在整個過程中，教師都沒有對學生說他們錯了，而是用問題來支持和引導學生理解變量和可以代表總數(shù)為11的任意兩個數(shù)字，進而發(fā)現(xiàn)可以用11代表m+n，由此m+n+p可以寫成11+p。

以上，教師不僅包容錯誤，而且將其用于促進學生認知升級，使學生了解到代數(shù)式中的變量可以有一組有限的值，也可以代表無窮多數(shù)字，進一步支持學生發(fā)展對方程式和表達式中變量的概念性理解。教師處理錯誤的方式使學生意識到他們所犯的錯誤是“合理”的，是學習數(shù)學不可或缺的一部分。這一過程指出了如何將錯誤“作為與學生的思想接觸和對話的點，引發(fā)關于數(shù)學思想的討論”[7]，從而促進數(shù)學知識的豐富和數(shù)學思維的發(fā)展。

以探究錯誤并包容錯誤的方式轉變錯誤很耗時，但卻可以真正促進學生思維的發(fā)展。從教師處理錯誤的記錄中發(fā)現(xiàn)，與探究錯誤和包容錯誤的數(shù)量相比，教師更多地采取了糾正錯誤的方式，反映出大多數(shù)教師處理錯誤的常態(tài)。

總之，教師需要基于專業(yè)知識和學情建設性地處理學生的錯誤，要在課堂上識別不同的錯誤類型，從而恰當?shù)夭扇〖m正、探究或包容錯誤的方法，促進學生對數(shù)學產生更豐富的理解，不斷發(fā)展數(shù)學思維。

參考文獻

[1]周懷友.錯題集的價值探討[J].基礎教育參考，2011（20）：58-59.

[2]王彥力.中小學教育中批評教育的藝術[J].基礎教育參考，2007（9）：59-61.

[3]付海倫.數(shù)學語言學習中的心理性錯誤分析[J].數(shù)學通報，1996（12）： 1-2，51.

[4]劉發(fā)昌.捕捉介入時機 提升課堂效益——淺談“先學后教”模式下的概念教學[J].基礎教育參考，2017（23）：50-52.

[5]曾春燕，姚靜.反例作用的實驗研究——以高一數(shù)學教學為例[J].數(shù)學教育學報，2015，24（1）：77-81.

[6]華應龍.融錯課堂 求真育人——我的數(shù)學教學思想與實踐探索[J].基礎教育參考，2013（1）：71-75.

[7]李娜，莫雅慈，吳立寶.初中數(shù)學課堂中教師對學生錯誤反饋的類型研究——基于24節(jié)錄像課的分析[J].數(shù)學教育學報，2016，25（5）：55-60.

（責任編輯 ? 郭向和）